David Hilbert

Infância e formação

Hilbert era o primeiro dos dois filhos e o único filho homem de Otto Hilbert, juiz distrital, e Maria Therese Hilbert, nascida Erdtmann, filha de um comerciante. Nasceu na província da Prússia, no Reino da Prússia, em Königsberg, hoje Kaliningrado, como ele próprio afirmava, ou em Wehlau, cidade próxima a Königsberg chamada Znamensk desde 1946, onde seu pai trabalhava na época. Seu avô paterno, também chamado David Hilbert, era juiz e Geheimrat. Maria interessava-se por filosofia, astronomia e números primos, enquanto Otto ensinou ao filho as chamadas virtudes prussianas. A família mudou-se para Königsberg depois que Otto se tornou juiz municipal. Elise, irmã de David, nasceu quando ele tinha seis anos. Hilbert começou a frequentar a escola aos oito anos, dois anos depois da idade habitual.

No fim de 1872, entrou no Friedrichskolleg, o mesmo ginásio que Immanuel Kant frequentara 140 anos antes. Insatisfeito, transferiu-se no fim de 1879 para o Wilhelmsgymnasium, mais voltado para as ciências, onde se formou no começo de 1880. Seu professor de matemática destacou no certificado de conclusão dos estudos o conhecimento da disciplina e a capacidade de Hilbert de resolver problemas por conta própria.

No outono daquele ano, matriculou-se na Universidade de Conisberga, conhecida como Albertina. Heinrich Weber foi um de seus professores. Depois do primeiro semestre, Hilbert estudou durante um semestre na Universidade de Heidelberg e então voltou a Königsberg. Hermann Minkowski, dois anos mais novo e também nascido em Königsberg, voltou à cidade no início de 1882 depois de passar três semestres em Berlim e ingressou na universidade. Hilbert fez amizade com o tímido e talentoso Minkowski, e os dois permaneceram próximos pelo resto da vida.

Carreira

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  Hilbert em 1886.
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  Hilbert em 1907.

Em 1884, Adolf Hurwitz chegou de Göttingen como Extraordinarius, cargo equivalente ao de professor associado. Começou então uma intensa troca de ideias entre ele, Minkowski e Hilbert. Minkowski e Hilbert, em particular, influenciaram-se mutuamente em diferentes momentos da carreira. Hilbert obteve o doutorado em 1885 sob orientação de Ferdinand von Lindemann com a tese Über invariante Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunktionen, sobre propriedades invariantes de formas binárias especiais e harmônicos esféricos.

Após o doutorado, viajou à Universidade de Leipzig no inverno de 1885–1886 para conhecer Felix Klein. Por sugestão dele, passou alguns meses em Paris na primavera de 1886, onde teve contato com matemáticos franceses, entre eles Henri Poincaré e Charles Hermite. De volta a Königsberg, habilitou-se para a docência universitária em 1886 com um trabalho sobre a teoria dos invariantes.

Hilbert lecionou na Universidade de Königsberg como Privatdozent até 1892, quando sucedeu Hurwitz como professor extraordinário. Em 1894, passou a ocupar uma cátedra como professor ordinário. No ano seguinte, graças à intervenção de Klein, tornou-se professor de matemática da Universidade de Göttingen. Durante os anos de Klein e Hilbert, Göttingen passou a ocupar uma posição de destaque mundial na matemática. Hilbert trabalhou ali até o fim da vida.

Escola de Göttingen

Em 1900, Hilbert presidiu a Associação dos Matemáticos da Alemanha. Em 1902, recusou uma oferta de cátedra em Berlim e obteve a nomeação de seu amigo Minkowski para Göttingen. A morte prematura de Minkowski, em 1909, foi um duro golpe pessoal; Hilbert escreveu uma homenagem ao amigo e organizou a publicação de seus trabalhos reunidos.

