Conjecturas de Weil

Na matemática, as conjecturas de Weil foram propostas altamente influentes de André Weil (1949). Elas levaram a um programa de várias décadas, bem-sucedido, para prová-las, no qual muitos pesquisadores de ponta desenvolveram a estrutura da geometria algébrica moderna e da teoria dos números.

As conjecturas dizem respeito às funções geradoras (conhecidas como funções zeta locais) derivadas da contagem de pontos em variedades algébricas sobre corpos finitos. Uma variedade $V$ sobre um corpo finito com $q$ elementos tem um número finito de pontos racionais (com coordenadas no corpo original), bem como pontos com coordenadas em qualquer extensão finita do corpo original. A função geradora possui coeficientes derivados dos números $N k$ de pontos sobre o corpo de extensão com $q k$ elementos.

Weil conjecturou que tais funções zeta para variedades suaves são funções racionais, satisfazem uma certa equação funcional, e têm seus zeros em lugares restritos. As duas últimas partes foram conscientemente modeladas na função zeta de Riemann, uma espécie de função geradora para números inteiros primos, que obedece a uma equação funcional e (conjecturalmente) tem seus zeros restritos pela hipótese de Riemann. A racionalidade foi provada por Bernard Dwork (1960), a equação funcional por Alexander Grothendieck (1965), e o análogo da hipótese de Riemann por Pierre Deligne (1974).

Contexto e história

O antecedente mais antigo das conjecturas de Weil é de Carl Friedrich Gauss e aparece na seção VII de sua Disquisitiones Arithmeticae (Mazur 1974), tratando de raízes da unidade e períodos de Gauss. No artigo 358, ele avança a partir dos períodos que constroem torres de extensões quadráticas, para a construção de polígonos regulares; e assume que $p$ é um número primo congruente a 1 módulo 3. Então existe um corpo cúbico cíclico dentro do corpo ciclotômico de raízes da unidade de ordem $p$ , e uma base integral normal de períodos para os inteiros deste corpo (um caso do teorema de Hilbert–Speiser). Gauss constrói os períodos de ordem 3, correspondendo ao grupo cíclico $(Z / p Z) \times$ de resíduos não nulos módulo $p$ sob a multiplicação e seu único subgrupo de índice três. Gauss define $ℜ$ , $ℜ^{'}$ e $ℜ^{″}$ como sendo suas classes laterais. Tomando os períodos (somas de raízes da unidade) correspondentes a essas classes laterais aplicadas a $exp(2 π i / p)$ , ele nota que esses períodos têm uma tabela de multiplicação que é acessível ao cálculo. Os produtos são combinações lineares dos períodos, e ele determina os coeficientes. Ele estabelece, por exemplo, $(ℜ ℜ)$ como sendo igual ao número de elementos de $Z / p Z$ que estão em $ℜ$ e que, após serem incrementados em um, também estão em $ℜ$ . Ele prova que este número e outros relacionados são os coeficientes dos produtos dos períodos. Para ver a relação desses conjuntos com as conjecturas de Weil, note que se $α$ e $α + 1$ estão ambos em $ℜ$ , então existem $x$ e $y$ em $Z / p Z$ tais que $x 3 = α$ e $y 3 = α + 1$ ; consequentemente, $x 3 + 1 = y 3$ . Portanto, $(ℜ ℜ)$ está relacionado ao número de soluções para $x 3 + 1 = y 3$ no corpo finito $Z / p Z$ . Os outros coeficientes têm interpretações semelhantes. A determinação de Gauss dos coeficientes dos produtos dos períodos, portanto, conta o número de pontos nestas curvas elípticas, e como subproduto ele prova o análogo da hipótese de Riemann.

As conjecturas de Weil no caso especial de curvas algébricas foram conjecturadas por Emil Artin (1924). O caso de curvas sobre corpos finitos foi provado por Weil, finalizando o projeto iniciado pelo Teorema de Hasse sobre curvas elípticas sobre corpos finitos. O interesse nelas era bastante óbvio dentro da teoria dos números: elas implicavam limites superiores para somas exponenciais, uma preocupação básica na teoria analítica dos números (Moreno 2001).

O que realmente chamou a atenção, do ponto de vista de outras áreas da matemática, foi a conexão proposta com a topologia algébrica. Dado que os corpos finitos são de natureza discreta, e a topologia fala apenas sobre o contínuo, a formulação detalhada de Weil (baseada no desenvolvimento de alguns exemplos) foi impressionante e inovadora. Sugeriu que a geometria sobre corpos finitos deveria se encaixar em padrões bem conhecidos relacionados aos números de Betti, ao Teorema do ponto fixo de Lefschetz e assim por diante.

