Morfizm zerowy

Jeśli dla pary uporządkowanej ${\displaystyle (A,B)}$ obiektów z kategorii ${\displaystyle {\mathfrak {K}}}$ istnieje morfizm ${\displaystyle 0_{BA}\colon A\to B,}$ taki że dla wszystkich morfizmów ${\displaystyle v\colon B\to C}$ i ${\displaystyle u\colon D\to A}$

${\displaystyle v0_{BA}=0_{CA},0_{BA}u=0_{BD},}$

to ${\displaystyle 0_{BA}}$ nazywamy morfizmem zerowym.

Morfizm zerowy można również zdefiniować za pomocą pojęć morfizmu stałego i morfizmu costałego.

Morfizm ${\displaystyle A{\xrightarrow {f}}B}$ nazywamy morfizmem stałym, jeśli dla każdej pary morfizmów ${\displaystyle A'{\xrightarrow {r}}A}$ i ${\displaystyle A'{\xrightarrow {s}}A}$ zachodzi równość ${\displaystyle f\circ r=f\circ s.}$

Morfizm ${\displaystyle A{\xrightarrow {f}}B}$ nazywamy morfizmem costałym, jeśli dla każdej pary morfizmów ${\displaystyle B{\xrightarrow {u}}B'}$ i ${\displaystyle B{\xrightarrow {w}}B'}$ zachodzi równość ${\displaystyle u\circ f=w\circ f.}$

Morfizmem zerowym jest morfizm, który jest jednocześnie morfizmem stałym i morfizmem costałym.

Jeżeli dla każdej pary uporządkowanej ${\displaystyle (A,B)}$ obiektów z kategorii ${\displaystyle {\mathfrak {K}}}$ istnieje morfizm zerowy ${\displaystyle 0_{BA}\colon A\to B,}$ to kategorię tę nazywamy kategorią punktowaną. W danej kategorii istnieje tylko jeden układ morfizmów zerowych ${\displaystyle (0_{BA})=\{0_{BA}:(A,B)\in {\mathfrak {K}}\times {\mathfrak {K}}\},}$ bowiem gdyby istniały dwa takie układy ${\displaystyle (0_{BA})}$ i ${\displaystyle (0'_{BA}),}$ to byłaby prawdziwa równość morfizmów ${\displaystyle 0'_{BA}=0'_{BA}0_{AA}=0_{BA}.}$

Własności

1. Jeśli ${\displaystyle A{\xrightarrow {f}}B{\xrightarrow {g}}C}$ są morfizmami kategorii punktowanej i g jest monomorfizmem, to ${\displaystyle f}$ jest jądrem ${\displaystyle g}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle A}$ jest obiektem zerowym.
2. W kategorii punktowanej ekwalizator morfizmu ${\displaystyle A{\xrightarrow {f}}B}$ oraz morfizmu ${\displaystyle 0_{BA}}$ jest jądrem morfizmu ${\displaystyle f.}$

Przypisy

Bibliografia

• Bucur I., Deleanu A.: Introduction to the Theory of Categories and Functors (tłum. ros.). Москва: Мир, 1972.
• Jiří Adámek, Horst Herrlich, George E. Strecker: Abstract and Concrete Categories. 2005-01-18. [dostęp 2011-08-26]. (ang.).