Hermann Weyl doutorou-se sob orientação de Hilbert. Edward Kasner, já doutor por Columbia, frequentou seus cursos em Göttingen em 1899–1900; Carl Gustav Hempel também estudou matemática com ele. Ernst Zermelo, doutorado em Berlim antes de ir a Göttingen, passou a integrar o grupo de Hilbert. John von Neumann estudou com Hilbert durante uma estada de pós-doutorado em 1926–1927. Em Göttingen, Hilbert também conviveu com Emmy Noether e Alonzo Church.

Em 1915, Hilbert e Felix Klein convidaram Noether a trabalhar em Göttingen. Ambos apoiaram sua habilitação para lecionar, impedida na época pelas restrições impostas às mulheres. Enquanto o pedido não era aceito, as aulas de Noether eram anunciadas sob o nome de Hilbert; ela obteve a habilitação em 1919.

Entre os 69 doutorandos que orientou em Göttingen estavam Otto Blumenthal (tese em 1898), Felix Bernstein (1901), Hermann Weyl (1908), Richard Courant (1910), Erich Hecke (1910), Hugo Steinhaus (1911) e Wilhelm Ackermann (1925). Seis das pessoas que orientou até o doutorado eram mulheres, num período em que seu acesso à universidade ainda enfrentava restrições na Prússia. Hilbert foi um dos editores da revista Mathematische Annalen de 1902 a 1939. Em 1907, foi eleito membro internacional da Academia Nacional de Ciências dos Estados Unidos.

Blumenthal recordou que Hilbert dava aulas sem ornamentos retóricos, mas com clareza e conteúdo original. Depois dos seminários, convidava os participantes a conversar sobre matemática fora da universidade e caminhava com eles pelas colinas próximas a Göttingen.

Seu nome consta entre os signatários da Erklärung der Hochschullehrer des Deutschen Reiches, de 23 de outubro de 1914, declaração de professores universitários alemães que apoiava o esforço militar do país na Primeira Guerra Mundial.

Em 1928, apresentou a conferência plenária Probleme der Grundlegung der Mathematik, sobre os problemas dos fundamentos da matemática, no Congresso Internacional de Matemáticos realizado em Bolonha.

Vida pessoal

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  Hilbert e sua esposa Käthe Jerosch em 1892.
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  Franz Hilbert.

Em 12 de outubro de 1892, Hilbert casou-se com Käthe Jerosch (1864–1945), filha de um comerciante de Königsberg e, nas palavras de Constance Reid, uma jovem franca cuja independência de pensamento combinava com a de Hilbert. Käthe passava a limpo a correspondência e os manuscritos do marido para envio às editoras. O casal teve um único filho em Königsberg, Franz Hilbert (1893–1969). Franz conviveu com uma doença mental por toda a vida. Depois de sua internação numa clínica psiquiátrica, Hilbert disse: "De agora em diante, devo considerar que não tenho filho". Sua atitude entristecia muito Käthe.

Hilbert chamava Hermann Minkowski de seu "melhor e mais verdadeiro amigo".

Hilbert foi batizado e criado como calvinista na União Prussiana de Igrejas. Mais tarde, afastou-se da igreja e, segundo uma análise de Vladislav Shaposhnikov, parecia agnóstico. Também sustentava que a verdade matemática independia da existência de Deus ou de outras suposições a priori. Quando Galileu Galilei foi criticado por não defender até o fim suas convicções sobre o heliocentrismo, Hilbert teria retrucado: "Mas ele não era um idiota. Só um idiota pode acreditar que a verdade científica precisa de martírio. Isso talvez seja necessário na religião, mas os resultados científicos se provam com o tempo".

Últimos anos

Como Albert Einstein, Hilbert manteve contato próximo com o Grupo de Berlim. Três de seus fundadores, Kurt Grelling, Hans Reichenbach e Walter Dubislav, haviam estudado com ele em Göttingen.