A analogia com a topologia sugeriu que uma nova teoria homológica fosse estabelecida para aplicação dentro da geometria algébrica. Isso levou duas décadas (foi um objetivo central do trabalho e da escola de Alexander Grothendieck) construindo a partir das sugestões iniciais de Serre. A parte da racionalidade das conjecturas foi provada primeiro por Bernard Dwork (1960), usando métodos $p$ -ádicos. Grothendieck (1965) e seus colaboradores estabeleceram a conjectura da racionalidade, a equação funcional e a ligação com os números de Betti usando as propriedades da cohomologia étale, uma nova teoria de cohomologia desenvolvida por Grothendieck e Michael Artin para atacar as conjecturas de Weil, conforme delineado em Grothendieck (1960). Das quatro conjecturas, o análogo da hipótese de Riemann foi a mais difícil de provar. Motivado pela prova de Serre (1960) de um análogo das conjecturas de Weil para variedades de Kähler, Grothendieck imaginou uma prova baseada em suas conjecturas padrão sobre ciclos algébricos (Kleiman 1968). No entanto, as conjecturas padrão de Grothendieck permanecem abertas (exceto pelo teorema de Lefschetz forte, que foi provado por Deligne ao estender seu trabalho sobre as conjecturas de Weil), e o análogo da hipótese de Riemann foi provado por Deligne (1974), usando a teoria da cohomologia étale mas contornando o uso de conjecturas padrão por meio de um argumento engenhoso.

Deligne (1980) encontrou e provou uma generalização das conjecturas de Weil, limitando os pesos do pushforward (imagem direta) de um feixe.

Enunciado das conjecturas de Weil

Suponha que $X$ é uma variedade algébrica projetiva não singular de dimensão $n$ sobre o corpo $F q$ com $q$ elementos. A função zeta $ζ (X, s)$ de $X$ é, por definição:

ζ (X, s) = \exp (\sum_{m = 1}^{\infty} \frac{N_{m}}{m} q^{- m s})

onde $N m$ é o número de pontos de $X$ definidos sobre a extensão de grau $m$ $F q m$ de $F q$ .

As conjecturas de Weil afirmam:

1. (Racionalidade)

ζ (X, s)

é uma função racional de

T = q - s

. Mais precisamente,

ζ (X, s)

pode ser escrita como um produto alternado finito

\prod_{i = 0}^{2 n} P_{i} (q^{- s})^{(- 1)^{i + 1}} = \frac{P_{1} (T) \dots P_{2 n - 1} (T)}{P_{0} (T) \dots P_{2 n} (T)},

onde cada

P i (T)

é um polinômio com coeficientes inteiros. Além disso,

P 0 (T) = 1 - T

,

P 2 n (T) = 1 - q n T

, e para

1 \leq i \leq 2 n - 1

,

P i (T)

se fatora sobre

C

como

\prod_{j} (1 - α_{i j} T)

para alguns números

α ij

.

2. (Equação funcional e dualidade de Poincaré) A função zeta satisfaz

ζ (X, n - s) = \pm q^{n E / 2 - E s} ζ (X, s)

ou de forma equivalente

ζ (X, q^{- n} T^{- 1}) = \pm q^{n E / 2} T^{E} ζ (X, T)

onde

E

é a característica de Euler de

X

. Em particular, para cada

i

, os números

α 2 n - i,1

,

α 2 n - i,2

, ... são iguais aos números

q n / α i,1

,

q n / α i,2

, ... em alguma ordem.

3. (Hipótese de Riemann)

| α i, j | = q i /2

para todos os

1 \leq i \leq 2 n - 1

e todos os

j

. Isso implica que todos os zeros de

P k (T)

residem na "linha crítica" dos números complexos

s

com parte real

k /2

.

4. (Números de Betti) Se

X

é uma (boa) "redução módulo

p

" de uma variedade projetiva não singular

Y

definida sobre um corpo de números imerso no corpo dos números complexos, então o grau de

P i

é o

i

-ésimo número de Betti do espaço dos pontos complexos de

Y

.

Exemplos

A reta projetiva

O exemplo mais simples (além de um ponto) é tomar $X$ como a reta projetiva. O número de pontos de $X$ sobre um corpo com $q m$ elementos é apenas $N m = q m + 1$ (onde o " $+ 1$ " vem do "ponto no infinito"). A função zeta é simplesmente

\frac{1}{(1 - q^{- s}) (1 - q^{1 - s})} .

É fácil verificar todas as partes das conjecturas de Weil diretamente. Por exemplo, a variedade complexa correspondente é a Esfera de Riemann e seus números de Betti iniciais são 1, 0, 1.

Espaço projetivo

Não é muito mais difícil fazer para o espaço projetivo de dimensão $n$ . O número de pontos de $X$ sobre um corpo com $q m$ elementos é apenas $N m = 1 + q m + q 2 m + \dots + q nm$ . A função zeta é simplesmente

\frac{1}{(1 - q^{- s}) (1 - q^{1 - s}) \dots (1 - q^{n - s})} .

É novamente fácil verificar todas as partes das conjecturas de Weil diretamente. O (espaço projetivo complexo fornece os números de Betti relevantes, que quase determinam a resposta.)

O número de pontos na reta projetiva e no espaço projetivo são tão fáceis de calcular porque eles podem ser escritos como uniões disjuntas de um número finito de cópias de espaços afins. Também é fácil provar as conjecturas de Weil para outros espaços, como Grassmannianas e variedades de bandeira (flag varieties), que têm a mesma propriedade de "pavimentação".

