Algebra Calkina

Algebra Calkina – algebra ilorazowa operatorów ograniczonych przez odpowiedni ideał operatorów na przestrzeni Banacha. W klasycznym znaczeniu jest to C*-algebra

𝒬 (H) = ℬ (H) / 𝒦 (H),

gdzie $H$ jest nieskończenie wymiarową ośrodkową zespoloną przestrzenią Hilberta, $ℬ (H)$ oznacza algebrę wszystkich ograniczonych operatorów liniowych na $H,$ a $𝒦 (H)$ – jej ideał operatorów zwartych. Nazwa upamiętnia Johna Williamsa Calkina, który badał tę konstrukcję w pracy z 1941 roku.

Dla ogólnej przestrzeni Banacha $X$ w literaturze występują dwie konwencje: iloraz $ℬ (X) / 𝒦 (X)$ oraz iloraz $ℬ (X) / 𝒜 (X),$ gdzie $𝒜 (X)$ jest domknięciem w normie operatorowej zbioru operatorów skończonego rzędu. W przestrzeniach Hilberta oba ideały są równe, natomiast w przestrzeniach Banacha mogą być różne.

Algebry Calkina służą m.in. do opisu operatorów Fredholma i widma istotnego. W przypadku przestrzeni Banacha bada się również, które algebry Banacha można otrzymać jako takie ilorazy. W przypadku klasycznej algebry Calkina niektóre własności jej automorfizmów i zanurzeń innych C*-algebr zależą od przyjętych aksjomatów teorii mnogości.

Klasyczna algebra Calkina

Niech $H$ będzie nieskończenie wymiarową ośrodkową zespoloną przestrzenią Hilberta. Ideał $𝒦 (H)$ jest domkniętym ideałem dwustronnym w $ℬ (H),$ niezmienniczym względem sprzężenia operatorów. Działania i inwolucję w ilorazie określają wzory

(S + 𝒦 (H)) (T + 𝒦 (H)) = S T + 𝒦 (H), (T + 𝒦 (H))^{*} = T^{*} + 𝒦 (H) .

Normą ilorazową jest norma istotna operatora:

‖ T + 𝒦 (H) ‖ = ‖ T ‖_{e} = inf {‖ T - K ‖ : K \in 𝒦 (H)} .

Z tymi działaniami i normą $𝒬 (H)$ jest C*-algebrą z jedynką $I_{H} + 𝒦 (H) .$ Ponieważ wszystkie nieskończenie wymiarowe ośrodkowe zespolone przestrzenie Hilberta są unitarnie izomorficzne, jej typ izomorfizmu nie zależy od wyboru $H$ .

Ideał $𝒦 (H)$ jest jedynym niezerowym właściwym domkniętym ideałem dwustronnym w $ℬ (H) .$ W konsekwencji $𝒬 (H)$ jest prosta, tzn. nie ma niezerowych właściwych domkniętych ideałów dwustronnych. Jest przy tym nieprzemienna i nieośrodkowa.

Przykład przemiennej podalgebry otrzymuje się z operatorów diagonalnych na $ℓ_{2} .$ Ograniczonemu ciągowi $a = (a_{n})$ odpowiada operator $D_{a} e_{n} = a_{n} e_{n} .$ Jest on zwarty dokładnie wtedy, gdy $a_{n} \to 0.$ Przejście do ilorazu daje więc izometryczne zanurzenie C*-algebry $ℓ_{\infty} / c_{0}$ w $𝒬 (ℓ_{2})$ .

Algebry Calkina przestrzeni Banacha

Dwie konwencje definicyjne

Niech $X$ będzie nieskończenie wymiarową rzeczywistą lub zespoloną przestrzenią Banacha. Przez $ℱ (X)$ oznacza się ideał operatorów skończonego rzędu, czyli operatorów o skończenie wymiarowym obrazie. Ideał operatorów aproksymowalnych określa się jako

𝒜 (X) = {\overline{ℱ (X)}}^{‖ \cdot ‖} .

Zachodzą inkluzje

ℱ (X) \subseteq 𝒜 (X) \subseteq 𝒦 (X) \subseteq ℬ (X) .

Zarówno $𝒜 (X),$ jak i $𝒦 (X)$ są domkniętymi ideałami dwustronnymi. Odpowiadające im algebry ilorazowe można dla rozróżnienia zapisać jako

𝒬_{a} (X) = ℬ (X) / 𝒜 (X), 𝒬_{k} (X) = ℬ (X) / 𝒦 (X) .

