Carta de Smith

Normalização

Dada uma linha de transmissão com impedância característica ${\displaystyle Z_{0}}$ e admitância característica ${\displaystyle Y_{0}=1/Z_{0}}$, qualquer impedância de carga ${\displaystyle Z}$ ou admitância ${\displaystyle Y}$ é normalizada pela divisão pelo respectivo valor de referência:

$${\displaystyle z={\frac {Z}{Z_{0}}},\quad y={\frac {Y}{Y_{0}}}={\frac {1}{z}}.}$$

Como a impedância é expressa em ohms (Ω) e a admitância em siemens (S), a normalização cancela as unidades físicas, resultando em quantidades adimensionais compatíveis com o traçado na carta de Smith.

Coeficiente de reflexão e propagação em linha

Quando uma linha de transmissão é terminada por uma impedância de carga ${\displaystyle Z_{L}}$ distinta de sua impedância característica ${\displaystyle Z_{0}}$, a superposição da onda incidente (direta) ${\displaystyle V_{\text{F}}}$ e da onda refletida ${\displaystyle V_{\text{R}}}$ estabelece uma onda estacionária.

Na notação fasorial complexa, medindo-se a distância ${\displaystyle \ell }$ a partir da carga (${\displaystyle \ell =0}$) em direção ao gerador:

$${\displaystyle {\begin{aligned}V_{\text{F}}(\ell )&=Ae^{+\gamma \ell },\\V_{\text{R}}(\ell )&=Be^{-\gamma \ell },\end{aligned}}}$$

onde ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ representam as amplitudes complexas de tensão na terminação. A dependência temporal ${\displaystyle e^{j\omega t}}$ é omitida em regime permanente senoidal.

A constante de propagação complexa é definida como:

$${\displaystyle \gamma =\alpha +j\beta ,}$$

onde ${\displaystyle \alpha }$ é a constante de atenuação (em nepers por metro) e ${\displaystyle \beta }$ é a constante de fase (em radianos por metro).

Variação ao longo da linha

O coeficiente de reflexão de tensão complexo ${\displaystyle \Gamma }$ é definido como a razão entre a onda refletida e a onda incidente:

$${\displaystyle \Gamma ={\frac {V_{\text{R}}}{V_{\text{F}}}}={\frac {Be^{-\gamma \ell }}{Ae^{+\gamma \ell }}}=Ce^{-2\gamma \ell },}$$

onde ${\displaystyle C}$ é uma constante de integração.

Em linhas com perdas (${\displaystyle \alpha >0}$), o coeficiente ${\displaystyle \Gamma }$ traça uma espiral convergente em direção ao centro da carta conforme ${\displaystyle \ell }$ cresce. Em linhas de transmissão ideais sem perdas (${\displaystyle \alpha =0}$), a equação simplifica-se para:

$${\displaystyle \Gamma =\Gamma _{\text{L}}e^{-2j\beta \ell }=\Gamma _{\text{L}}\exp \left(-j{\frac {4\pi \ell }{\lambda }}\right),}$$

onde ${\displaystyle \Gamma _{\text{L}}}$ é o coeficiente de reflexão na carga e ${\displaystyle \lambda =2\pi /\beta }$ é o comprimento de onda guiado na linha.

Como a rotação de fase completa ${\displaystyle 2\pi }$ radianos ocorre para uma variação de distância ${\displaystyle \ell =\lambda /2}$, os valores de coeficiente de reflexão e impedância repetem-se a cada meio comprimento de onda. A escala externa da carta de Smith é graduada de ${\displaystyle 0}$ a ${\displaystyle 0.5\,\lambda }$.

Geometria da carta Z

Conversão entre impedância e admitância

No projeto de redes de casamento de impedância, é frequente a alternância entre componentes em série (analisados mais facilmente em termos de impedância ${\displaystyle Z}$) e componentes em paralelo (analisados em termos de admitância ${\displaystyle Y}$).

A conversão gráfica de um ponto de impedância normalizada ${\displaystyle z}$ para sua respectiva admitância normalizada ${\displaystyle y=1/z}$ corresponde a uma rotação de 180° em torno da origem sobre o mesmo raio de módulo de reflexão. Por exemplo, o ponto de impedância ${\displaystyle {\text{P}}_{1}}$ (${\displaystyle z=0{,}80+j1{,}40}$) projeta-se no ponto diametralmente oposto ${\displaystyle {\text{Q}}_{1}}$ (${\displaystyle y=0{,}30-j0{,}54}$).

