Forsing Cohena

Forsing Cohena – pojęcie forsingu polegające na dodawaniu generycznego podzbioru zbioru liczb naturalnych za pomocą skończonych przybliżeń jego funkcji charakterystycznej. W podstawowej postaci jest przeliczalnym porządkiem oznaczanym przez $ℂ$ lub $Add (ω, 1)$ . Dodawany ciąg binarny nazywa się liczbą Cohena.

Nazwa pochodzi od Paula Cohena, który w latach 1963–1964 opublikował dowód niezależności hipotezy continuum od aksjomatów ZFC, wprowadzając metodę forsingu. Konstrukcja dodająca wiele liczb Cohena pozwala otrzymać model negacji hipotezy continuum. Wynik ma charakter względnej niesprzeczności:

Con (Z F C) ⟹ Con (Z F C + \neg C H) .

Definicja

Niech $ω$ oznacza zbiór liczb naturalnych, a $2 = {0, 1}$ . Warunkami forsingu Cohena są skończone funkcje częściowe z $ω$ w $2$ :

ℂ = Fn (ω, 2, < ω) = {p : p jest funkcją, dom (p) \subseteq ω, | dom (p) | < ℵ_{0}, ran (p) \subseteq 2} .

Porządek określa się przez odwrotne zawieranie:

q ⩽ p ⟺ q \supseteq p .

Warunek silniejszy podaje więc wartości funkcji na większej liczbie argumentów. Dwa warunki są zgodne dokładnie wtedy, gdy mają takie same wartości na części wspólnej swoich dziedzin.

Równoważną prezentację stanowi zbiór $2^{< ω}$ skończonych ciągów binarnych, uporządkowany przez przedłużanie. Jest on gęstym podporządkiem $ℂ$ : każdą skończoną funkcję częściową można przedłużyć do funkcji określonej na początkowym odcinku $ω$ .

Jeżeli $G \subseteq ℂ$ jest filtrem generycznym nad modelem podstawowym $V$ , to

c = ⋃ G

jest funkcją $c : ω \to 2$ , a

A_{c} = {n \in ω : c (n) = 1}

jest nowym podzbiorem $ω$ . Generyczność oznacza, że $G$ przecina każdy gęsty podzbiór $ℂ$ należący do $V$ . Funkcja $c$ wyznacza filtr $G$ , toteż $V [G] = V [c]$ .

Interpretacja topologiczna i algebra Cohena

W przestrzeni Cantora $2^{ω}$ warunkowi $s \in 2^{< ω}$ odpowiada zbiór bazowy

[s] = {x \in 2^{ω} : s \subseteq x} .

Liczba $c$ jest generyczna w sensie Cohena nad $V$ wtedy i tylko wtedy, gdy nie należy do żadnego borelowskiego zbioru pierwszej kategorii zakodowanego w $V$ . Kody tych zbiorów interpretuje się w rozszerzeniu. Równoważnie, $c$ należy do każdego zbioru otwartego i gęstego zakodowanego w $V$ .

Uzupełnienie boolowskie tego forsingu jest zupełną algebrą Cohena. Jest ono izomorficzne z zupełną algebrą Boole’a regularnie otwartych podzbiorów $2^{ω}$ , a także z algebrą

Bor (2^{ω}) / ℳ,

gdzie $ℳ$ oznacza ideał zbiorów pierwszej kategorii, ograniczony do zbiorów borelowskich. Dwa zbiory borelowskie reprezentują ten sam element ilorazu, jeżeli ich różnica symetryczna jest pierwszej kategorii.

Podstawowe własności

Forsing $ℂ$ jest przeliczalny, a więc spełnia warunek przeliczalnych antyłańcuchów (ccc); jest również $σ$ -centrowany. Jest bezatomowy: każdy warunek można wzmocnić na dwa sprzeczne sposoby, przypisując różne wartości na nowym argumencie. Każde niepuste przeliczalne bezatomowe pojęcie forsingu jest równoważne forsingowi Cohena. W szczególności równoważny jest porządek $ω^{< ω}$ skończonych ciągów liczb naturalnych, uporządkowany przez przedłużanie.

