Constante de Landau-Ramanujan

Na matemática e no campo da teoria dos números, a constante de Landau-Ramanujan é o número real positivo ${\displaystyle b}$ que ocorre em um teorema provado por Edmund Landau em 1908, afirmando que para um ${\displaystyle x}$ grande, o número de inteiros positivos menores que ${\displaystyle x}$ que são a soma de dois quadrados perfeitos comporta-se assintoticamente como

${\displaystyle {\frac {bx}{\sqrt {\log(x)}}}.}$

Esta constante matemática ${\displaystyle b}$ foi redescoberta em 1913 por Srinivasa Ramanujan, na primeira carta que ele escreveu para G.H. Hardy.

Somas de dois quadrados

Pelo teorema da soma de dois quadrados, os números que podem ser expressos como uma soma de dois quadrados de inteiros são aqueles para os quais cada número primo congruente a 3 mod 4 aparece com um expoente par em sua fatoração em primos. Por exemplo, 45 = 9 + 36 é uma soma de dois quadrados; em sua fatoração em primos, 3² × 5, o primo 3 aparece com um expoente par, e o primo 5 é congruente a 1 mod 4, portanto, seu expoente pode ser ímpar.

O teorema de Landau afirma que se ${\displaystyle N(x)}$ for o número de inteiros positivos menores que ${\displaystyle x}$ que são a soma de dois quadrados, então

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\left({\frac {N(x)}{\frac {x}{\sqrt {\log(x)}}}}\right)=b\approx 0{,}764223653589220662990698731250092328116790541}$ (sequência A064533 na OEIS),

onde ${\displaystyle b}$ é a constante de Landau-Ramanujan.

A constante de Landau-Ramanujan também pode ser escrita como um produto infinito:

${\displaystyle b={\frac {1}{\sqrt {2}}}\prod _{p\equiv 3{\pmod {4}}}\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)^{-1/2}={\frac {\pi }{4}}\prod _{p\equiv 1{\pmod {4}}}\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)^{1/2}.}$

História

Esta constante foi enunciada por Landau na forma de limite acima; Ramanujan, em vez disso, aproximou ${\displaystyle N(x)}$ como uma integral, com a mesma constante de proporcionalidade e com um termo de erro de crescimento lento.

Referências