Funkcja regularna

Definicja

Funkcja regularna to funkcja różniczkowalna określoną liczbę razy. Dokładniej:

Niech będzie dana funkcja ${\displaystyle f\colon {\mathcal {U}}\to {}\mathbb {R} ,}$ gdzie ${\displaystyle {\mathcal {U}}\subseteq {}\mathbb {R} ^{n}}$ oraz ${\displaystyle k\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}.}$

Funkcję ${\displaystyle f}$ nazywamy funkcją regularną rzędu ${\displaystyle k}$ na ${\displaystyle {\mathcal {U}},}$ jeżeli:

• wszystkie pochodne cząstkowe funkcji ${\displaystyle f}$ do rzędu ${\displaystyle k}$ włącznie istnieją w całej dziedzinie ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$
• pochodne te są ciągłe w całej dziedzinie ${\displaystyle {\mathcal {U}}.}$

Mówimy też, że funkcja jest klasy ${\displaystyle C^{k}({\mathcal {U}})}$ i piszemy ${\displaystyle f\in C^{k}({\mathcal {U}}).}$

Regularność ${\displaystyle f\in C^{0}}$ oznacza, że funkcja ${\displaystyle f}$ jest ciągła. Funkcję ${\displaystyle f\in C^{\infty }}$ nazywa się funkcją gładką; jest ona dowolnie wysokiej regularności, to znaczy istnieją pochodne wszystkich rzędów. Ponadto dla klasy funkcji analitycznych stosuje się oznaczenie ${\displaystyle C^{\omega }.}$

Niektórzy autorzy używają innych, słabszych definicji. Czasem funkcje regularne definiuje się szerzej – wystarczy, że pochodna funkcji jest ciągła przedziałami, a gładkość to pełna ciągłość pochodnej.

Przykłady

1. Funkcja ${\displaystyle f(x)\!=\!|x|,}$ gdzie ${\displaystyle |x|}$ oznacza wartość bezwzględną, jest ciągła w każdym punkcie dziedziny rzeczywistej ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ jednak pochodna ${\displaystyle f'(0)}$ nie istnieje, więc ${\displaystyle f}$ jest klasy ${\displaystyle C^{0}(\mathbb {R} ).}$
2. Funkcja:
    ${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{2}\sin {(1/x)}&{\text{dla }}x\neq 0,\\0&{\text{dla }}x=0\end{cases}}}$
   ma pochodną określoną w całej dziedzinie rzeczywistej ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ale pochodna ${\displaystyle f'(0)}$ nie jest ciągła; zatem ${\displaystyle f}$ jest klasy ${\displaystyle C^{0}(\mathbb {R} ).}$
3. Funkcja ${\displaystyle f(x)=e^{5x}}$ jest różniczkowalna dowolnie wiele razy. Zatem ${\displaystyle f\in C^{\infty },}$ czyli ${\displaystyle f}$ jest gładka.