Operator unitarny

Operator unitarny – operator normalny, którego złożenie z jego operatorem sprzężonym jest identycznością.

Definicja formalna

Niech ${\displaystyle H}$ będzie zespoloną przestrzenią Hilberta. Liniowy i ciągły operator ${\displaystyle T\colon H\to H}$ nazywamy unitarnym wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle TT^{\star }=T^{\star }T=I.}$

Warunki równoważne

Jeżeli ${\displaystyle T\colon H\to H}$ jest ciągłym operatorem liniowym, to następujące dwa warunki są równoważne temu, że ${\displaystyle T}$ jest unitarny:

1. ${\displaystyle {\mbox{cl}}T(H)=H,}$
2. ${\displaystyle (Tx|Ty)=(x|y),\;x,y\in H.}$

Widmo operatora unitarnego zawiera się w okręgu jednostkowym.

Przykłady

• Jeśli ${\displaystyle H}$ jest zespoloną przestrzenią Hilberta, to identyczność ${\displaystyle {\mbox{id}}(x)=x,\;x\in H}$ jest operatorem unitarnym.
• Jeśli ${\displaystyle H=\mathbb {C} }$ to mnożenie przez ustalony skalar ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ taki, że ${\displaystyle |\lambda |=1}$ jest operatorem unitarnym.
• W skończenie wymiarowej zespolonej przestrzeni Hilberta, przekształcenie liniowe reprezentowane przez macierz unitarną jest operatorem unitarnym.
• Transformacja Fouriera.
• Transformacja parzystości P.