Em 1925, Hilbert adoeceu de anemia perniciosa. O tratamento com fígado introduzido pouco depois teve êxito em seu caso e, segundo Hermann Weyl, salvou-lhe a vida. Seu assistente Eugene Wigner lembrava-se de sua "enorme fadiga" e de que ele "parecia bastante velho". Mesmo depois do diagnóstico e do tratamento, Wigner avaliou que Hilbert "mal podia ser chamado de cientista depois de 1925, e certamente já não era o Hilbert de antes".

Hilbert aposentou-se da cátedra em 1930, mas ainda ministrou aulas ocasionalmente: no semestre de inverno de 1933–1934, deu um curso semanal sobre os fundamentos da geometria. Em 1932, foi eleito membro da Sociedade Filosófica Americana.

Hilbert presenciou o expurgo nazista de professores da Universidade de Göttingen em 1933, promovido pela Lei para a Restauração do Serviço Público Profissional. Entre os acadêmicos afastados ou levados a deixar Göttingen estavam Hermann Weyl, que assumira a cátedra de Hilbert após sua aposentadoria, Emmy Noether, Edmund Landau, Richard Courant e o físico Max Born. Paul Bernays, obrigado a deixar a Alemanha, colaborara com Hilbert em lógica matemática e escreveu com ele Grundlagen der Mathematik, publicado em dois volumes, em 1934 e 1939. A obra deu sequência ao livro que Hilbert escrevera com Wilhelm Ackermann, Grundzüge der theoretischen Logik (1928). Helmut Hasse sucedeu Weyl.

Cerca de um ano depois do expurgo, Hilbert participou de um banquete em que se sentou ao lado do novo ministro da Educação, Bernhard Rust. Rust perguntou se o Instituto de Matemática tinha sofrido tanto com a saída dos judeus. Hilbert respondeu: "Sofreu? Ele já não existe, não é?"

Em 1942, foi nomeado membro honorário da Associação dos Matemáticos da Alemanha.

Morte

No início de 1942, Hilbert caiu enquanto caminhava em Göttingen e fraturou um braço. Segundo a biografia do MacTutor, o acidente agravou sua inatividade e pode ter contribuído para sua morte no ano seguinte.

Quando Hilbert morreu, em 1943, os nazistas já haviam substituído quase todo o corpo docente da universidade. Muitos dos antigos professores eram judeus ou casados com judeus. Menos de uma dúzia de pessoas compareceu ao funeral, entre elas apenas dois colegas acadêmicos. Um deles era Arnold Sommerfeld, físico teórico também nascido em Königsberg. A notícia de sua morte só chegou ao público fora da Alemanha alguns meses depois.

O epitáfio gravado em seu túmulo em Göttingen traz as palavras com que encerrou seu discurso à Sociedade de Cientistas e Médicos Alemães em 8 de setembro de 1930. Hilbert as pronunciou em resposta à máxima latina Ignoramus et ignorabimus, "ignoramos e ignoraremos":

Wir müssen wissen.
Wir werden wissen.
"Devemos saber.
Saberemos."

Um trecho de aproximadamente quatro minutos do discurso Naturerkennen und Logik foi transmitido pelo rádio; a gravação de sua voz foi preservada.

No dia anterior ao discurso de Hilbert, Kurt Gödel anunciara discretamente, numa mesa-redonda da Conferência sobre a Epistemologia das Ciências Exatas, uma primeira formulação de seu teorema da incompletude. O primeiro dos teoremas da incompletude de Gödel mostra que sistemas formais consistentes, efetivamente axiomatizados e capazes de expressar a aritmética elementar contêm enunciados que não podem ser demonstrados nem refutados dentro do próprio sistema.

Solução do problema de Gordan

Os primeiros trabalhos de Hilbert sobre funções invariantes levaram-no, em 1888, a demonstrar seu teorema da finitude. Vinte anos antes, Paul Gordan havia provado que os invariantes das formas binárias têm um conjunto finito de geradores, recorrendo a cálculos trabalhosos. As tentativas de estender seu método a funções de mais de duas variáveis esbarravam na dificuldade dos cálculos. Hilbert tomou outro caminho para resolver o chamado problema de Gordan. Demonstrou o Teorema da base de Hilbert e, com um argumento adicional, a existência de um conjunto finito de geradores para os invariantes de formas algébricas com qualquer número finito de variáveis. A demonstração não construía explicitamente esse conjunto; tratava-se de uma prova de existência.