Curvas elípticas

Estas fornecem os primeiros casos não triviais das conjecturas de Weil (provadas por Hasse). Se $E$ é uma curva elíptica sobre um corpo finito com $q$ elementos, então o número de pontos de $E$ definidos sobre o corpo com $q m$ elementos é $1 - α m - β m + q m$ , onde $α$ e $β$ são complexos conjugados com valor absoluto $\sqrt q$ .A função zeta é

\frac{(1 - α q^{- s}) (1 - β q^{- s})}{(1 - q^{- s}) (1 - q^{1 - s})} .

Os números de Betti são dados pelo toro, 1,2,1, e o numerador é uma quadrática.

Curvas hiperelípticas

Como exemplo, considere a curva hiperelíptica

C : y^{2} + y = x^{5},

que possui gênero $g = 2$ e dimensão $n = 1$ . Visto primeiramente como uma curva $C / ℚ$ definida sobre os números racionais $ℚ$ , esta curva tem boa redução em todos os primos $5 \neq q \in ℙ$ . Então, após a redução módulo $q \neq 5$ , obtém-se uma curva hiperelíptica $C / 𝐅_{q} : y^{2} + h (x) y = f (x)$ de gênero 2, com $h (x) = 1, f (x) = x^{5} \in 𝐅_{q} [x]$ . Tomando $q = 41$ como exemplo, os polinômios de Weil $P_{i} (T)$ , $i = 0, 1, 2,$ e a função zeta de $C / 𝐅_{41}$ assumem a forma

ζ (C / 𝐅_{41}, s) = \frac{P_{1} (T)}{P_{0} (T) \cdot P_{2} (T)} = \frac{1 - 9 \cdot T + 71 \cdot T^{2} - 9 \cdot 41 \cdot T^{3} + 4 1^{2} \cdot T^{4}}{(1 - T) (1 - 41 \cdot T)} .

Os valores $c_{1} = - 9$ e $c_{2} = 71$ podem ser determinados contando os números de soluções $(x, y)$ de $y^{2} + y = x^{5}$ sobre $𝐅_{41}$ e $𝐅_{4 1^{2}}$ , respectivamente, e adicionando 1 a cada um desses dois números para incluir o ponto no infinito $\infty$ . Esta contagem fornece $N_{1} = 33$ e $N_{2} = 1743$ . Segue que:

c_{1} = N_{1} - 1 - q = 33 - 1 - 41 = - 9

e

c_{2} = (N_{2} - 1 - q^{2} + c_{1}^{2}) / 2 = (1743 - 1 - 4 1^{2} + (- 9)^{2}) / 2 = 71.

Os zeros de $P_{1} (T)$ são $z_{1} := 0.12305 + \sqrt{- 1} \cdot 0.09617$ e $z_{2} := - 0.01329 + \sqrt{- 1} \cdot 0.15560$ (as expansões decimais destas partes real e imaginária são cortadas após a quinta casa decimal) juntamente com seus complexos conjugados $z_{3} := {\bar{z}}_{1}$ e $z_{4} := {\bar{z}}_{2}$ . Assim, na fatoração $P_{1} (T) = \prod_{j = 1}^{4} (1 - α_{1, j} T)$ , temos $α_{1, j} = 1 / z_{j}$ . Como afirmado na terceira parte (Hipótese de Riemann) das conjecturas de Weil, $| α_{1, j} | = \sqrt{41}$ para $j = 1, 2, 3, 4$ .

A variedade projetiva, complexa e não singular que pertence a $C / ℚ$ possui os números de Betti $B_{0} = 1, B_{1} = 2 g = 4, B_{2} = 1$ . Conforme descrito na parte quatro das conjecturas de Weil, os números de Betti (definidos topologicamente!) coincidem com os graus dos polinômios de Weil $P_{i} (T)$ , para todos os primos $q \neq 5$ : $d e g (P_{i}) = B_{i}, i = 0, 1, 2$ .

Superfícies abelianas

Uma superfície abeliana é uma variedade abeliana bidimensional. Isto é, são variedades projetivas que também têm a estrutura de um grupo, de uma forma que é compatível com a composição do grupo e com a tomada de inversos. Curvas elípticas representam variedades abelianas unidimensionais. Como um exemplo de uma superfície abeliana definida sobre um corpo finito, considere a variedade Jacobiana $X := Jac (C / 𝐅_{41})$ da curva de gênero 2

C / 𝐅_{41} : y^{2} + y = x^{5},

que foi introduzida na seção sobre curvas hiperelípticas. A dimensão de $X$ é igual ao gênero de $C$ , então $n = 2$ . Existem inteiros algébricos $α_{1}, \dots, α_{4}$ tais que

o polinômio $P (x) = \prod_{j = 1}^{4} (x - α_{j})$ possui coeficientes em $ℤ$ ;
$M_{m} := | Jac (C / 𝐅_{4 1^{m}}) | = \prod_{j = 1}^{4} (1 - α_{j}^{m})$ para todos os $m \in ℕ$ ; e
$| α_{j} | = \sqrt{41}$ para $j = 1, \dots, 4$ .