Obie są algebrami Banacha z jedynką. Termin „algebra Calkina” bywa stosowany do każdej z nich, dlatego w przypadku ogólnej przestrzeni Banacha wymaga wskazania użytej konwencji.

Jeżeli $X$ ma własność aproksymacji, to $𝒜 (X) = 𝒦 (X) .$ W szczególności dotyczy to przestrzeni z bazą Schaudera oraz przestrzeni Hilberta. Wówczas obie konstrukcje dają tę samą algebrę. Bez dodatkowych założeń równość ideałów nie musi zachodzić.

Związek między ilorazami

Inkluzja $𝒜 (X) \subseteq 𝒦 (X)$ wyznacza kanoniczny ciągły surjektywny homomorfizm

ρ : 𝒬_{a} (X) ⟶ 𝒬_{k} (X), ρ (T + 𝒜 (X)) = T + 𝒦 (X) .

Jego jądrem jest $𝒦 (X) / 𝒜 (X),$ co daje ciąg dokładny

0 ⟶ 𝒦 (X) / 𝒜 (X) ⟶ 𝒬_{a} (X) ⟶ 𝒬_{k} (X) ⟶ 0.

Jeżeli ideały są różne, kanoniczny homomorfizm nie jest różnowartościowy.

Algebra $𝒦 (X) / 𝒜 (X)$ jest radykalną algebrą Banacha: każdy jej element ma promień spektralny równy zeru. Nie musi jednak być algebrą zerową ani nilpotentną. Tylli i Wirzenius skonstruowali m.in. przykłady, w których iloraz ten jest nieskończenie wymiarowy i nie jest nilpotentny.

W odróżnieniu od przypadku Hilberta ogólna przestrzeń Banacha nie wyznacza naturalnej inwolucji na $ℬ (X) :$ operator sprzężony do $T : X \to X$ działa na przestrzeni dualnej $X^{*} .$ Algebry Calkina przestrzeni Banacha nie muszą więc być C*-algebrami.

Teoria Fredholma

Operator $T \in ℬ (X)$ jest Fredholma, jeżeli jego obraz jest domknięty, a jądro i kojądro są skończenie wymiarowe. Jego indeks Fredholma wynosi

ind T = \dim \ker T - \dim (X / T (X)) .

Twierdzenie Atkinsona wiąże tę własność z odwracalnością w algebrze Calkina:

T jest operatorem Fredholma ⟺ T + 𝒦 (X) jest odwracalny w 𝒬_{k} (X) .

Wynik ten pochodzi z pracy Fredericka V. Atkinsona z 1951 roku.

Równoważność pozostaje prawdziwa dla ilorazu przez operatory aproksymowalne:

T jest operatorem Fredholma ⟺ T + 𝒜 (X) jest odwracalny w 𝒬_{a} (X) .

Istotnie, dla operatora Fredholma można dobrać operator $S \in ℬ (X),$ zwany parametryksem, tak aby oba operatory $S T - I_{X}$ i $T S - I_{X}$ miały skończony rząd. W drugą stronę odwracalność modulo $𝒜 (X)$ pociąga za sobą odwracalność modulo $𝒦 (X)$ .

W szczególności dla zespolonej przestrzeni Banacha obie konwencje prowadzą do tego samego widma istotnego w sensie Fredholma:

σ_{e} (T) = σ_{𝒬_{a} (X)} (T + 𝒜 (X)) = σ_{𝒬_{k} (X)} (T + 𝒦 (X)) = {λ \in ℂ : T - λ I_{X} nie jest operatorem Fredholma} .

Indeks Fredholma jest niezmienniczy względem zaburzeń zwartych i lokalnie stały na zbiorze operatorów Fredholma.

Przykładem jest przesunięcie jednostronne $S$ na $ℓ_{2} (ℕ_{0}),$ określone przez $S e_{n} = e_{n + 1} .$ Jeżeli $P_{0}$ oznacza rzut na prostą rozpiętą przez $e_{0},$ to

S^{*} S = I, S S^{*} = I - P_{0}, ind S = - 1.