Ao avaliar para a Mathematische Annalen uma versão mais desenvolvida do trabalho, Gordan reconheceu a importância e a correção dos resultados, mas considerou insuficientemente clara e rigorosa a exposição da demonstração. Hilbert protestou, e Felix Klein publicou o artigo sem alterações. Klein explicou a Hilbert que a avaliação geral de Gordan era favorável, embora este recomendasse uma apresentação mais organizada. A frase atribuída a Gordan, "Das ist nicht Mathematik. Das ist Theologie" ("Isso não é matemática. É teologia"), apareceu pela primeira vez num elogio fúnebre escrito por Max Noether em 1914, cerca de 25 anos depois dos acontecimentos. Sua associação a uma rejeição do resultado por Gordan é contestada pela pesquisa histórica.

Incentivado por Klein, Hilbert ampliou o método num segundo artigo, estimando o grau máximo de um conjunto mínimo de geradores, e enviou-o novamente à revista. Depois de ler o manuscrito, Klein escreveu: "Sem dúvida, este é o trabalho mais importante sobre álgebra geral já publicado nos Annalen". Klein relatou mais tarde outra frase atribuída a Gordan: "Convenci-me de que até a teologia tem seus méritos".

O caráter não construtivo da prova continuou a provocar objeções. Hilbert responderia que "muitas construções diferentes estão contidas numa única ideia fundamental". Como escreveu Reid, uma prova de existência permitira a Hilbert obter uma construção: a própria prova era o objeto. A filosofia construtivista de Leopold Kronecker prosseguiu com L. E. J. Brouwer e sua escola intuicionista, o que incomodou Hilbert em seus últimos anos. Seu antigo aluno Hermann Weyl também se interessou pelas ideias de Brouwer, reavivando em Hilbert a lembrança de Kronecker. Brouwer se opunha especialmente ao uso da lei do terceiro excluído em conjuntos infinitos, questão que marcou a controvérsia entre os dois. Hilbert retrucou: "Tirar do matemático o princípio do terceiro excluído é como proibir o boxeador de usar os punhos".

Teorema dos zeros

Em álgebra, um corpo algebricamente fechado é um corpo no qual todo polinômio não constante de uma variável tem uma raiz. Hilbert formulou um critério para que uma família de polinômios ${\displaystyle (p_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }}$ em ${\displaystyle n}$ variáveis tenha uma raiz comum sobre esse corpo: isso acontece se, e somente se, não existem polinômios ${\displaystyle q_{1},\ldots ,q_{k}}$ e índices ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k}}$ tais que

${\displaystyle 1=\sum _{j=1}^{k}p_{\lambda _{j}}({\vec {x}})q_{j}({\vec {x}}).}$

O resultado é o Teorema dos zeros de Hilbert, ou Hilberts Nullstellensatz. Hilbert também demonstrou a correspondência bijetiva entre os conjuntos algébricos afins e os ideais radicais de ${\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$, por meio dos ideais dos polinômios que se anulam nesses conjuntos e dos conjuntos de zeros dos ideais.

Curva de Hilbert

Em 1890, Giuseppe Peano publicou na Mathematische Annalen um artigo com a primeira curva que preenche o espaço. Hilbert criou outra construção desse tipo, descrita em 1891 e hoje chamada curva de Hilbert. Suas aproximações são produzidas iterativamente pelas regras de substituição mostradas na figura. A curva é o limite pontual dessa sequência.