A função zeta de $X$ é dada por

ζ (X, s) = \prod_{i = 0}^{4} P_{i} (q^{- s})^{(- 1)^{i + 1}} = \frac{P_{1} (T) \cdot P_{3} (T)}{P_{0} (T) \cdot P_{2} (T) \cdot P_{4} (T)},

onde $q = 41$ , $T = q^{- s} \overset{d e f}{=} exp (- s \cdot log (41))$ , e $s$ representa a variável complexa da função zeta. Os polinômios de Weil $P_{i} (T)$ têm a seguinte forma específica (Kahn 2020):

P_{i} (T) = \prod_{1 \leq j_{1} < j_{2} < \dots < j_{i - 1} < j_{i} \leq 4} (1 - α_{j_{1}} \cdot \dots \cdot α_{j_{i}} T)

para $i = 0, 1, \dots, 4$ , e

P_{1} (T) = \prod_{j = 1}^{4} (1 - α_{j} T) = 1 - 9 \cdot T + 71 \cdot T^{2} - 9 \cdot 41 \cdot T^{3} + 4 1^{2} \cdot T^{4}

é o mesmo para a curva $C$ (ver seção acima) e sua variedade Jacobiana $X$ . Isto é, as raízes inversas de $P_{i} (T)$ são os produtos $α_{j_{1}} \cdot \dots \cdot α_{j_{i}}$ que consistem em $i$ muitas, diferentes raízes inversas de $P_{1} (T)$ . Portanto, todos os coeficientes dos polinômios $P_{i} (T)$ podem ser expressos como funções polinomiais dos parâmetros $c_{1} = - 9$ , $c_{2} = 71$ e $q = 41$ que aparecem em $P_{1} (T) = 1 + c_{1} T + c_{2} T^{2} + q c_{1} T^{3} + q^{2} T^{4} .$ Calculando estas funções polinomiais para os coeficientes dos $P_{i} (T)$ , mostra-se que

\begin{matrix} P_{0} (T) & = 1 - T \\ P_{1} (T) & = 1 - 3^{2} \cdot T + 71 \cdot T^{2} - 3^{2} \cdot 41 \cdot T^{3} + 4 1^{2} \cdot T^{4} \\ P_{2} (T) & = (1 - 41 \cdot T)^{2} \cdot (1 + 11 \cdot T + 3 \cdot 7 \cdot 41 \cdot T^{2} + 11 \cdot 4 1^{2} \cdot T^{3} + 4 1^{4} \cdot T^{4}) \\ P_{3} (T) & = 1 - 3^{2} \cdot 41 \cdot T + 71 \cdot 4 1^{2} \cdot T^{2} - 3^{2} \cdot 4 1^{4} \cdot T^{3} + 4 1^{6} \cdot T^{4} \\ P_{4} (T) & = 1 - 4 1^{2} \cdot T \end{matrix}

O polinômio $P_{1}$ permite calcular o número de elementos da variedade Jacobiana $Jac (C)$ sobre o corpo finito $𝐅_{41}$ e de sua extensão de corpo $𝐅_{4 1^{2}}$ :

\begin{matrix} M_{1} & \overset{d e f}{=} | Jac (C / 𝐅_{41}) | = P_{1} (1) = \prod_{j = 1}^{4} [1 - α_{j} T]_{T = 1} \\ = [1 - 9 \cdot T + 71 \cdot T^{2} - 9 \cdot 41 \cdot T^{3} + 4 1^{2} \cdot T^{4}]_{T = 1} = 1 - 9 + 71 - 9 \cdot 41 + 4 1^{2} = 1375 = 5^{3} \cdot 11, e \\ M_{2} & \overset{d e f}{=} | Jac (C / 𝐅_{4 1^{2}}) | = \prod_{j = 1}^{4} [1 - α_{j}^{2} T]_{T = 1} \\ = [1 + 61 \cdot T + 3 \cdot 587 \cdot T^{2} + 61 \cdot 4 1^{2} \cdot T^{3} + 4 1^{4} \cdot T^{4}]_{T = 1} = 2930125 = 5^{3} \cdot 11 \cdot 2131. \end{matrix}

As inversas $α_{i, j}$ dos zeros de $P_{i} (T)$ de fato possuem o valor absoluto esperado de $4 1^{i / 2}$ (Hipótese de Riemann). Além disso, os mapeamentos $α_{i, j} ⟼ 4 1^{2} / α_{i, j},$ $j = 1, \dots, \deg P_{i},$ correlacionam as inversas dos zeros de $P_{i} (T)$ e as inversas dos zeros de $P_{4 - i} (T)$ . Uma variedade algébrica projetiva complexa, não singular, $Y$ com boa redução no primo 41 para $X = Jac (C / 𝐅_{41})$ deve ter os números de Betti $B_{0} = B_{4} = 1, B_{1} = B_{3} = 4, B_{2} = 6$ , pois estes são os graus dos polinômios $P_{i} (T) .$ A característica de Euler $E$ de $X$ é dada pela soma alternada desses graus/números de Betti: $E = 1 - 4 + 6 - 4 + 1 = 0$ .

