Value at risk

Value at risk (lub wartość zagrożona ryzykiem) – miara ryzyka wyrażająca graniczny poziom straty znaleziony dla ustalonego ${\displaystyle \alpha ,}$ będącego prawdopodobieństwem jej przekroczenia. Równoważną interpretacją tego pojęcia jest kwota gotówki, jaką należy dodać do pozycji, aby prawdopodobieństwo jakiejkolwiek straty (wartości ujemnej) było mniejsze lub równe poziomowi ${\displaystyle \alpha .}$

Definicja

Niech ${\displaystyle X}$ oznacza wartość pewnego portfela aktywów, natomiast ${\displaystyle \alpha }$ pewien graniczny poziom prawdopodobieństwa. Wartość zagrożona ryzykiem zdefiniowana jest jako:

${\displaystyle \mathrm {VaR} _{\alpha }(X)=-\sup \left\{x\in \mathbb {R} \colon {\text{P}}(X\leqslant x)\leqslant \alpha \right\}=\inf \left\{x\in \mathbb {R} \colon {\text{P}}(X+x<0)\leqslant \alpha \right\}=-q_{\alpha }^{+}(X),}$

gdzie ${\displaystyle q_{\alpha }^{+}(X)}$ jest górnym kwantylem rzędu ${\displaystyle \alpha }$ zmiennej ${\displaystyle X.}$

Własności

• jeśli ${\displaystyle X\geqslant 0,}$ to ${\displaystyle \mathrm {VaR} _{\alpha }(X)\leqslant 0,}$
• niezmienniczość ze względu na przesunięcia – dla dowolnego ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ zachodzi:

${\displaystyle \mathrm {VaR} _{\alpha }(X+c)=\mathrm {VaR} _{\alpha }(X)-c,}$ gdzie

• dodatnia jednorodność: ${\displaystyle \mathrm {VaR} _{\alpha }(\lambda X)=\lambda \mathrm {VaR} _{\alpha }(X)}$ dla ${\displaystyle \lambda \geqslant 0,}$
• monotoniczność: ${\displaystyle X\geqslant Y,}$ to ${\displaystyle \mathrm {VaR} _{\alpha }(X)\leqslant \mathrm {VaR} _{\alpha }(Y).}$

Dla rozkładów eliptycznych (w tym rozkładu rozkładu normalnego) zachodzi ponadto własność podaddytywności:

• ${\displaystyle \mathrm {VaR} _{\alpha }(X+Y)\leqslant \mathrm {VaR} _{\alpha }(X)+\mathrm {VaR} _{\alpha }(Y).}$

Sposoby wyznaczania

• analiza wartości historycznych – metoda ta polega na konstruowaniu rozkładu empirycznego na podstawie danych historycznych
• metody Monte Carlo – polegają na przeprowadzeniu doświadczenia losowego przy przyjętych założeniach o rozkładzie wartości portfela i na tej podstawie wyznaczeniu wartości zagrożonej
• metody analityczne – polegają na przyjęciu założeń dotyczących modelowania wartości portfela, a następnie bezpośrednim wyznaczeniu ich wartości

Krytyka

Krytyka wartości zagrożonej jest w dużej mierze spowodowana stosowaniem rozkładu Gaussa dla analizowanych zdarzeń. Przybliżenie uzyskiwane poprzez przyjęcie założenia o normalności rozkładu niesie za sobą poważne konsekwencje w postaci niedostatecznie grubych ogonów co w sposób istotny wpływa na współczynnik ${\displaystyle \mathrm {VaR} _{\alpha }(X).}$

Kolejną wadą towarzyszącą stosowaniu wartości zagrożonej do konstruowania wymogów związanych z ryzykiem finansowym jest brak informacji o kształcie rozkładu strat dla wartości bezwzględnie większych od poziomu ${\displaystyle \mathrm {VaR} _{\alpha }(X).}$

Powstała wersja zmodyfikowanego wskaźnika (ang. modified var), w której wykorzystano uogólnienie Cornish–Fishera, pozwalające na analizę rozkładów niegaussowskich.

Przypisy

Bibliografia

• Jacek Jakubowski: Modelowanie rynków finansowych. Warszawa: Script, 2006. ISBN 83-89716-06-2.