Axiomatização da geometria

Em Grundlagen der Geometrie (Fundamentos da geometria), publicado em 1899, Hilbert propôs um conjunto formal de axiomas em lugar dos axiomas de Euclides. O sistema contornava falhas encontradas nos Elementos, ainda usados como livro didático naquela época. Hilbert modificou os axiomas em diferentes edições, de modo que sua enumeração depende da edição consultada. Logo após a publicação da monografia, saiu uma tradução francesa à qual ele acrescentou o axioma da completude, V.2. E. J. Townsend preparou uma tradução inglesa autorizada por Hilbert, publicada em 1902. A versão inglesa incorporou as mudanças feitas para a francesa e, por isso, corresponde à segunda edição. Hilbert continuou a revisar o texto alemão. A sétima edição foi a última publicada em vida; outras vieram depois, sem revisão substancial do texto principal.

O livro também contém demonstrações de independência e consistência relativa de alguns axiomas, ampliando o estudo formal do próprio sistema geométrico.

A abordagem de Hilbert fez parte da passagem para o método axiomático moderno, antecipada em certos aspectos por um trabalho de Moritz Pasch de 1882. Os axiomas deixam de ser tomados como verdades evidentes por si mesmas. Embora a geometria trate de objetos dos quais temos uma forte intuição, não é preciso atribuir significado explícito aos conceitos não definidos. Hilbert teria dito a Schoenflies e Kötter que pontos, retas e planos poderiam ser substituídos por mesas, cadeiras e copos de cerveja. O que importa são as relações estabelecidas entre eles.

Hilbert enumera primeiro os conceitos não definidos: ponto, reta, plano, a relação de incidência entre pontos e retas, pontos e planos, retas e planos, a relação de estar entre dois elementos e a congruência de segmentos e ângulos. Os axiomas reúnem a geometria plana e a geometria espacial de Euclides num só sistema.

Os 23 problemas

No Congresso Internacional de Matemáticos de Paris, em 1900, Hilbert apresentou dez problemas em aberto. O trabalho publicado reuniu 23 problemas, entre eles a hipótese de Riemann, e orientou pesquisas matemáticas ao longo do século XX.

Depois de reformular os fundamentos da geometria clássica, Hilbert poderia ter estendido o mesmo método ao restante da matemática. Sua proposta diferia dos projetos fundacionais de Bertrand Russell e Alfred North Whitehead, do enciclopedismo posterior de Nicolas Bourbaki e do trabalho de seu contemporâneo Giuseppe Peano. Os problemas que apontou permitiram à comunidade matemática trabalhar em questões que ele via como centrais em cada área.

Hilbert expôs parte da lista na conferência "Problemas matemáticos", durante o segundo Congresso Internacional de Matemáticos. Na abertura, perguntou:

Quem de nós não gostaria de erguer o véu atrás do qual se esconde o futuro, lançar um olhar aos próximos avanços da nossa ciência e aos segredos de seu desenvolvimento nos séculos vindouros? A que objetivos se dedicarão os principais matemáticos das próximas gerações? Que novos métodos e fatos os novos séculos revelarão no vasto campo do pensamento matemático?

Na palestra, apresentou dez problemas; os 23 enunciados constaram do texto publicado nas atas do congresso. Há ainda um vigésimo quarto problema de Hilbert. O texto integral continua a ser consultado, pois até mesmo a interpretação de algumas perguntas pode alterar a contagem dos problemas resolvidos.

Alguns tiveram solução em pouco tempo. Outros foram debatidos durante todo o século XX, e alguns são considerados amplos demais para receber uma solução definitiva. Há também questões que permanecem em aberto.