Klasa $S + 𝒦 (ℓ_{2})$ jest zatem elementem unitarnym algebry Calkina, mimo że sam $S$ nie jest operatorem unitarnym ani odwracalnym. Klasa ta nie ma reprezentanta unitarnego w $ℬ (ℓ_{2}),$ ponieważ zaburzenie zwarte nie zmienia indeksu, a operator unitarny ma indeks zero.

Związek z indeksem wyraża również K-teoria klasycznej algebry Calkina:

K_{0} (𝒬 (H)) = 0, K_{1} (𝒬 (H)) ≅ ℤ .

Izomorfizm w drugim wzorze jest dany przez indeks Fredholma; występuje jako homomorfizm łączący w ciągu dokładnym K-teorii odpowiadającym rozszerzeniu $0 \to 𝒦 (H) \to ℬ (H) \to 𝒬 (H) \to 0$ .

Realizacja algebr Banacha jako algebr Calkina

Problem realizacji polega na znalezieniu dla zadanej algebry Banacha $A$ przestrzeni Banacha $X,$ której algebra Calkina jest izomorficzna z $A .$ Izomorfizm algebr Banacha jest tu liniową, multiplikatywną bijekcją ciągłą z ciągłą odwrotnością. Jest to silniejszy wymóg niż izomorfizm samych przestrzeni Banacha lub zanurzenie $A$ jako podalgebry algebry Calkina.

Przykłady realizacji

W poniższych przykładach przestrzeń $X$ można dobrać ośrodkową, nieskończenie wymiarową i z własnością aproksymacji, toteż obie konwencje algebry Calkina są zgodne. Symbol $A^{#}$ oznacza unitizację algebry $A,$ czyli algebrę otrzymaną przez formalne dołączenie jedynki.

Algebra	Wynik
$ℂ$	Argyros i Haydon skonstruowali przestrzeń, na której każdy operator ograniczony ma postać $λ I + K,$ gdzie $K$ jest zwarty. Jej algebra Calkina jest jednowymiarowa.
$ℝ [t] / (t^{n}),$ $n ⩾ 2$	Tarbard otrzymał skończenie wymiarowe przemienne algebry Calkina zawierające niezerowe elementy nilpotentne. Są one izomorficzne z algebrami górnotrójkątnych macierzy Toeplitza rozmiaru $n$ .
Rzeczywista $ℓ_{1} (ℕ_{0})$ ze splotem	Tarbard skonstruował przestrzeń, której algebra Calkina jest izometrycznie izomorficzna z tą nieskończenie wymiarową przemienną algebrą Banacha.
Niezerowe skończenie wymiarowe półproste algebry zespolone	Kania i Laustsen uzyskali realizacje wszystkich skończonych sum algebr macierzowych $M_{n_{j}} (ℂ)$ .
$C (K),$ gdzie $K$ jest niepustą zwartą przestrzenią metryczną	Motakis wykazał, że algebrę funkcji ciągłych na dowolnej takiej przestrzeni można otrzymać z zachowaniem mnożenia i normy: $𝒬_{k} (X)$ jest izometrycznie izomorficzna z $C (K)$ .
$𝒦 (c_{0})^{#}$	Motakis i Puglisi zrealizowali unitizację algebry operatorów zwartych na $c_{0},$ otrzymując nieskończenie wymiarowy nieprzemienny przykład.
Unitizacja $ℓ_{p}$ wyposażonej w mnożenie współrzędne, $1 ⩽ p < \infty$	Motakis i Pelczar-Barwacz uzyskali takie algebry jako szczególne przypadki ogólniejszej konstrukcji. Dla $1 < p < \infty$ są to nieskończenie wymiarowe refleksywne algebry Calkina, a dla $p = 2$ algebra ilorazowa jest jako przestrzeń Banacha izomorficzna z przestrzenią Hilberta.

Konstrukcje Tarbarda podane w tabeli są rzeczywiste; ich kompleksyfikacje dają realizacje odpowiednio $ℂ [t] / (t^{n})$ i zespolonej algebry $ℓ_{1} (ℕ_{0})$ jako algebr Banacha. Wcześniejszy wynik Motakisa, Puglisiego i Zisimopoulou z 2016 roku obejmował $C (K)$ dla przeliczalnych zwartych przestrzeni metrycznych.

Refleksywność w ostatnim wierszu dotyczy algebry ilorazowej, nie przestrzeni $X,$ na której działają operatory. Podobnie izomorfizm tej algebry jako przestrzeni Banacha z przestrzenią Hilberta nie oznacza, że jest ona klasyczną algebrą Calkina: klasyczna algebra Calkina jest nieośrodkowa, podczas gdy ten przykład jest ośrodkowy.