Pontos equivalentes de impedância e admitância normalizadas

Impedância normalizada (${\displaystyle z}$)	Admitância normalizada (${\displaystyle y=1/z}$)
${\displaystyle {\text{P}}_{1}=0{,}80+j1{,}40}$	${\displaystyle {\text{Q}}_{1}=0{,}30-j0{,}54}$
${\displaystyle {\text{P}}_{10}=0{,}10+j0{,}22}$	${\displaystyle {\text{Q}}_{10}=1{,}80-j3{,}90}$

Elementos de circuito e topologia

Componentes conectados em série somam-se diretamente em impedância (${\displaystyle Z_{\text{série}}=Z_{1}+Z_{2}+\dots }$), enquanto elementos em paralelo somam-se em admitância (${\displaystyle Y_{\text{paralelo}}=Y_{1}+Y_{2}+\dots }$).

As expressões para os componentes passivos fundamentais normalizados são:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Resistor:}}&\quad z={\frac {R}{Z_{0}}},&\quad y={\frac {G}{Y_{0}}}={\frac {Z_{0}}{R}}\\[0.5em]{\text{Indutor:}}&\quad z=j{\frac {\omega L}{Z_{0}}},&\quad y=-j{\frac {1}{\omega LY_{0}}}\\[0.5em]{\text{Capacitor:}}&\quad z=-j{\frac {1}{\omega CZ_{0}}},&\quad y=j{\frac {\omega C}{Y_{0}}}\end{aligned}}}$$

onde ${\displaystyle Z_{0}=1/Y_{0}}$ é a impedância característica de referência.

Exemplos de plotagem

Um coeficiente de reflexão expresso na forma polar como ${\displaystyle 0{,}63\angle 60^{\circ }}$ é mapeado no ponto ${\displaystyle {\text{P}}_{1}}$: na coordenada angular de 60° na escala perimétrica externa e a uma distância radial de 0,63 do centro geométrico.

Exemplos de pontos plotados na carta de Smith de impedância normalizada

Ponto	Coeficiente de reflexão (polar)	Impedância normalizada (retangular)
${\displaystyle {\text{P}}_{1}}$ (indutivo)	${\displaystyle 0{,}63\angle 60^{\circ }}$	${\displaystyle 0{,}80+j1{,}40}$
${\displaystyle {\text{P}}_{2}}$ (indutivo)	${\displaystyle 0{,}73\angle 125^{\circ }}$	${\displaystyle 0{,}20+j0{,}50}$
${\displaystyle {\text{P}}_{3}}$ (capacitivo)	${\displaystyle 0{,}44\angle -116^{\circ }}$	${\displaystyle 0{,}50-j0{,}50}$

Casamento com componentes distribuídos

Em sistemas de componentes distribuídos, o deslocamento físico ao longo da linha de transmissão altera a fase do coeficiente de reflexão e a impedância de entrada, efeito quantificado diretamente na escala perimétrica externa da carta.

O exemplo a seguir ilustra o casamento de impedância de uma terminação arbitrária em uma frequência única, utilizando um elemento reativo posicionado a uma distância precisa da carga.

Considere uma linha de transmissão com dielétrico de ar, sem perdas, com impedância característica ${\displaystyle Z_{0}=50\,\Omega }$, operando a 800 MHz, terminada por uma carga composta por um resistor de 17,5 Ω em série com um indutor de 6,5 nH. A reatância indutiva a 800 MHz é dada por:

$${\displaystyle j\omega L=j2\pi fL=j32{,}7\,\Omega ,}$$

resultando em uma impedância total de carga:

$${\displaystyle Z_{\text{T}}=17{,}5+j32{,}7\,\Omega ,}$$

e em uma impedância normalizada de:

$${\displaystyle z_{\text{T}}={\frac {Z_{\text{T}}}{Z_{0}}}=0{,}35+j0{,}65.}$$

Esse ponto é plotado na carta Z como ${\displaystyle {\text{P}}_{20}}$. Traçando-se uma reta a partir do centro ${\displaystyle {\text{O}}}$ passando por ${\displaystyle {\text{P}}_{20}}$ até a escala perimétrica externa de comprimentos de onda, obtém-se a leitura ${\displaystyle L_{1}=0{,}098\lambda }$. Como a linha não possui perdas, o módulo do coeficiente de reflexão permanece constante, descrevendo um círculo centrado na origem que intercepta o círculo de resistência unitária (${\displaystyle r=1}$) no ponto ${\displaystyle {\text{P}}_{21}}$:

