Comprimento de onda

Ondas estacionárias

Uma onda estacionária é um movimento ondulatório que permanece no mesmo lugar. Uma onda estacionária senoidal tem pontos fixos que não oscilam, chamados de nós, e seu comprimento de onda é o dobro da distância entre nós consecutivos.

A figura superior mostra três ondas estacionárias em uma caixa. A exigência de que haja nós nas paredes da caixa, um exemplo de condição de contorno, determina os comprimentos de onda permitidos. No caso de uma onda eletromagnética em uma caixa com paredes perfeitamente condutoras, por exemplo, essa condição decorre da impossibilidade de haver um campo elétrico tangencial nas paredes, o que exige que a amplitude da onda seja nula nesses pontos.

A onda estacionária pode ser expressa como a soma de duas ondas senoidais progressivas com velocidades de sentidos opostos. Por isso, o comprimento de onda e a frequência da onda estacionária se relacionam com a velocidade das ondas progressivas que a compõem pela mesma expressão, ${\displaystyle v=\lambda f}$. A velocidade da luz, por exemplo, pode ser determinada pela observação de ondas estacionárias em uma caixa metálica que contenha um vácuo ideal.

Representação matemática

Ondas senoidais progressivas costumam ser expressas matematicamente em função de sua velocidade v na direção x, de sua frequência f e de seu comprimento de onda λ como

$${\displaystyle y(x,t)=A\cos \left(2\pi \left({\frac {x}{\lambda }}-ft\right)\right)=A\cos \left({\frac {2\pi }{\lambda }}(x-vt)\right),}$$

em que y é o valor da onda na posição x e no instante t, e A é sua amplitude. Também é comum expressá-las em função do número de onda k, igual a 2π vezes o inverso do comprimento de onda, e da frequência angular ω, igual a 2π vezes a frequência,

$${\displaystyle y(x,t)=A\cos(kx-\omega t)=A\cos \left(k(x-vt)\right).}$$

Nessa forma, o comprimento de onda e o número de onda se relacionam com a velocidade e a frequência por

$${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}={\frac {2\pi f}{v}}={\frac {\omega }{v}},}$$

ou

$${\displaystyle \lambda ={\frac {2\pi }{k}}={\frac {2\pi v}{\omega }}={\frac {v}{f}}.}$$

Na segunda forma apresentada, a fase ${\displaystyle kx-\omega t}$ costuma ser generalizada para ${\displaystyle \mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t}$. Para isso, substitui-se o número de onda k por um vetor de onda que especifica a direção e o número de onda de uma onda plana no espaço tridimensional, em função do vetor posição r. Nesse caso, o número de onda k, que é o módulo de k, mantém a relação com o comprimento de onda apresentada acima. A grandeza v passa a ser a velocidade escalar na direção do vetor de onda. A primeira forma, que usa o inverso do comprimento de onda na fase, não se generaliza com a mesma facilidade para uma onda em uma direção arbitrária.

Também são comuns as generalizações para senoides de outras fases e para exponenciais complexas, como no caso das ondas planas. A convenção de usar a fase do cosseno em vez da fase do seno ao expressar uma onda decorre do fato de o cosseno ser a parte real da exponencial complexa

$${\displaystyle Ae^{i(kx-\omega t)}.}$$

Meios em geral

A velocidade de uma onda depende do meio em que ela se propaga. Na água e no vidro, por exemplo, a velocidade da luz é menor que no vácuo. Ao atravessar uma interface estacionária entre meios, a frequência permanece a mesma. A redução da velocidade faz o comprimento de onda diminuir, como na figura à direita.

Essa mudança de velocidade ao entrar em um meio causa a refração, a mudança de direção das ondas que atingem obliquamente a interface entre dois meios. Para as ondas eletromagnéticas, a mudança no ângulo de propagação é regida pela lei de Snell.

A velocidade da onda pode mudar de um meio para outro e, em geral, também varia com o comprimento de onda. Por isso, a mudança de direção ao entrar em outro meio depende do comprimento de onda.

Para ondas eletromagnéticas, a velocidade em um meio depende de seu índice de refração e é dada por

$${\displaystyle v={\frac {c}{n(\lambda _{0})}},}$$

em que c é a velocidade da luz no vácuo e n(λ₀) é o índice de refração do meio para o comprimento de onda λ₀, medido no vácuo. O comprimento de onda correspondente no meio é

$${\displaystyle \lambda ={\frac {\lambda _{0}}{n(\lambda _{0})}}.}$$

Quando se informa o comprimento de onda de uma radiação eletromagnética, em geral o valor se refere ao vácuo, salvo indicação de outro meio. Na acústica, em que a existência das ondas exige um meio material, o comprimento de onda é informado para um meio específico.