Ao tomar o logaritmo de

ζ (Jac (C / 𝐅_{41}), s) = \exp (\sum_{m = 1}^{\infty} \frac{M_{m}}{m} (4 1^{- s})^{m}) = \prod_{i = 0}^{4} P_{i} (4 1^{- s})^{(- 1)^{i + 1}} = \frac{P_{1} (T) \cdot P_{3} (T)}{P_{0} (T) \cdot P_{2} (T) \cdot P_{4} (T)},

segue-se que

\begin{matrix} \sum_{m = 1}^{\infty} & \frac{M_{m}}{m} (4 1^{- s})^{m} = \log (\frac{P_{1} (T) \cdot P_{3} (T)}{P_{0} (T) \cdot P_{2} (T) \cdot P_{4} (T)}) \\ = 1375 \cdot T + 2930125 / 2 \cdot T^{2} + 4755796375 / 3 \cdot T^{3} + 7984359145125 / 4 \cdot T^{4} + 13426146538750000 / 5 \cdot T^{5} + O (T^{6}) . \end{matrix}

Além dos valores $M_{1}$ e $M_{2}$ já conhecidos, pode-se extrair a partir desta série de Taylor todos os outros números $M_{m}$ , $m \in ℕ$ , de elementos racionais sobre $𝐅_{4 1^{m}}$ da variedade Jacobiana, definida sobre $𝐅_{41}$ , da curva $C / 𝐅_{41}$ : por exemplo, $M_{3} = 4755796375 = 5^{3} \cdot 11 \cdot 61 \cdot 56701$ e $M_{4} = 7984359145125 = 3^{4} \cdot 5^{3} \cdot 11 \cdot 2131 \cdot 33641$ . Ao fazer isto, $m_{1} | m_{2}$ sempre implica $M_{m_{1}} | M_{m_{2}}$ já que, então, $Jac (C / 𝐅_{4 1^{m_{1}}})$ é um subgrupo de $Jac (C / 𝐅_{4 1^{m_{2}}})$ .

Cohomologia de Weil

Weil sugeriu que as conjecturas seguiriam da existência de uma "teoria de cohomologia de Weil" adequada para variedades sobre corpos finitos, similar à cohomologia usual com coeficientes racionais para variedades complexas. A sua ideia era que, se $F$ for o automorfismo de Frobenius sobre o corpo finito, então o número de pontos da variedade $X$ sobre o corpo de ordem $q m$ é o número de pontos fixos de $F m$ (agindo em todos os pontos da variedade $X$ definidos sobre o fecho algébrico). Na topologia algébrica, o número de pontos fixos de um automorfismo pode ser calculado utilizando o Teorema do ponto fixo de Lefschetz, dado como uma soma alternada de traços nos grupos de cohomologia. Assim, se existissem grupos de cohomologia semelhantes para variedades sobre corpos finitos, a função zeta poderia ser expressa em termos deles.

O primeiro problema com isso é que o corpo de coeficientes para uma teoria de cohomologia de Weil não pode ser os números racionais. Para ver isso, considere o caso de uma curva elíptica super-singular sobre um corpo finito de característica $p$ . O anel de endomorfismos disso é uma ordem em uma álgebra de quatérnios sobre os racionais, e deve agir no primeiro grupo de cohomologia, que deveria ser um espaço vetorial de dimensão 2 sobre o corpo de coeficientes, por analogia com o caso de uma curva elíptica complexa. No entanto, uma álgebra de quatérnios sobre os racionais não pode agir num espaço vetorial de dimensão 2 sobre os racionais. O mesmo argumento elimina a possibilidade de o corpo de coeficientes ser os reais ou os números $p$ -ádicos, porque a álgebra de quatérnios ainda é uma álgebra de divisão sobre esses corpos. No entanto, não elimina a possibilidade de o corpo de coeficientes ser o corpo dos números $ℓ$ -ádicos para algum primo $ℓ \neq p$ , porque sobre esses corpos a álgebra de divisão fatora-se (splits) e torna-se uma álgebra de matrizes, que pode atuar em um espaço vetorial bidimensional. Grothendieck e Michael Artin conseguiram construir teorias de cohomologia adequadas sobre o corpo de números $ℓ$ -ádicos para cada primo $ℓ \neq p$ , chamadas de cohomologia $ℓ$ -ádica.

As provas de Grothendieck para três das quatro conjecturas

No final de 1964, Grothendieck juntamente com Artin e Jean-Louis Verdier (e o trabalho anterior de 1960 de Dwork) provaram as conjecturas de Weil, com exceção da terceira conjectura, a mais difícil, mencionada acima (a conjectura da "hipótese de Riemann") (Grothendieck 1965). Os teoremas gerais sobre a cohomologia étale permitiram que Grothendieck provasse um análogo da fórmula de ponto fixo de Lefschetz para a teoria de cohomologia ℓ-ádica e, aplicando-a ao automorfismo de Frobenius F, ele foi capaz de provar a fórmula conjecturada para a função zeta:

ζ (s) = \frac{P_{1} (T) \dots P_{2 n - 1} (T)}{P_{0} (T) P_{2} (T) \dots P_{2 n} (T)}

onde cada polinômio P_i é o determinante de I − TF no grupo de cohomologia ℓ-ádica Hⁱ.

A racionalidade da função zeta segue imediatamente. A equação funcional para a função zeta deriva da dualidade de Poincaré para a cohomologia ℓ-ádica, e a relação com os números de Betti complexos de um levantamento surge de um teorema de comparação entre a cohomologia ℓ-ádica e a cohomologia ordinária para variedades complexas.