$${\displaystyle z_{{\text{P}}_{21}}=1{,}00+j1{,}52.}$$

A projeção radial da reta ${\displaystyle {\text{OP}}_{21}}$ na escala perimétrica fornece a posição ${\displaystyle L_{2}=0{,}177\lambda }$. A distância física da carga até o ponto de inserção do elemento compensador é dada por:

$${\displaystyle L_{2}-L_{1}=0{,}177\lambda -0{,}098\lambda =0{,}079\lambda .}$$

Em uma linha com dielétrico de ar, o comprimento de onda a 800 MHz equivale ao do espaço livre:

$${\displaystyle \lambda ={\frac {c}{f}}={\frac {3\times 10^{8}\,{\text{m/s}}}{800\times 10^{6}\,{\text{Hz}}}}=375\,{\text{mm}},}$$

o que estabelece a distância de inserção em ${\displaystyle 0{,}079\times 375\,{\text{mm}}=29{,}6\,{\text{mm}}}$ a partir da carga.

Para anular a reatância normalizada residual de ${\displaystyle +j1{,}52}$ observada em ${\displaystyle {\text{P}}_{21}}$, deve-se introduzir uma reatância em série conjugada:

$${\displaystyle z_{\text{match}}=-j1{,}52.}$$

Como o valor é capacitivo, calcula-se a capacitância do componente corretor ${\displaystyle C_{\text{m}}}$:

$${\displaystyle z_{\text{match}}=-j1{,}52=-{\frac {j}{\omega C_{\text{m}}Z_{0}}}=-{\frac {j}{2\pi fC_{\text{m}}Z_{0}}},}$$

$${\displaystyle C_{\text{m}}={\frac {1}{1{,}52\,\omega Z_{0}}}={\frac {1}{1{,}52\times 2\pi \times 800\times 10^{6}\times 50}}\approx 2{,}6\,{\text{pF}}.}$$

Portanto, o casamento de impedância é obtido conectando-se um capacitor em série de 2,6 pF à distância de 29,6 mm da terminação.

Alternativamente, o casamento pode ser executado em configuração paralelo (shunt) convertendo-se o ponto para admitância. O ponto de admitância normalizada equivalente a ${\displaystyle {\text{P}}_{20}}$ é ${\displaystyle {\text{Q}}_{20}}$, cuja leitura na escala perimétrica é ${\displaystyle L_{3}=0{,}152\lambda }$. O ponto de interseção mais próximo em direção ao gerador com o círculo de condutância unitária (${\displaystyle g=1}$) é ${\displaystyle {\text{Q}}_{21}}$:

$${\displaystyle y_{{\text{Q}}_{21}}=1{,}00+j1{,}52.}$$

A distância necessária ao longo da linha é:

$${\displaystyle L_{2}+L_{3}=0{,}177\lambda +0{,}152\lambda =0{,}329\lambda \quad (123\,{\text{mm}}).}$$

A admitância conjugada de casamento exigida é:

$${\displaystyle y_{\text{match}}=-j1{,}52.}$$

Uma susceptância negativa em paralelo requer um indutor de valor ${\displaystyle L_{\text{m}}}$:

$${\displaystyle -j1{,}52=-{\frac {j}{\omega L_{\text{m}}Y_{0}}}=-{\frac {jZ_{0}}{2\pi fL_{\text{m}}}},}$$

$${\displaystyle L_{\text{m}}={\frac {50}{1{,}52\times 2\pi \times 800\times 10^{6}}}\approx 6{,}5\,{\text{nH}}.}$$

Assim, o casamento paralelo alternativo é realizado conectando-se um indutor de 6,5 nH em derivação a 123 mm de distância da carga.

Circuitos com elementos concentrados

Em circuitos compostos por elementos concentrados, os deslocamentos na carta são regidos pelos valores normalizados das impedâncias e admitâncias individuais dos componentes na frequência de interesse, dispensando o uso da escala perimétrica de comprimentos de onda.

Considere o circuito em escada operando a 100 MHz (${\displaystyle \lambda =3\,{\text{m}}}$), composto por dois capacitores em série e dois ramos em derivação conectados a um resistor de carga ${\displaystyle R_{1}=50\,\Omega }$. Adota-se como impedância de normalização ${\displaystyle Z_{0}=50\,\Omega }$.

A análise parte da carga ${\displaystyle R_{1}}$ em direção aos terminais de entrada. No resistor de terminação, a impedância normalizada é ${\displaystyle z=1}$, correspondente ao centro da carta (ponto ${\displaystyle {\text{O}}}$). Os deslocamentos no plano Z adicionam impedâncias em série e os deslocamentos no plano Y adicionam admitâncias em paralelo.