Os títulos abaixo seguem a tradução publicada em 1902 no Bulletin of the American Mathematical Society:

1. O problema de Cantor sobre a cardinalidade do contínuo.
2. A consistência dos axiomas da aritmética.
3. A igualdade dos volumes de dois tetraedros com bases e alturas iguais.
4. A reta como menor distância entre dois pontos.
5. O conceito de Lie de grupo contínuo de transformações sem supor que as funções que definem o grupo sejam diferenciáveis.
6. Tratamento matemático dos axiomas da física.
7. Irracionalidade e transcendência de determinados números.
8. Problemas relativos aos números primos, entre eles a hipótese de Riemann.
9. Demonstração da lei de reciprocidade mais geral em qualquer corpo numérico.
10. Determinação da solubilidade de uma equação diofantina.
11. Formas quadráticas com coeficientes numéricos algébricos arbitrários.
12. Extensão do teorema de Kronecker sobre corpos abelianos a qualquer domínio de racionalidade algébrica.
13. Impossibilidade de resolver a equação geral de sétimo grau por meio de funções de apenas dois argumentos.
14. Demonstração da finitude de determinados sistemas completos de funções.
15. Fundamentação rigorosa do cálculo enumerativo de Schubert.
16. Topologia das curvas e superfícies algébricas.
17. Expressão de formas definidas como somas de quadrados.
18. Construção do espaço a partir de poliedros congruentes.
19. As soluções dos problemas regulares do cálculo das variações são necessariamente analíticas?
20. O problema geral dos valores de contorno nas equações diferenciais parciais.
21. Demonstração da existência de equações diferenciais lineares com um grupo de monodromia prescrito.
22. Uniformização de relações analíticas por meio de funções automórficas.
23. Desenvolvimento dos métodos do cálculo das variações.

Formalismo

Numa interpretação difundida em meados do século XX, a lista de problemas de Hilbert também funcionou como manifesto do formalismo, uma das três principais escolas sobre os fundamentos da matemática naquele século. Para os formalistas, a matemática consiste na manipulação de símbolos segundo regras formais acordadas e, nesse sentido, constitui uma atividade autônoma do pensamento. Essa descrição simplificada não abrange toda a posição de Hilbert, que distinguia o raciocínio finitário dotado de conteúdo da manipulação formal dos enunciados ideais.

Análise funcional

Por volta de 1909, Hilbert passou a estudar equações diferenciais e integrais. Suas pesquisas tiveram consequências diretas para a análise funcional. Para desenvolvê-las, introduziu a ideia de um espaço euclidiano de dimensão infinita, mais tarde chamado espaço de Hilbert. Esse trabalho deu base a pesquisas na matemática aplicada à física nas duas décadas seguintes, por caminhos que ele não havia previsto. Stefan Banach ampliou posteriormente a ideia ao definir os espaços de Banach. Os espaços de Hilbert tornaram-se uma classe de objetos da análise funcional, especialmente na teoria espectral dos operadores lineares autoadjuntos.

Física

Até 1912, Hilbert dedicou-se quase exclusivamente à matemática pura. Quando Hermann Minkowski, seu amigo e também matemático, planejou visitá-lo vindo de Bonn, onde estudava física, brincou que precisaria passar dez dias em quarentena antes da visita. Minkowski parece ter participado da maior parte das incursões de Hilbert pela física antes de 1912, inclusive de um seminário que ministraram juntos sobre o assunto em 1905.

Em 1912, três anos depois da morte do amigo, Hilbert voltou quase toda a atenção à física e providenciou um professor particular para ajudá-lo. Começou pela teoria cinética dos gases e passou ao estudo elementar da radiação e à teoria molecular da matéria. Mesmo após o início da guerra, em 1914, continuou a organizar seminários e cursos que acompanhavam de perto os trabalhos de Albert Einstein e de outros pesquisadores.

Em 1907, Einstein já havia formulado os fundamentos de sua teoria da gravitação, mas levaria quase oito anos para chegar à forma final da relatividade geral. No começo do verão de 1915, o interesse de Hilbert pela física concentrava-se nessa teoria, e ele convidou Einstein a apresentar uma semana de palestras em Göttingen. Einstein foi recebido com entusiasmo. Durante o verão, soube que Hilbert também trabalhava nas equações de campo e redobrou seus esforços. Em novembro de 1915, publicou trabalhos que culminaram em "Die Feldgleichungen der Gravitation", sobre as equações de campo de Einstein. Hilbert apresentou "Die Grundlagen der Physik" à Academia de Göttingen em 20 de novembro de 1915. A versão publicada em março de 1916, depois de revisões substanciais, expôs uma formulação variacional das equações relacionada à ação de Einstein–Hilbert. Os documentos preservados não permitem identificar sem ressalvas a forma exata das equações na versão apresentada em novembro. Embora tenha havido tensão entre os dois naquele período, Einstein e Hilbert não travaram em vida uma disputa pública pela prioridade das equações.

