Parametr skali

Ten artykuł od 2025-08 wymaga zweryfikowania podanych informacji.

Należy podać wiarygodne źródła w formie przypisów bibliograficznych.
Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte.
Sprawdź w źródłach: Google Books • Google Scholar • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary)
Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Parametr skali – parametr rozkładów prawdopodobieństwa, którego ${\displaystyle k}$-krotne zwiększenie razy powoduje następujące przekształcenie:

• punkty na osi odciętych wykresów funkcji rozkładu prawdopodobieństwa (dystrybuanty oraz funkcji masy lub gęstości prawdopodobieństwa) danego rozkładu zwiększają odległość od punktu ${\displaystyle (\mu ,0)}$ ${\displaystyle k}$-krotnie,
• dla funkcji masy/gęstości oś rzędnych kurczy się ${\displaystyle k}$-krotnie względem środka układu współrzędnych. Jest to konieczne, aby całka z funkcji prawdopodobieństwa rozkładu była nadal równa jeden.

Definicja formalna

Jeśli w rodzinie jednowymiarowych rozkładów prawdopodobieństwa dystrybuanta parametryzowana jest przez dodatnią liczbę rzeczywistą ${\displaystyle s}$ (obok ewentualnych innych parametrów) i zachodzi:

${\displaystyle F_{s,p_{1},\dots ,p_{n}}(x)=F_{1,p_{1},\dots ,p_{n}}\left({\frac {x-\mu }{s}}+\mu \right),}$

gdzie:

${\displaystyle F_{s,p_{1},\dots ,p_{n}}}$ – dystrybuanta parametryzowana przez ${\displaystyle s,p_{1},\dots ,p_{n},}$

${\displaystyle \mu }$ – parametr położenia, pewna funkcja parametrów ${\displaystyle p_{1},\dots ,p_{n}}$ (zazwyczaj równa wartości oczekiwanej),

${\displaystyle x}$ – liczba rzeczywista,

to ${\displaystyle s}$ jest nazywane parametrem skali.

Analogicznie można zdefiniować parametr skali dla rozkładów ${\displaystyle N}$-wymiarowych – jest on wówczas ${\displaystyle N}$-elementowym wektorem. W szerszym znaczeniu parametrem skali można nazwać także dowolną liczbę, z której da się obliczyć parametr ${\displaystyle s}$ zdefiniowany tak jak powyżej.

W niektórych przypadkach (np. rozkład normalny, rozkład Cauchy’ego) rozkład z parametrem położenia 0 i parametrem skali 1 nazywany jest „standardowym”.

Przykłady

• Dla rozkładu normalnego parametrem skali jest odchylenie standardowe, a wartością ${\displaystyle \mu }$ wartość oczekiwana. Czasem jednak zamiast odchylenia używa się jego kwadratu (wariancji), również nazywając ją parametrem skali (co jest uzasadnione, gdyż odchylenie standardowe da się z niej obliczyć).
• Rozkład gamma ma parametr skali ${\displaystyle \theta ,}$ choć czasem używa się jego odwrotności.

Zobacz też

• parametr kształtu
• parametr położenia