De forma mais geral, Grothendieck provou uma fórmula semelhante para a função zeta (ou "função L generalizada") de um feixe F₀:

Z (X_{0}, F_{0}, t) = \prod_{x \in | X_{0} |} det (1 - F_{x}^{*} t^{\deg (x)} ∣ F_{0})^{- 1}

como um produto sobre os grupos de cohomologia:

Z (X_{0}, F_{0}, t) = \prod_{i} det (1 - F^{*} t ∣ H_{c}^{i} (F))^{(- 1)^{i + 1}}

O caso especial do feixe constante produz a função zeta usual.

A primeira prova de Deligne para a conjectura da hipótese de Riemann

Verdier (1974), Serre (1975), Katz (1976) e Freitag & Kiehl (1988) forneceram exposições da primeira prova de Deligne (1974). Grande parte do embasamento em cohomologia ℓ-ádica é descrita em (Deligne 1977).

A primeira prova de Deligne da terceira conjectura de Weil restante (a "conjectura da hipótese de Riemann") utilizou os seguintes passos:

Uso de feixes de Lefschetz (Lefschetz pencils)

Grothendieck expressou a função zeta em termos do traço do Frobenius nos grupos de cohomologia ℓ-ádica, de forma que as conjecturas de Weil para uma variedade V de dimensão d sobre um corpo finito com q elementos dependiam de mostrar que os autovalores α do Frobenius agindo sobre o i-ésimo grupo de cohomologia ℓ-ádica Hⁱ(V) de V têm valores absolutos |α| = q^i/2 (para uma imersão dos elementos algébricos de Q_ℓ nos números complexos).
Após realizar o blow-up em V e estender o corpo base, pode-se assumir que a variedade V possui um morfismo sobre a reta projetiva P¹, com um número finito de fibras singulares possuindo singularidades muito brandas (quadráticas). A teoria da monodromia de pincéis de Lefschetz, introduzida para variedades complexas (e cohomologia ordinária) por Lefschetz (1924), e estendida por Grothendieck (1972) e Deligne & Katz (1973) para a cohomologia ℓ-ádica, relaciona a cohomologia de V com a de suas fibras. A relação depende do espaço E_x dos ciclos evanescentes, o subespaço da cohomologia H^d−1(V_x) de uma fibra não singular V_x, gerado por classes que se anulam em fibras singulares.
A sequência espectral de Leray relaciona o grupo de cohomologia intermediário de V à cohomologia da fibra e da base. A parte difícil de tratar é, mais ou menos, um grupo H¹(P¹, j_*E) = H¹
_c(U,E), onde U são os pontos da reta projetiva com fibras não singulares, j é a inclusão de U na reta projetiva, e E é o feixe cujas fibras são os espaços E_x dos ciclos evanescentes.

A estimativa chave

O coração da prova de Deligne consiste em mostrar que o feixe E sobre U é puro, em outras palavras, encontrar os valores absolutos dos autovalores do Frobenius nas suas hastes (stalks). Isso é feito estudando as funções zeta das potências pares E^k de E e aplicando a fórmula de Grothendieck para as funções zeta como produtos alternados sobre os grupos de cohomologia. A ideia crucial de considerar potências pares k de E foi inspirada no artigo de Rankin (1939), que utilizou uma ideia semelhante com k = 2 para limitar a função tau de Ramanujan. Langlands (1970, seção 8) apontou que uma generalização do resultado de Rankin para valores pares mais altos de k implicaria a conjectura de Ramanujan, e Deligne percebeu que no caso das funções zeta de variedades, a teoria de Grothendieck das funções zeta de feixes fornecia um análogo dessa generalização.

Os polos da função zeta de E^k são encontrados usando a fórmula de Grothendieck

Z (U, E^{k}, T) = \frac{det (1 - F^{*} T ∣ H_{c}^{1} (E^{k}))}{det (1 - F^{*} T ∣ H_{c}^{0} (E^{k})) det (1 - F^{*} T ∣ H_{c}^{2} (E^{k}))}

e calculando os grupos de cohomologia no denominador explicitamente. O termo H⁰
_c é usualmente apenas 1 uma vez que U geralmente não é compacto, e o H²
_c pode ser calculado explicitamente como segue. A dualidade de Poincaré relaciona H²
_c(E^k) com H⁰
(E^k), que por sua vez é o espaço dos covariantes do grupo de monodromia, o qual é o grupo fundamental geométrico de U atuando na fibra de E^k em um ponto. A fibra de E tem uma forma bilinear induzida pelo produto cup, que é antissimétrica se d for par, e torna E num espaço simplético. (Isto é um tanto impreciso: Deligne demonstrou mais tarde que E∩E^⊥ = 0 ao usar o teorema de Lefschetz forte, isso exige as conjecturas de Weil, e a prova das conjecturas de Weil realmente tem que usar um argumento ligeiramente mais complicado com E/E∩E^⊥ em vez de simplesmente E.) Um argumento de Kazhdan e Margulis demonstra que a imagem do grupo de monodromia atuando em E, dada pela fórmula de Picard–Lefschetz, é densa na topologia de Zariski num grupo simplético e portanto tem os mesmos invariantes, que são bem conhecidos a partir da teoria clássica de invariantes. Rastrear a ação de Frobenius neste cálculo mostra que seus autovalores são todos q^k(d−1)/2+1, logo a função zeta de Z(E^k,T) tem polos apenas em T = 1/q^k(d−1)/2+1.