O trabalho de Hilbert também antecipou avanços na formulação matemática da mecânica quântica. Foi relevante para os estudos de Hermann Weyl e John von Neumann sobre a equivalência entre a mecânica matricial de Werner Heisenberg e a teoria ondulatória de Erwin Schrödinger. O espaço de Hilbert passou a desempenhar um papel na teoria quântica. Em três artigos de 1927, von Neumann formulou a mecânica quântica em espaços de Hilbert e apresentou uma demonstração rigorosa da equivalência entre a mecânica matricial e a ondulatória.

Durante seus estudos de física, Hilbert procurou dar mais rigor à matemática empregada pelos físicos. Ao compreender melhor como eles a utilizavam, desenvolveu uma teoria matemática coerente para os problemas que estudava, em especial no campo das equações integrais. Quando Richard Courant escreveu Methoden der mathematischen Physik, incorporou algumas ideias de Hilbert e incluiu seu nome como coautor, embora Hilbert não tivesse participado diretamente da redação. Hilbert dizia que "a física é difícil demais para os físicos", sugerindo que a matemática necessária muitas vezes ia além de sua formação. O livro de Courant e Hilbert ajudou a tornar esses métodos mais acessíveis.

Teoria dos números

Hilbert reuniu resultados da teoria algébrica dos números em seu tratado de 1897, Zahlbericht, literalmente "relatório sobre números". Em 1909, resolveu o problema de Waring, formulado em 1770. Como no teorema da finitude, empregou uma prova de existência: demonstrou que havia soluções sem fornecer um procedimento para obtê-las. Depois disso, publicou pouco sobre o assunto, mas as formas modulares de Hilbert, estudadas na tese de um aluno, associaram seu nome a outro campo.

Hilbert formulou conjecturas na teoria dos corpos de classes. Seus conceitos deixaram marcas nos nomes do corpo de classe de Hilbert e do símbolo de Hilbert da teoria local dos corpos de classe. A maior parte dos resultados foi demonstrada até 1930, após o trabalho de Teiji Takagi.

Hilbert não trabalhou nas áreas centrais da teoria analítica dos números. Seu nome aparece, porém, na conjectura de Hilbert-Pólya por causa de um relato indireto. Ernst Hellinger, antigo aluno de Hilbert, contou a André Weil que Hilbert dissera num seminário, no começo do século XX, esperar que a prova da hipótese de Riemann decorresse dos estudos de Fredholm sobre equações integrais com núcleo simétrico.

Textos primários em tradução inglesa

• Ewald, William B., org. (1996). From Kant to Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics. Oxford: Oxford University Press.
  • 1904. "On the foundations of logic and arithmetic", pp. 129–138.
  • 1918. "Axiomatic thought", pp. 1114–1115.
  • 1922. "The new grounding of mathematics: First report", pp. 1115–1133.
  • 1923. "The logical foundations of mathematics", pp. 1134–1147.
  • 1925. "On the infinite", pp. 367–392.
  • 1927. "The foundations of mathematics", com comentário de Weyl e apêndice de Bernays, pp. 464–489.
  • 1930. "Logic and the knowledge of nature", pp. 1157–1165.
  • 1931. "The grounding of elementary number theory", pp. 1148–1156.
• Van Heijenoort, Jean (1967). From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931. Harvard University Press.
• Hilbert, David (1950 [1902]). The Foundations of Geometry [Grundlagen der Geometrie]. 2.ª ed., tradução de E. J. Townsend. La Salle, Illinois: Open Court Publishing. Arquivo de 28 de dezembro de 2005.
• Hilbert, David (1990 [1971]). Foundations of Geometry [Grundlagen der Geometrie]. 2.ª ed. inglesa, tradução de Leo Unger a partir da 10.ª ed. alemã. La Salle, Illinois: Open Court Publishing. ISBN 978-0-87548-164-7.
• Hilbert, David e Stephan Cohn-Vossen (1999). Geometry and Imagination. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-1998-2. Conjunto de palestras originalmente dirigido aos moradores de Göttingen.
• Hilbert, David (2004). David Hilbert's Lectures on the Foundations of Mathematics and Physics, 1891–1933. Edição de Michael Hallett e Ulrich Majer. Berlim e Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-64373-9.