Ograniczenia realizowalności

Horváth i Kania wykazali w 2021 roku, że nie każda algebra Banacha z jedynką o gęstości co najwyżej continuum jest izomorficzna z algebrą Calkina ośrodkowej przestrzeni Banacha. Ogólniej, dla każdej nieskończonej liczby kardynalnej $λ$ istnieją algebry Banacha z jedynką o gęstości nie większej niż $2^{λ},$ których nie można zrealizować jako algebr Calkina przestrzeni Banacha o gęstości $λ .$ Wynik obejmuje obie konwencje definicyjne.

W preprincie ogłoszonym w lipcu 2026 roku Antonio Acuaviva i Pablo Acuaviva podali mocniejszy rodzaj przeszkody: skonstruowali algebrę Banacha z jedynką o gęstości continuum, mającą dokładnie jeden niezerowy właściwy domknięty ideał dwustronny, która nie jest izomorficzna ani z $ℬ (X) / 𝒜 (X),$ ani z $ℬ (X) / 𝒦 (X)$ dla żadnej przestrzeni Banacha $X .$ W tym wyniku nie zakłada się ośrodkowości przestrzeni realizującej.

Związki z teorią mnogości

Automorfizmy klasycznej algebry Calkina

W tej części przez automorfizm rozumie się *-automorfizm zespolonej C*-algebry $𝒬 (H) .$ Jest on wewnętrzny, jeżeli istnieje element unitarny $u \in 𝒬 (H)$ taki, że

α (a) = u a u^{*} (a \in 𝒬 (H)) .

Automorfizm, który nie jest wewnętrzny, nazywa się zewnętrznym. Element $u$ należy tu do algebry ilorazowej; nie wymaga się, aby miał unitarnego reprezentanta w $ℬ (H)$ .

N. Christopher Phillips i Nik Weaver udowodnili, że hipoteza continuum (CH) pociąga za sobą istnienie $2^{ℵ_{1}}$ zewnętrznych automorfizmów klasycznej algebry Calkina. Ilijas Farah wykazał natomiast, że aksjomat otwartego kolorowania (OCA, w jego pracy oznaczany przez TA) implikuje, iż każdy automorfizm algebry Calkina jest wewnętrzny.

W konsekwencji istnienie zewnętrznego automorfizmu klasycznej algebry Calkina jest niezależne od aksjomatów ZFC, przy zwykłym założeniu niesprzeczności tej teorii.

Zanurzanie C*-algebr

Odrębnym zagadnieniem jest to, które C*-algebry można zanurzyć w $𝒬 (H)$ za pomocą różnowartościowego *-homomorfizmu. Farah, Hirshberg i Vignati udowodnili w ZFC, że każda C*-algebra o gęstości nie większej niż $ℵ_{1}$ ma takie zanurzenie. Przy CH obejmuje to wszystkie C*-algebry o gęstości nie większej niż continuum.

Farah, Katsimpas i Vaccaro wykazali, że aksjomat Martina implikuje możliwość zanurzenia każdej C*-algebry o gęstości mniejszej niż continuum. Założenie teoriomnogościowe ma znaczenie: względnie niesprzeczne z ZFC jest także istnienie C*-algebry o gęstości mniejszej niż continuum, która nie ma takiego zanurzenia.

Głodkowski i Koszmider udowodnili, że w modelu otrzymanym z modelu CH przez dodanie $ℵ_{2}$ liczb Cohena algebra

ℓ_{\infty} (c_{0} (𝔠))

nie zanurza się w algebrze Calkina. Symbol $c_{0} (𝔠)$ oznacza algebrę funkcji znikających w nieskończoności na zbiorze o mocy $𝔠,$ a $ℓ_{\infty} (c_{0} (𝔠))$ – algebrę ograniczonych ciągów jej elementów, z działaniami współrzędnymi. Samo $c_{0} (𝔠)$ zanurza się w algebrze Calkina w ZFC. Natomiast przy CH również powyższy iloczyn ma zanurzenie. Wynik pokazuje zatem, że możliwość zanurzenia nawet przeliczalnego iloczynu takich algebr może zależeć od modelu teorii mnogości.