O produto de Euler para a função zeta de E^k é

Z (E^{k}, T) = \prod_{x} \frac{1}{Z (E_{x}^{k}, T)}

Se k é par, então todos os coeficientes dos fatores à direita (considerados como séries de potências em T) são não negativos; isto decorre de escrever

\frac{1}{det (1 - T^{\deg (x)} F_{x} ∣ E^{k})} = \exp (\sum_{n > 0} \frac{T^{n}}{n} Trace (F_{x}^{n} ∣ E)^{k})

e usar o fato de que os traços das potências de F são racionais, logo as suas potências k são não negativas, já que k é par. Deligne prova a racionalidade dos traços relacionando-os aos números de pontos de variedades, que são sempre inteiros (racionais).

A série de potências para Z(E^k, T) converge para T menor que o valor absoluto 1/q^k(d−1)/2+1 do seu único polo possível. Quando k é par, os coeficientes de todos os seus fatores de Euler são não negativos, de modo que cada um dos fatores de Euler tem coeficientes delimitados por uma constante multiplicada pelos coeficientes de Z(E^k, T) e portanto converge na mesma região e não tem polos nesta região. Assim, para k par, os polinômios Z(E^k
_x, T) não têm zeros nesta região, ou, por outras palavras, os autovalores do Frobenius nas hastes de E^k têm valor absoluto de no máximo q^k(d−1)/2+1.
Esta estimativa pode ser usada para encontrar o valor absoluto de qualquer autovalor α do Frobenius numa fibra de E como segue. Para qualquer número inteiro k, α^k é um autovalor do Frobenius numa haste de E^k, que para k par é limitado por q^1+k(d−1)/2. Então

| α^{k} | \leq q^{k (d - 1) / 2 + 1}

Como isto é verdadeiro para k par arbitrariamente grande, implica que

| α | \leq q^{(d - 1) / 2} .

A dualidade de Poincaré implica então que

| α | = q^{(d - 1) / 2} .

Conclusão da prova

A dedução da hipótese de Riemann a partir desta estimativa é maioritariamente um uso bastante direto de técnicas padrão e é feita como se segue.

Os autovalores do Frobenius em H¹
_c(U,E) podem agora ser estimados, uma vez que são os zeros da função zeta do feixe E. Esta função zeta pode ser escrita como um produto de Euler de funções zeta das hastes de E, e usar a estimativa para os autovalores nestas hastes mostra que este produto converge para |T| < q^−d/2−1/2, de tal forma que não há zeros da função zeta nesta região. Isto implica que os autovalores do Frobenius em E são no máximo q^d/2+1/2 em valor absoluto (na verdade, ver-se-á logo que eles têm valor absoluto exatamente q^d/2). Este passo do argumento é muito semelhante à prova usual de que a função zeta de Riemann não tem zeros com parte real maior que 1, ao escrevê-la como um produto de Euler.
A conclusão disto é que os autovalores α do Frobenius de uma variedade de dimensão par d no grupo de cohomologia intermediário satisfazem

| α | \leq q^{d / 2 + 1 / 2}

Para obter a hipótese de Riemann é necessário eliminar o 1/2 do expoente. Isto pode ser feito da seguinte forma. Aplicando esta estimativa a qualquer potência par V^k de V e usando a fórmula de Künneth mostra-se que os autovalores do Frobenius na cohomologia intermediária de uma variedade V de qualquer dimensão d satisfazem

| α^{k} | \leq q^{k d / 2 + 1 / 2}

Dado que isto é verdade para k par arbitrariamente grande, implica que

| α | \leq q^{d / 2}

A dualidade de Poincaré implica então que

| α | = q^{d / 2} .

Isto prova as conjecturas de Weil para a cohomologia intermediária de uma variedade. As conjecturas de Weil para a cohomologia abaixo da dimensão intermediária seguem-se a partir disto aplicando o teorema de Lefschetz fraco, e as conjecturas para a cohomologia acima da dimensão intermediária seguem-se então da dualidade de Poincaré.

A segunda prova de Deligne

Deligne (1980) encontrou e provou uma generalização das conjecturas de Weil, estabelecendo limites para os pesos da imagem direta (pushforward) de um feixe. Na prática, é esta generalização em vez das conjecturas de Weil originais que é mais utilizada em aplicações, tal como o teorema de Lefschetz forte. Muito da segunda prova é um rearranjo das ideias da sua primeira prova. A principal ideia extra necessária é um argumento intimamente relacionado com o teorema de Jacques Hadamard e Charles-Jean de la Vallée Poussin, usado por Deligne para mostrar que várias séries-L não têm zeros com parte real 1.

Um feixe construtível numa variedade sobre um corpo finito é dito ser puro de peso β se, para todos os pontos x, os autovalores do Frobenius em x têm todos valor absoluto N(x)^β/2, e é chamado misto de peso ≤ β se puder ser escrito como extensões repetidas por feixes puros com pesos ≤ β.