A variação da velocidade da luz com o comprimento de onda é chamada de dispersão. Ela também causa a separação da luz em suas cores componentes ao passar por um prisma. Essa separação ocorre porque o índice de refração do prisma varia com o comprimento de onda. Cada comprimento de onda se propaga com uma velocidade diferente no interior do prisma e sofre refração em um ângulo diferente. A relação matemática entre a velocidade da luz em um meio e o comprimento de onda é chamada de relação de dispersão.

Meios não uniformes

O conceito de comprimento de onda pode ser útil mesmo quando a onda não é periódica no espaço. Na onda oceânica que se aproxima da costa na figura, por exemplo, o comprimento de onda local diminui à medida que a onda entra em águas rasas e se propaga mais lentamente. A análise pode se basear na comparação entre o comprimento de onda local e a profundidade local da água.

Ondas que são senoidais no tempo, mas se propagam em um meio cujas propriedades variam com a posição, um meio não homogêneo, podem ter velocidade variável com a posição e, por isso, não ser senoidais no espaço. A figura à direita mostra um exemplo. À medida que a onda desacelera, seu comprimento de onda diminui e sua amplitude aumenta. Depois do ponto de resposta máxima, o comprimento de onda curto ocorre junto a uma perda elevada, e a onda se extingue.

A análise das equações diferenciais desses sistemas costuma ser aproximada, com o uso do método WKB, também chamado de método de Liouville-Green. O método integra a fase ao longo do espaço a partir de um número de onda local, que permite obter um "comprimento de onda local" da solução em função do tempo e do espaço. Em cada posição, o método considera o sistema como se ele fosse uniforme e tivesse as propriedades locais. Para estimar o número de onda ou o comprimento de onda local, basta conhecer a velocidade local de propagação na frequência em questão. O método também calcula uma amplitude que varia lentamente, de modo a satisfazer outras restrições das equações ou do sistema físico, como a conservação da energia da onda.

Cristais

Nas vibrações de uma rede cristalina, os deslocamentos ocorrem em partículas discretas dispostas em uma rede regular. Isso produz aliasing, já que uma mesma vibração pode corresponder a diferentes comprimentos de onda, como na figura. Usar mais de um desses comprimentos de onda na representação é redundante. Por convenção, escolhe-se o maior comprimento de onda compatível com o fenômeno. O intervalo de comprimentos de onda suficiente para representar todas as ondas possíveis em um meio cristalino corresponde aos vetores de onda contidos na zona de Brillouin.

Essa indeterminação do comprimento de onda em sólidos deve ser levada em conta na análise de fenômenos ondulatórios, como as bandas de energia e as vibrações da rede cristalina. Ela é matematicamente equivalente ao aliasing de um sinal amostrado em intervalos discretos.

Pacotes de ondas

Pacotes de ondas localizados são "pulsos" de atividade ondulatória que se deslocam como uma unidade e têm aplicações em muitos campos da física. Um pacote de ondas tem uma envoltória que determina a amplitude geral da onda. No interior dela, a distância entre cristas ou vales consecutivos às vezes é chamada de comprimento de onda local. A figura mostra um exemplo. Em geral, a envoltória do pacote se desloca com uma velocidade diferente daquelas das ondas que o compõem.

Por meio da análise de Fourier, os pacotes de ondas podem ser decompostos em somas infinitas, ou integrais, de ondas senoidais com diferentes números de onda ou comprimentos de onda.

Louis de Broglie postulou que toda partícula com um valor definido de momento linear p tem um comprimento de onda λ = h/p, em que h é a constante de Planck. Essa hipótese foi uma das bases da mecânica quântica. Esse comprimento de onda é chamado de comprimento de onda de Broglie. Em um tubo de raios catódicos que acelera elétrons por uma diferença de potencial de 30 kV, o comprimento de onda de Broglie é de cerca de 7 × 10⁻¹² m. Para evitar que a função de onda de uma partícula se estendesse por todo o espaço, de Broglie propôs o uso de pacotes de ondas para representar partículas localizadas no espaço. A extensão espacial do pacote e a dispersão dos números de onda das senoides que o compõem correspondem às incertezas na posição e no momento linear da partícula. O produto dessas incertezas tem um limite inferior estabelecido pelo princípio da incerteza de Heisenberg.

Interferência de dupla fenda

Quando formas de onda senoidais se somam, elas podem se reforçar, em uma interferência construtiva, ou se anular, em uma interferência destrutiva, dependendo de sua fase relativa. Esse fenômeno é usado no interferômetro. Um exemplo simples é a experiência da dupla fenda de Thomas Young, na qual a luz passa por duas fendas. Como na figura, a luz atravessa as fendas e atinge uma tela. O percurso até um ponto da tela é diferente para cada fenda e depende do ângulo θ que o percurso forma com a normal à tela. Se a tela estiver suficientemente distante das fendas, de modo que s seja grande em comparação com a separação d entre elas, os percursos serão quase paralelos e sua diferença será simplesmente ${\displaystyle d\sin \theta }$. A condição para a interferência construtiva é

$${\displaystyle d\sin \theta =m\lambda ,}$$

em que m é um número inteiro. Para a interferência destrutiva, a condição é

$${\displaystyle d\sin \theta =\left(m+{\frac {1}{2}}\right)\lambda .}$$

Se o comprimento de onda da luz for conhecido, a separação entre as fendas pode ser determinada pelo padrão de interferência, ou pelas franjas, e vice-versa.

