Categoria de produto

 Nota: "Produto de categorias" redireciona para este artigo. Para a operação sobre objetos de uma categoria, veja Produto (teoria das categorias).

No campo matemático da teoria das categorias, o produto de duas categorias C e D, denotado por C × D e chamado de categoria de produto, é uma extensão do conceito de produto cartesiano de dois conjuntos. Categorias produto são usadas para definir bifuntores e multifuntores.

Definição

A categoria produto C × D possui:

• como objetos:

  pares de objetos (A, B), onde A é um objeto de C e B é um objeto de D;

• como setas (ou morfismos) de (A₁, B₁) para (A₂, B₂):

  pares de setas (f, g), onde f : A₁ → A₂ é uma seta de C e g : B₁ → B₂ é uma seta de D;

• como composição, a composição componente a componente das categorias de origem:

  (f₂, g₂) o (f₁, g₁) = (f₂ o f₁, g₂ o g₁);

• como identidades, pares de identidades das categorias de origem:

  1_{(A, B)} = (1_A, 1_B).

Relação com outros conceitos categóricos

Para categorias pequenas, isso é o mesmo que a ação sobre objetos do produto categórico na categoria Cat. Um funtor cujo domínio é uma categoria produto é conhecido como um bifuntor. Um exemplo importante é o funtor Hom, que possui como domínio o produto da oposta de alguma categoria com a própria categoria original:

Hom : C^op × C → Set.

Generalização para vários argumentos

Assim como o produto cartesiano binário é facilmente generalizado para um produto cartesiano n-ário, o produto binário de duas categorias pode ser generalizado, de forma completamente análoga, para um produto de n categorias. A operação de produto em categorias é comutativa e associativa, a menos de isomorfismo, e, portanto, essa generalização não traz nada de novo de um ponto de vista teórico.

Referências

• Definição 1.6.5 em Borceux, Francis (1994). Handbook of categorical algebra. Col: Encyclopedia of mathematics and its applications 50-51, 53 [i.e. 52]. 1. [S.l.]: Cambridge University Press. p. 22. ISBN 0-521-44178-1 
• product+category in nLab
• Mac Lane, Saunders (1978). Categories for the Working Mathematician Segunda ed. New York, NY: Springer New York. pp. 36–40. ISBN 1441931236. OCLC 851741862 

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