Zobacz też

Przypisy

1 2 John W.J.W. Calkin John W.J.W., Two-Sided Ideals and Congruences in the Ring of Bounded Operators in Hilbert Space, „Annals of Mathematics”, 42 (4), 1941, s. 839–873, DOI: 10.2307/1968771, JSTOR: 1968771 (ang.).
1 2 3 4 BenceB. Horváth BenceB., TomaszT. Kania TomaszT., Unital Banach algebras not isomorphic to Calkin algebras of separable Banach spaces, „Proceedings of the American Mathematical Society”, 149 (11), 2021, s. 4781–4787, DOI: 10.1090/proc/15589 (ang.).
1 2 3 4 Hans-OlavH.O. Tylli Hans-OlavH.O., HenrikH. Wirzenius HenrikH., The quotient algebra of compact-by-approximable operators on Banach spaces failing the approximation property, „Journal of the Australian Mathematical Society”, 110 (2), 2021, s. 266–288, DOI: 10.1017/S1446788719000211 (ang.).
1 2 3 MikaelM. Rørdam MikaelM., FlemmingF. Larsen FlemmingF., Niels J.N.J. Laustsen Niels J.N.J., An Introduction to K-Theory for C*-Algebras, Cambridge University Press, 2000, DOI: 10.1017/CBO9780511623806 (ang.).
1 2 3 4 5 6 IlijasI. Farah IlijasI., All automorphisms of the Calkin algebra are inner, „Annals of Mathematics”, 173 (2), 2011, s. 619–661, DOI: 10.4007/annals.2011.173.2.1 (ang.).
↑ Hans-OlavH.O. Tylli Hans-OlavH.O., HenrikH. Wirzenius HenrikH., Closed ideals in the algebra of compact-by-approximable operators, „Journal of Functional Analysis”, 282 (4), 2022, s. 109328, DOI: 10.1016/j.jfa.2021.109328 (ang.).
↑ Frederick V.F.V. Atkinson Frederick V.F.V., The normal solubility of linear equations in normed spaces, „Matematicheskii Sbornik”, 28(70) (1), 1951, s. 3–14 (ros.).
1 2 Woo YoungW.Y. Lee Woo YoungW.Y., Lecture Notes on Operator Theory, Seoul National University, 2010, s. 16–20 (ang.).
1 2 PavlosP. Motakis PavlosP., Separable Spaces of Continuous Functions as Calkin Algebras, „Journal of the American Mathematical Society”, 37 (1), 2024, s. 1–37, DOI: 10.1090/jams/1024 (ang.).
1 2 3 AntonioA. Acuaviva AntonioA., PabloP. Acuaviva PabloP., A Unital Banach Algebra Which Is Not a Calkin Algebra, preprint, zgłoszony 16 lipca 2026, arXiv, 2026, DOI: 10.48550/arXiv.2607.15075 (ang.).
↑ Spiros A.S.A. Argyros Spiros A.S.A., Richard G.R.G. Haydon Richard G.R.G., A hereditarily indecomposable L∞-space that solves the scalar-plus-compact problem, „Acta Mathematica”, 206 (1), 2011, s. 1–54, DOI: 10.1007/s11511-011-0058-y (ang.).
↑ MatthewM. Tarbard MatthewM., Hereditarily indecomposable, separable L∞ Banach spaces with ℓ₁ dual having few but not very few operators, „Journal of the London Mathematical Society”, 85 (3), 2012, s. 737–764, DOI: 10.1112/jlms/jdr066 (ang.).
1 2 MatthewM. Tarbard MatthewM., Operators on Banach Spaces of Bourgain–Delbaen Type, rozprawa doktorska, twierdzenia 3.1.4 i 4.1.1, University of Oxford, 2013, DOI: 10.48550/arXiv.1309.7469 (ang.).
↑ TomaszT. Kania TomaszT., Niels JakobN.J. Laustsen Niels JakobN.J., Ideal structure of the algebra of bounded operators acting on a Banach space, „Indiana University Mathematics Journal”, 66 (3), uwaga dodana w korekcie, s. 1022, 2017, s. 1019–1043, DOI: 10.1512/iumj.2017.66.6037 (ang.).
↑ PavlosP. Motakis PavlosP., DanieleD. Puglisi DanieleD., The compact operators on c₀ as a Calkin algebra, „Pure and Applied Functional Analysis”, 10 (4), 2025, s. 945–966 (ang.).
1 2 PavlosP. Motakis PavlosP., AnnaA. Pelczar-Barwacz AnnaA., Reflexive Calkin algebras, „Journal of the European Mathematical Society”, publikacja internetowa przed przypisaniem do tomu, 2025, DOI: 10.4171/JEMS/1709 (ang.).
↑ PavlosP. Motakis PavlosP., DanieleD. Puglisi DanieleD., DespoinaD. Zisimopoulou DespoinaD., A hierarchy of Banach spaces with C(K) Calkin algebras, „Indiana University Mathematics Journal”, 65 (1), 2016, s. 39–67, DOI: 10.1512/iumj.2016.65.5756 (ang.).
↑ N. ChristopherN.Ch. Phillips N. ChristopherN.Ch., NikN. Weaver NikN., The Calkin algebra has outer automorphisms, „Duke Mathematical Journal”, 139 (1), 2007, s. 185–202, DOI: 10.1215/S0012-7094-07-13915-2 (ang.).
↑ IlijasI. Farah IlijasI., IlanI. Hirshberg IlanI., AlessandroA. Vignati AlessandroA., The Calkin algebra is ℵ₁-universal, „Israel Journal of Mathematics”, 237, 2020, s. 287–309, DOI: 10.1007/s11856-020-2007-y (ang.).
↑ IlijasI. Farah IlijasI., GeorgiosG. Katsimpas GeorgiosG., AndreaA. Vaccaro AndreaA., Embedding C*-Algebras Into the Calkin Algebra, „International Mathematics Research Notices”, 2021 (11), 2021, s. 8188–8224, DOI: 10.1093/imrn/rnz058 (ang.).
↑ DamianD. Głodkowski DamianD., PiotrP. Koszmider PiotrP., Products of C*-algebras that do not embed into the Calkin algebra, „Fundamenta Mathematicae”, 271 (3), 2025, s. 273–292, DOI: 10.4064/fm250516-22-9 (ang.).

