Complementar

Definição

Se A e B são conjuntos, então o complemento relativo de A em relação a B , também conhecido como diferença de B e A , é o conjunto de elementos de B que não estão em A.

A diferença de B para A é geralmente denotada ${\displaystyle B\setminus A}$. Às vezes é escrito ${\displaystyle B-A}$, mas esta notação é ambígua, já que, em alguns contextos, pode ser interpretada como o conjunto de todos os elementos de b - a, onde b é tomado a partir de B e a a partir de A.

Formalmente:

${\displaystyle B\setminus A=\{x\in B\mid x\notin A\}.}$

Exemplos

• ${\displaystyle \{1,2,3\}\setminus \{2,3,4\}=\{1\}}$.

• ${\displaystyle \{2,3,4\}\setminus \{1,2,3\}=\{4\}}$.

• Se ${\displaystyle \mathbb {R} }$ é o conjunto de números reais e ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ é o conjunto dos números racionais, então ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$ é o conjunto dos números irracionais.

Propriedades

Sejam A, B e C três conjuntos. As seguintes identidades mostram propriedades importantes da diferença de conjuntos, que podem ser demonstradas com poucos passos usando a própria definição de diferença de conjuntos, junto com as Leis de De Morgan:

• ${\displaystyle C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B)}$;

• ${\displaystyle C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B)=(C\setminus A)\setminus B=(C\setminus B)\setminus A}$;
• ${\displaystyle (A\cup B)\setminus C=(A\setminus C)\cup (B\setminus C)}$;
• ${\displaystyle C\setminus (B\setminus A)=(C\cap A)\cup (C\setminus B)}$;
• Com o caso especialmente importante de que ${\displaystyle C\setminus (C\setminus A)=(C\cap A)}$ demonstrando que a interseção pode ser expressa usando apenas a operação de diferença de conjuntos;
• ${\displaystyle (B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus A=B\cap (C\setminus A)}$;
• ${\displaystyle (B\setminus A)\cup C=(B\cup C)\setminus (A\setminus C)}$;
• ${\displaystyle A\setminus A=\emptyset }$;
• ${\displaystyle \emptyset \setminus A=\emptyset }$;
• ${\displaystyle A\setminus \emptyset =A}$.

Definição

Se A é um conjunto, então o complementar de A é o conjunto de elementos que não estão em A. Em outras palavras, se U é o universo que contém todos os conjuntos que estão sendo estudados no problema de modo que não é necessário mencioná-lo quando ele é óbvio e único, então o complementar de A é a diferença entre os conjuntos U e A, sendo representado normalmente como:

${\displaystyle A^{\complement }=U\setminus A}$.

Formalmente:

${\displaystyle A^{\complement }=\{x\in U\mid x\notin A\}.}$

Outras notações incluem ${\displaystyle A^{c}}$, ${\displaystyle {\overline {A}}}$, ${\displaystyle A'}$, ${\displaystyle \complement _{U}A}$, e ${\displaystyle \complement A}$.

Exemplos

• Assuma que o universo é o conjunto dos inteiros. Se A é o conjunto dos números ímpares, então o complementar de A é o conjunto de números pares. Se B é o conjunto de múltiplos de 3, então o complementar de B é o conjunto de números congruentes a 1 ou 2 módulo 3.

• Assuma que o universo é um baralho padrão de 52 cartas. Se o conjunto A é o naipe de espadas, então o complementar de A é a união do naipe de copas, paus, e ouros.

Propriedades

Sejam A e B dois conjuntos no universo U. As seguintes identidades mostram propriedades importantes de complementares:

Teoremas de De Morgan:

• ${\displaystyle \left(A\cup B\right)^{\complement }=A^{\complement }\cap B^{\complement }.}$
• ${\displaystyle \left(A\cap B\right)^{\complement }=A^{\complement }\cup B^{\complement }.}$

Leis de complementar:

• ${\displaystyle A\cup A^{\complement }=U.}$
• ${\displaystyle A\cap A^{\complement }=\varnothing .}$
• ${\displaystyle \varnothing ^{\complement }=U.}$
• ${\displaystyle U^{\complement }=\varnothing .}$
• ${\displaystyle {\text{Se }}A\subset B{\text{, então }}B^{\complement }\subset A^{\complement }.}$

Involução ou lei do duplo complementar:

• ${\displaystyle \left(A^{\complement }\right)^{\complement }=A.}$

Relações entre o complementar e a diferença de conjuntos:

• ${\displaystyle A\setminus B=A\cap B^{\complement }.}$
• ${\displaystyle (A\setminus B)^{\complement }=A^{\complement }\cup B.}$
• ${\displaystyle A^{\complement }\setminus B^{\complement }=B\setminus A.}$

As duas primeiras leis acima mostram que se A é não-vazio, subconjunto próprio de U, então {A, A^c} é uma partição de U.