O teorema de Deligne afirma que, se f é um morfismo de esquemas do tipo finito sobre um corpo finito, então Rⁱf_! leva feixes mistos de peso ≤ β em feixes mistos de peso ≤ β + i.

As conjecturas originais de Weil seguem ao tomar f como um morfismo de uma variedade projetiva suave para um ponto e considerar o feixe constante Q_ℓ na variedade. Isso fornece um limite superior para os valores absolutos dos autovalores do Frobenius, e a dualidade de Poincaré demonstra em seguida que isto é também um limite inferior.

Em geral, Rⁱf_! não leva feixes puros em feixes puros. No entanto, o faz quando é válida uma forma adequada da dualidade de Poincaré, por exemplo se f é suave e próprio, ou se se trabalha com feixes perversos em vez de feixes como em Beilinson, Bernstein & Deligne (1982).

Inspirado pelo trabalho de Witten (1982) na teoria de Morse, Laumon (1987) encontrou uma outra prova, utilizando a transformada de Fourier ℓ-ádica de Deligne, o que lhe permitiu simplificar a prova de Deligne evitando o uso do método de Hadamard e de la Vallée Poussin. A sua prova generaliza o cálculo clássico do valor absoluto das somas de Gauss usando o facto de que a norma de uma transformada de Fourier tem uma relação simples com a norma da função original. Kiehl & Weissauer (2001) usaram a prova de Laumon como a base para a sua exposição do teorema de Deligne. Katz (2001) forneceu uma simplificação adicional da prova de Laumon, utilizando monodromia no espírito da primeira prova de Deligne. Kedlaya (2006) deu outra prova utilizando a transformada de Fourier, substituindo a cohomologia étale pela cohomologia rígida.

Aplicações

Deligne (1980) conseguiu provar o teorema de Lefschetz forte sobre corpos finitos usando a sua segunda prova das conjecturas de Weil.
Deligne (1971) havia mostrado anteriormente que a conjectura de Ramanujan–Petersson segue-se a partir das conjecturas de Weil.
Deligne (1974, seção 8) usou as conjecturas de Weil para provar estimativas para somas exponenciais.
Nick Katz e William Messing (1974) conseguiram provar a conjectura padrão do tipo Künneth sobre corpos finitos utilizando a prova de Deligne para as conjecturas de Weil.

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[1] Weil, André (1949). «Numbers of solutions of equations in finite fields». 55 (5). Bulletin of the American Mathematical Society. pp. 497–508. doi:10.1090/S0002-9904-1949-09219-4

[2] Dieudonné, Jean (1989). A History of Algebraic and Differential Topology, 1900–1960. [S.l.]: Birkhäuser. pp. 278–282. ISBN 978-0817633882

[3] Edwards, Harold M. (2001). Riemann's Zeta Function. [S.l.]: Dover Publications. pp. 1–25. ISBN 978-0486417400

[4] Grothendieck, Alexander (1958). «The cohomology theory of abstract algebraic varieties». Edinburgh: Proceedings of the International Congress of Mathematicians. pp. 103–118

[5] Dwork, Bernard (1960). «On the rationality of the zeta function of an algebraic variety». 82 (3). American Journal of Mathematics. pp. 631–648. doi:10.2307/2372974

[6] LMFDB: Genus 2 curve 3125.a.3125.1

[7] Capítulo 6, Teorema 5.1 em Koblitz, Neal (7 de maio de 2004). Algebraic Aspects of Cryptography. [S.l.]: Springer. p. 146. ISBN 3-540-63446-0

[8] Capítulo 7, Parágrafo §7B em Mumford, David (15 de fevereiro de 1995). Algebraic Geometry I, Complex Projective Varieties. [S.l.]: Springer. p. 131. ISBN 3-540-58657-1

[9] LMFDB: Abelian variety isogeny class 2.41.aj_ct over F(41)

[10] Capítulo V, Teorema 19.1 em Milne, James (1986). «Abelian Varieties». In: Cornell, Gary; Silverman, Joseph H. Arithmetic Geometry. Nova York: Springer-Verlag. pp. 103–150. ISBN 978-1-4613-8655-1. doi:10.1007/978-1-4613-8655-1

[11] Capítulo 6, Teorema 5.1 em Koblitz, Neal (1998). Algebraic Aspects of Cryptography. [S.l.]: Springer. p. 146. ISBN 3-540-63446-0

[12] LMFDB: Abelian variety isogeny class 2.41.aj_ct over F(41)

[13] Hartshorne, Robin (1977). Algebraic Geometry. [S.l.]: Springer. pp. 454–458. ISBN 978-0387902449

[14] Artin, Michael; Grothendieck, Alexander (1972). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie (SGA 4): Théorie des topos et cohomologie étale des schémas. [S.l.]: Springer. ISBN 978-3540052081

[15] Rankin, R. A. (1939). «Contributions to the theory of Ramanujan's function τ(n) and similar arithmetical functions». 35. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. pp. 351–372. doi:10.1017/S0305004100021424

[16] Freitag, Eberhard; Kiehl, Reinhardt (1988). Étale Cohomology and the Weil Conjecture. [S.l.]: Springer. pp. 249–292. ISBN 978-3540172581

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