[Calkin1941-1] 1 2 John W.J.W. Calkin John W.J.W., Two-Sided Ideals and Congruences in the Ring of Bounded Operators in Hilbert Space, „Annals of Mathematics”, 42 (4), 1941, s. 839–873, DOI: 10.2307/1968771, JSTOR: 1968771 (ang.).

[HK2021-2] 1 2 3 4 BenceB. Horváth BenceB., TomaszT. Kania TomaszT., Unital Banach algebras not isomorphic to Calkin algebras of separable Banach spaces, „Proceedings of the American Mathematical Society”, 149 (11), 2021, s. 4781–4787, DOI: 10.1090/proc/15589 (ang.).

[TW2021-3] 1 2 3 4 Hans-OlavH.O. Tylli Hans-OlavH.O., HenrikH. Wirzenius HenrikH., The quotient algebra of compact-by-approximable operators on Banach spaces failing the approximation property, „Journal of the Australian Mathematical Society”, 110 (2), 2021, s. 266–288, DOI: 10.1017/S1446788719000211 (ang.).

[RLL2000-4] 1 2 3 MikaelM. Rørdam MikaelM., FlemmingF. Larsen FlemmingF., Niels J.N.J. Laustsen Niels J.N.J., An Introduction to K-Theory for C*-Algebras, Cambridge University Press, 2000, DOI: 10.1017/CBO9780511623806 (ang.).

[Farah2011-5] 1 2 3 4 5 6 IlijasI. Farah IlijasI., All automorphisms of the Calkin algebra are inner, „Annals of Mathematics”, 173 (2), 2011, s. 619–661, DOI: 10.4007/annals.2011.173.2.1 (ang.).

[TW2022-6] Hans-OlavH.O. Tylli Hans-OlavH.O., HenrikH. Wirzenius HenrikH., Closed ideals in the algebra of compact-by-approximable operators, „Journal of Functional Analysis”, 282 (4), 2022, s. 109328, DOI: 10.1016/j.jfa.2021.109328 (ang.).

[Atkinson1951-7] Frederick V.F.V. Atkinson Frederick V.F.V., The normal solubility of linear equations in normed spaces, „Matematicheskii Sbornik”, 28(70) (1), 1951, s. 3–14 (ros.).

[Lee2010-8] 1 2 Woo YoungW.Y. Lee Woo YoungW.Y., Lecture Notes on Operator Theory, Seoul National University, 2010, s. 16–20 (ang.).