Para mais de duas fendas, o padrão é dado por

$${\displaystyle I_{q}=I_{1}{\frac {\sin ^{2}\left({\frac {q\pi g\sin \alpha }{\lambda }}\right)}{\sin ^{2}\left({\frac {\pi g\sin \alpha }{\lambda }}\right)}},}$$

em que q é o número de fendas, g é a distância entre os centros de fendas consecutivas, chamada de constante da rede, e α é o ângulo de observação em relação à normal ao plano das fendas, para incidência normal. O primeiro fator, I₁, é o resultado para uma única fenda. Ele modula o segundo fator, que varia mais rapidamente e depende do número de fendas e de sua separação. Na figura, I₁ foi igualado a 1, uma aproximação bastante grosseira.

A interferência redistribui a luz. A energia luminosa não se altera, apenas sua distribuição no espaço.

Difração de fenda única

As noções de diferença de percurso e de interferência construtiva ou destrutiva usadas na experiência da dupla fenda também se aplicam à luz que atravessa uma única fenda e atinge uma tela. O principal resultado dessa interferência é espalhar a luz de uma fenda estreita em uma imagem mais larga na tela. Essa distribuição da energia da onda é chamada de difração.

A difração de Fraunhofer, ou de campo distante, permite aproximar como paralelos os raios que partem da abertura em direção a um mesmo ponto de observação. A distância necessária para essa aproximação depende das dimensões da abertura e do comprimento de onda. Na difração de Fresnel, ou de campo próximo, a curvatura das frentes de onda precisa ser levada em conta.

Na análise de uma fenda única, considera-se sua largura não nula, e cada ponto da abertura é tomado como uma fonte de pequenas ondas, as ondículas de Huygens, que compõem o feixe de luz. A luz que chega à tela a partir de cada ponto da fenda percorre uma distância diferente, ainda que a diferença possa ser muito pequena. Por isso, ocorre interferência.

No padrão de difração de Fraunhofer, a uma distância suficiente de uma fenda única e com a aproximação para ângulos pequenos, a distribuição de intensidade normalizada S se relaciona com a posição x pelo quadrado de uma função sinc,

$${\displaystyle S(u)=\operatorname {sinc} ^{2}(u)=\left({\frac {\sin \pi u}{\pi u}}\right)^{2},}$$

com

$${\displaystyle u={\frac {xL}{\lambda R}},}$$

em que L é a largura da fenda, R é a distância da fenda ao padrão na tela e λ é o comprimento de onda da luz usada. A função S é nula quando u é um número inteiro diferente de zero. Os valores de x correspondentes a esses zeros têm uma separação proporcional ao comprimento de onda.

Resolução limitada pela difração

A difração limita o poder de resolução dos instrumentos ópticos convencionais, como os telescópios, inclusive os radiotelescópios, e os microscópios. Para uma abertura circular, a mancha da imagem limitada pela difração é chamada de disco de Airy. A distribuição de intensidade é radialmente simétrica e envolve a função de Bessel de primeira ordem, J₁.

Para duas fontes pontuais de igual brilho, o critério de Rayleigh toma como limite de resolução a separação em que o máximo central do padrão de uma coincide com o primeiro mínimo do padrão da outra. Em um microscópio com abertura circular, o raio do disco de Airy referido ao plano do objeto é proporcional ao comprimento de onda da luz e depende da abertura numérica,

$${\displaystyle r_{\mathrm {Airy} }=1{,}22{\frac {\lambda }{2\,\mathrm {NA} }},}$$

em que λ é o comprimento de onda no vácuo e a abertura numérica é definida por ${\displaystyle \mathrm {NA} =n\sin \theta }$. O índice de refração n é o do meio entre o objeto e a objetiva, e θ é o semiângulo do cone de raios aceito por ela. O critério de Rayleigh é uma medida convencional de resolução, cuja aplicação depende das condições de formação da imagem.

O tamanho angular da região central luminosa da imagem difratada por uma abertura circular, medido pelo raio até o primeiro mínimo nulo do disco de Airy, é uma medida mais usada para telescópios e câmeras. Ele é dado por

$${\displaystyle \delta =1{,}22{\frac {\lambda }{D}},}$$

em que λ é o comprimento de onda das ondas focalizadas para formar a imagem, D é o diâmetro da pupila de entrada do sistema óptico, expresso na mesma unidade de comprimento, e δ é a resolução angular em radianos.

Como em outros padrões de difração, o tamanho do padrão é proporcional ao comprimento de onda. Comprimentos de onda menores podem, assim, permitir maior resolução.