W tej ostatniej prezentacji dodawana funkcja $u \in ω^{ω}$ jest nieograniczona nad $V$ względem ostatecznej dominacji. Oznacza to, że dla każdej $f \in V \cap ω^{ω}$ nierówność $u (n) > f (n)$ zachodzi dla nieskończenie wielu $n$ . Forsing Cohena nie dodaje jednak funkcji dominującej wszystkie funkcje z modelu podstawowego.

Zbiór $A_{c}$ rozcina każdy nieskończony zbiór $B \subseteq ω$ należący do $V$ : zarówno $B \cap A_{c}$ , jak i $B ∖ A_{c}$ są nieskończone.

Dodawanie wielu liczb Cohena

Dla nieskończonej liczby kardynalnej $κ$ definiuje się

Add (ω, κ) = Fn (κ \times ω, 2, < ω),

również z porządkiem przez odwrotne zawieranie. Suma filtru generycznego jest funkcją $F : κ \times ω \to 2$ , której przekroje

c_{α} (n) = F (α, n) (α < κ)

tworzą rodzinę różnych, wzajemnie generycznych liczb Cohena.

Jest to iloczyn $κ$ kopii $ℂ$ z nośnikami skończonymi. Dla przeliczalnie nieskończonego $κ$ pozostaje równoważny dodaniu jednej liczby Cohena. Dla dowolnego $κ$ spełnia ccc i zachowuje liczby kardynalne oraz kofinalności. Jeżeli w modelu podstawowym

κ^{ℵ_{0}} = κ,

to w rozszerzeniu

2^{ℵ_{0}} = κ .

W szczególności nad modelem uogólnionej hipotezy continuum można w ten sposób wymusić $2^{ℵ_{0}} = ℵ_{2}$ .

Samo dodanie jednej liczby Cohena do modelu spełniającego CH zachowuje CH. Pełnego rozszerzenia generycznego nie należy też utożsamiać z modelem bez aksjomatu wyboru: w dowodzie niezależności aksjomatu wyboru Cohen wykorzystał odpowiednio wybrany podmodel symetryczny rozszerzenia.

Charakterystyki kardynalne w modelu Cohena

Załóżmy, że model podstawowy spełnia CH, a $κ > ℵ_{1}$ oraz $κ^{ℵ_{0}} = κ$ . W modelu otrzymanym przez dodanie $κ$ liczb Cohena zachodzą poniższe równości, opisujące część diagramu Cichonia.

Niezmiennik	Znaczenie	Wartość
$𝔟$	Najmniejsza moc rodziny w $ω^{ω}$ nieograniczonej względem ostatecznej dominacji	$ℵ_{1}$
$𝔡$	Najmniejsza moc rodziny dominującej w $ω^{ω}$	$κ$
$non (ℳ)$	Najmniejsza moc zbioru rzeczywistego niebędącego pierwszej kategorii	$ℵ_{1}$
$cov (ℳ)$	Najmniejsza liczba zbiorów pierwszej kategorii potrzebna do pokrycia prostej rzeczywistej	$κ$
$𝔠$	Moc continuum	$κ$

Model ten daje zatem między innymi względną niesprzeczność nierówności $𝔟 < 𝔡$ oraz $non (ℳ) < cov (ℳ)$ .

Dalsze badania i zastosowania

Algebry Boole’a i miary

Damian Sobota i Lyubomyr Zdomskyy wykazali, że w rozszerzeniu dodającym liczbę Cohena każda nieskończona algebra Boole’a z modelu podstawowego nie ma ani własności Nikodyma, ani własności Grothendiecka. Są to własności dotyczące zbieżności ciągów miar. W takim rozszerzeniu przestrzeń Stone’a algebry z modelu podstawowego zawiera nietrywialny ciąg zbieżny. Praca ukazała się elektronicznie w 2023 roku, a w tomie czasopisma z 2024 roku.

W 2026 roku Will Brian i Alan Dow wykazali, że po dodaniu $κ$ liczb Cohena do modelu CH, gdzie

ℵ_{2} ⩽ κ < ℵ_{ω},

istnieją nietrywialne automorfizmy algebry $𝒫 (ω) / F i n$ . W tej algebrze utożsamia się zbiory różniące się o zbiór skończony; automorfizm jest trywialny, jeśli pochodzi od bijekcji między współskończonymi podzbiorami $ω$ . Wynik rozszerza wcześniejsze twierdzenie Szelacha i Steprānsa dotyczące dodania $ℵ_{2}$ liczb Cohena.