[Motakis2024-9] 1 2 PavlosP. Motakis PavlosP., Separable Spaces of Continuous Functions as Calkin Algebras, „Journal of the American Mathematical Society”, 37 (1), 2024, s. 1–37, DOI: 10.1090/jams/1024 (ang.).

[AA2026-10] 1 2 3 AntonioA. Acuaviva AntonioA., PabloP. Acuaviva PabloP., A Unital Banach Algebra Which Is Not a Calkin Algebra, preprint, zgłoszony 16 lipca 2026, arXiv, 2026, DOI: 10.48550/arXiv.2607.15075 (ang.).

[AH2011-11] Spiros A.S.A. Argyros Spiros A.S.A., Richard G.R.G. Haydon Richard G.R.G., A hereditarily indecomposable L∞-space that solves the scalar-plus-compact problem, „Acta Mathematica”, 206 (1), 2011, s. 1–54, DOI: 10.1007/s11511-011-0058-y (ang.).

[Tarbard2012-12] MatthewM. Tarbard MatthewM., Hereditarily indecomposable, separable L∞ Banach spaces with ℓ₁ dual having few but not very few operators, „Journal of the London Mathematical Society”, 85 (3), 2012, s. 737–764, DOI: 10.1112/jlms/jdr066 (ang.).

[Tarbard2013-13] 1 2 MatthewM. Tarbard MatthewM., Operators on Banach Spaces of Bourgain–Delbaen Type, rozprawa doktorska, twierdzenia 3.1.4 i 4.1.1, University of Oxford, 2013, DOI: 10.48550/arXiv.1309.7469 (ang.).

[KL2017-14] TomaszT. Kania TomaszT., Niels JakobN.J. Laustsen Niels JakobN.J., Ideal structure of the algebra of bounded operators acting on a Banach space, „Indiana University Mathematics Journal”, 66 (3), uwaga dodana w korekcie, s. 1022, 2017, s. 1019–1043, DOI: 10.1512/iumj.2017.66.6037 (ang.).

[MP2025-15] PavlosP. Motakis PavlosP., DanieleD. Puglisi DanieleD., The compact operators on c₀ as a Calkin algebra, „Pure and Applied Functional Analysis”, 10 (4), 2025, s. 945–966 (ang.).

[MPB2025-16] 1 2 PavlosP. Motakis PavlosP., AnnaA. Pelczar-Barwacz AnnaA., Reflexive Calkin algebras, „Journal of the European Mathematical Society”, publikacja internetowa przed przypisaniem do tomu, 2025, DOI: 10.4171/JEMS/1709 (ang.).

[MPZ2016-17] PavlosP. Motakis PavlosP., DanieleD. Puglisi DanieleD., DespoinaD. Zisimopoulou DespoinaD., A hierarchy of Banach spaces with C(K) Calkin algebras, „Indiana University Mathematics Journal”, 65 (1), 2016, s. 39–67, DOI: 10.1512/iumj.2016.65.5756 (ang.).

[PW2007-18] N. ChristopherN.Ch. Phillips N. ChristopherN.Ch., NikN. Weaver NikN., The Calkin algebra has outer automorphisms, „Duke Mathematical Journal”, 139 (1), 2007, s. 185–202, DOI: 10.1215/S0012-7094-07-13915-2 (ang.).

[FHV2020-19] IlijasI. Farah IlijasI., IlanI. Hirshberg IlanI., AlessandroA. Vignati AlessandroA., The Calkin algebra is ℵ₁-universal, „Israel Journal of Mathematics”, 237, 2020, s. 287–309, DOI: 10.1007/s11856-020-2007-y (ang.).

[FKV2021-20] IlijasI. Farah IlijasI., GeorgiosG. Katsimpas GeorgiosG., AndreaA. Vaccaro AndreaA., Embedding C*-Algebras Into the Calkin Algebra, „International Mathematics Research Notices”, 2021 (11), 2021, s. 8188–8224, DOI: 10.1093/imrn/rnz058 (ang.).

[GK2025-21] DamianD. Głodkowski DamianD., PiotrP. Koszmider PiotrP., Products of C*-algebras that do not embed into the Calkin algebra, „Fundamenta Mathematicae”, 271 (3), 2025, s. 273–292, DOI: 10.4064/fm250516-22-9 (ang.).