Etapas de análise do circuito de elementos concentrados na carta de Smith

Etapa	Plano	Valor normalizado (${\displaystyle x}$ ou ${\displaystyle b}$)	Componente associado	Equação de cálculo	Valor obtido
${\displaystyle {\text{O}}\to {\text{P}}_{1}}$	Z	${\displaystyle -j0{,}80}$	Capacitor em série ${\displaystyle C_{1}}$	${\displaystyle -j0{,}80=-{\frac {j}{\omega C_{1}Z_{0}}}}$	${\displaystyle C_{1}=40\,{\text{pF}}}$
${\displaystyle {\text{P}}_{1}\to {\text{Q}}_{1}}$	Z → Y	Transformação de plano a coeficiente de reflexão constante (rotação de 180°)
${\displaystyle {\text{Q}}_{1}\to {\text{Q}}_{2}}$	Y	${\displaystyle -j1{,}49}$	Indutor em paralelo ${\displaystyle L_{1}}$	${\displaystyle -j1{,}49=-{\frac {j}{\omega L_{1}Y_{0}}}}$	${\displaystyle L_{1}=53\,{\text{nH}}}$
${\displaystyle {\text{Q}}_{2}\to {\text{P}}_{2}}$	Y → Z	Transformação de plano a coeficiente de reflexão constante (rotação de 180°)
${\displaystyle {\text{P}}_{2}\to {\text{P}}_{3}}$	Z	${\displaystyle -j0{,}23}$	Capacitor em série ${\displaystyle C_{2}}$	${\displaystyle -j0{,}23=-{\frac {j}{\omega C_{2}Z_{0}}}}$	${\displaystyle C_{2}=138\,{\text{pF}}}$
${\displaystyle {\text{P}}_{3}\to {\text{Q}}_{3}}$	Z → Y	Transformação de plano a coeficiente de reflexão constante (rotação de 180°)
${\displaystyle {\text{Q}}_{3}\to {\text{O}}}$	Y	${\displaystyle +j1{,}14}$	Capacitor em paralelo ${\displaystyle C_{3}}$	${\displaystyle +j1{,}14={\frac {j\omega C_{3}}{Y_{0}}}}$	${\displaystyle C_{3}=36\,{\text{pF}}}$

Carta de admitância

A carta de admitância (carta Y) mapeia o coeficiente de reflexão em função da admitância normalizada ${\displaystyle y=1/z}$:

$${\displaystyle y={\frac {1-\Gamma }{1+\Gamma }},\quad \Gamma ={\frac {1-y}{1+y}}.}$$

A geometria da carta Y é idêntica à da carta Z, porém rotacionada em 180° em torno do centro. Escrevendo a admitância na forma ${\displaystyle y=g+jb}$ (onde ${\displaystyle g}$ é a condutância normalizada e ${\displaystyle b}$ é a susceptância normalizada):

$${\displaystyle \Gamma ={\frac {1-g^{2}-b^{2}}{(1+g)^{2}+b^{2}}}-j{\frac {2b}{(1+g)^{2}+b^{2}}}.}$$

O semiplano superior representa susceptâncias capacitivas (${\displaystyle b>0}$) e o semiplano inferior representa susceptâncias indutivas (${\displaystyle b<0}$).

Resistência negativa

A carta de Smith pode ser estendida para abranger circuitos com resistência negativa (${\displaystyle {\text{Re}}(z)<0}$). Nessas condições, o módulo do coeficiente de reflexão ultrapassa a unidade (${\displaystyle |\Gamma |>1}$), indicando que a potência refletida excede a potência incidente incidente devido à injeção de energia por dispositivos ativos ou fontes externas de polarização.

Mapeamento sobre uma esfera tridimensional

Projeção da carta de Smith sobre um hemisfério tridimensional

Resistência constante (${\displaystyle {\text{Re}}(z)}$)

Reatância constante (${\displaystyle {\text{Im}}(z)}$)

Malha ortogonal combinada

Em 2011, Andrei A. Muller et al. propuseram a extensão da carta de Smith bidimensional para a superfície tridimensional de uma Esfera de Riemann por meio de projeção estereográfica. Essa abordagem unifica em uma única superfície contínua e compacta as regiões passivas (${\displaystyle |\Gamma |\leq 1}$, no hemisfério norte), as regiões de resistência negativa de circuitos ativos (${\displaystyle |\Gamma |>1}$, no hemisfério sul) e os pontos singulares no infinito.