Algebry operatorów

Damian Głodkowski i Piotr Koszmider wykorzystali model uzyskany przez dodanie $ℵ_{2}$ liczb Cohena do modelu CH do badania zanurzeń C*-algebr w algebrę Calkina

𝒬 (ℓ_{2}) = ℬ (ℓ_{2}) / 𝒦 (ℓ_{2}) .

W pracy opublikowanej w 2025 roku wykazali, że w tym modelu C*-algebra ograniczonych ciągów elementów $c_{0} (𝔠)$ nie ma injektywnego $*$ -homomorfizmu w $𝒬 (ℓ_{2})$ , chociaż sama algebra $c_{0} (𝔠)$ zawsze ma takie zanurzenie. Symbol $c_{0} (𝔠)$ oznacza algebrę funkcji zespolonych znikających w nieskończoności na zbiorze dyskretnym mocy continuum.

Forsing skończonymi strukturami

Badano również, kiedy porządek skończonych struktur, takich jak grafy, jest równoważny forsingowi Cohena. W pracy Forcing with Invariant Measures z 2025 roku wykazano, że dla nietrywialnej silnej klasy Fraïsségo w języku relacyjnym, mającej przeliczalnie wiele typów izomorfizmu, forsing jej skończonymi strukturami na podzbiorach $ω_{1}$ jest równoważny dodaniu $ℵ_{1}$ liczb Cohena. Silna amalgamacja oznacza możliwość łączenia struktur nad wspólną podstrukturą bez dodatkowego utożsamiania ich elementów.

W preprincie z sierpnia 2026 roku Mohammad Golshani wykazał, że analogiczna równoważność nie zachodzi w ogólności dla większych zbiorów: forsing skończonymi grafami bez trójkątów na podzbiorach zbioru $X$ nie jest równoważny dodaniu $| X |$ liczb Cohena, jeżeli $| X | ⩾ ℵ_{2}$ .

Zobacz też

Przypisy

1 2 3 Miguel AntonioM.A. Cardona-Montoya Miguel AntonioM.A., Forcing theory and combinatorics of the real line, Technische Universität Wien, 2022, s. 10–11, DOI: 10.34726/hss.2022.98882 (ang.).
↑ Paul J.P.J. Cohen Paul J.P.J., The independence of the continuum hypothesis, „Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America”, 50 (6), 1963, s. 1143–1148, DOI: 10.1073/pnas.50.6.1143 (ang.).
1 2 Paul J.P.J. Cohen Paul J.P.J., The independence of the continuum hypothesis. II, „Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America”, 51 (1), 1964, s. 105–110, DOI: 10.1073/pnas.51.1.105 (ang.).
1 2 3 4 PiotrP. Borodulin-Nadzieja PiotrP., Wrocław Forcing Notes [online], Uniwersytet Wrocławski, 2023 (ang.).
1 2 3 NathanaelN. Ackerman NathanaelN., CameronC. Freer CameronC., MohammadM. Golshani MohammadM., MostafaM. Mirabi MostafaM., RehanaR. Patel RehanaR., Forcing with Invariant Measures, „Logica Universalis”, 19, 2025, s. 799–840, DOI: 10.1007/s11787-025-00394-2 (ang.).
1 2 3 Lorenz J.L.J. Halbeisen Lorenz J.L.J., Combinatorial Set Theory: With a Gentle Introduction to Forcing, Springer, 2012, DOI: 10.1007/978-1-4471-2173-2 (ang.).
1 2 SaharonS. Shelah SaharonS., BoazB. Tsaban BoazB., Critical cardinalities and additivity properties of combinatorial notions of smallness, „Journal of Applied Analysis”, 9 (2), 2003, s. 149–162, DOI: 10.1515/JAA.2003.149 (ang.).
↑ DamianD. Sobota DamianD., LyubomyrL. Zdomskyy LyubomyrL., Convergence of measures after adding a real, „Archive for Mathematical Logic”, 63, 2024, s. 135–162, DOI: 10.1007/s00153-023-00888-0 (ang.).
↑ WillW. Brian WillW., AlanA. Dow AlanA., Nontrivial automorphisms of '"`UNIQ--math-0000006A-QINU`"' in Cohen models, „Canadian Mathematical Bulletin”, 2026, DOI: 10.4153/S0008439526102653 (ang.).
↑ DamianD. Głodkowski DamianD., PiotrP. Koszmider PiotrP., Products of C*-algebras that do not embed into the Calkin algebra, „Fundamenta Mathematicae”, 271 (3), 2025, s. 273–292, DOI: 10.4064/fm250516-22-9 (ang.).
↑ MohammadM. Golshani MohammadM., Cohen Forcing with Fraïssé Classes Beyond '"`UNIQ--math-0000007D-QINU`"', arXiv, 22 sierpnia 2026, DOI: 10.48550/arXiv.2608.21801 (ang.). Preprint, twierdzenie 1.1.

[Cardona-1] 1 2 3 Miguel AntonioM.A. Cardona-Montoya Miguel AntonioM.A., Forcing theory and combinatorics of the real line, Technische Universität Wien, 2022, s. 10–11, DOI: 10.34726/hss.2022.98882 (ang.).

[Cohen1963-2] Paul J.P.J. Cohen Paul J.P.J., The independence of the continuum hypothesis, „Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America”, 50 (6), 1963, s. 1143–1148, DOI: 10.1073/pnas.50.6.1143 (ang.).

[Cohen1964-3] 1 2 Paul J.P.J. Cohen Paul J.P.J., The independence of the continuum hypothesis. II, „Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America”, 51 (1), 1964, s. 105–110, DOI: 10.1073/pnas.51.1.105 (ang.).

[PBN-4] 1 2 3 4 PiotrP. Borodulin-Nadzieja PiotrP., Wrocław Forcing Notes [online], Uniwersytet Wrocławski, 2023 (ang.).

[AFGMP-5] 1 2 3 NathanaelN. Ackerman NathanaelN., CameronC. Freer CameronC., MohammadM. Golshani MohammadM., MostafaM. Mirabi MostafaM., RehanaR. Patel RehanaR., Forcing with Invariant Measures, „Logica Universalis”, 19, 2025, s. 799–840, DOI: 10.1007/s11787-025-00394-2 (ang.).

[Halbeisen-6] 1 2 3 Lorenz J.L.J. Halbeisen Lorenz J.L.J., Combinatorial Set Theory: With a Gentle Introduction to Forcing, Springer, 2012, DOI: 10.1007/978-1-4471-2173-2 (ang.).

[ST-7] 1 2 SaharonS. Shelah SaharonS., BoazB. Tsaban BoazB., Critical cardinalities and additivity properties of combinatorial notions of smallness, „Journal of Applied Analysis”, 9 (2), 2003, s. 149–162, DOI: 10.1515/JAA.2003.149 (ang.).

[SZ-8] DamianD. Sobota DamianD., LyubomyrL. Zdomskyy LyubomyrL., Convergence of measures after adding a real, „Archive for Mathematical Logic”, 63, 2024, s. 135–162, DOI: 10.1007/s00153-023-00888-0 (ang.).

[BrianDow-9] WillW. Brian WillW., AlanA. Dow AlanA., Nontrivial automorphisms of '"`UNIQ--math-0000006A-QINU`"' in Cohen models, „Canadian Mathematical Bulletin”, 2026, DOI: 10.4153/S0008439526102653 (ang.).

[GK-10] DamianD. Głodkowski DamianD., PiotrP. Koszmider PiotrP., Products of C*-algebras that do not embed into the Calkin algebra, „Fundamenta Mathematicae”, 271 (3), 2025, s. 273–292, DOI: 10.4064/fm250516-22-9 (ang.).

[Golshani-11] MohammadM. Golshani MohammadM., Cohen Forcing with Fraïssé Classes Beyond '"`UNIQ--math-0000007D-QINU`"', arXiv, 22 sierpnia 2026, DOI: 10.48550/arXiv.2608.21801 (ang.). Preprint, twierdzenie 1.1.