Literatura secundária

• Bertrand, Gabriel (20 de dezembro de 1943). "Allocution". Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences, 217: 625–640 (em francês). Discurso à Academia Francesa com breves biografias de membros falecidos, entre eles Pieter Zeeman, Hilbert e Georges Giraud.
• Bottazzini, Umberto (2003). Il flauto di Hilbert: Storia della matematica. UTET. ISBN 88-7750-852-3.
• Corry, Leo, Jürgen Renn e John Stachel (1997). "Belated Decision in the Hilbert-Einstein Priority Dispute". Science, 278 (5341): 1270–1273. doi:10.1126/science.278.5341.1270.
• Corry, Leo (2004). David Hilbert and the Axiomatization of Physics (1898–1918): From Grundlagen der Geometrie to Grundlagen der Physik. Springer. ISBN 90-481-6719-1.
• Dawson, John W., Jr. (1997). Logical Dilemmas: The Life and Work of Kurt Gödel. Wellesley, Massachusetts: A. K. Peters. ISBN 1-56881-256-6.
• Fölsing, Albrecht (1998). Albert Einstein. Penguin.
• Grattan-Guinness, Ivor (2000). The Search for Mathematical Roots 1870–1940. Princeton University Press.
• Gray, Jeremy (2000). The Hilbert Challenge. ISBN 0-19-850651-1.
• Isaacson, Walter (2007). Einstein: His Life and Universe. Nova York: Simon & Schuster Paperbacks. ISBN 978-0-7432-6473-0.
• Mancosu, Paolo (1998). From Brouwer to Hilbert: The Debate on the Foundations of Mathematics in 1920s. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-509631-6.
• Mehra, Jagdish (1974). Einstein, Hilbert, and the Theory of Gravitation. Reidel.
• Piergiorgio Odifreddi (2003). Divertimento Geometrico: Le origini geometriche della logica da Euclide a Hilbert. Bollati Boringhieri. ISBN 88-339-5714-4. Exposição das falhas dos axiomas de Euclides e das soluções propostas em Grundlagen der Geometrie, com menção à geometria não euclidiana.
• Reid, Constance (1996). Hilbert. Nova York: Springer. ISBN 0-387-94674-8. Biografia de Hilbert em inglês.
• Rowe, David E. (1989). "Klein, Hilbert, and the Gottingen Mathematical Tradition". Osiris, 5: 186–213. doi:10.1086/368687.
• Sauer, Tilman (1999). "The Relativity of Discovery: Hilbert's First Note on the Foundations of Physics". Archive for History of Exact Sciences, 53 (6): 529–575. doi:10.1007/s004070050006. arXiv:physics/9811050.
• Sieg, Wilfried (2013). Hilbert's Programs and Beyond. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-537222-9.
• Sieg, Wilfried e Ravaglia, Mark (2005). "Grundlagen der Mathematik". Em Ivor Grattan-Guinness, org., Landmark Writings in Western Mathematics. Elsevier, pp. 981–999 (em inglês).
• Thorne, Kip (1995). Black Holes and Time Warps: Einstein's Outrageous Legacy. W. W. Norton & Company, reimpressão. ISBN 0-393-31276-3.
• Von Wallwitz, Georg (2017). Meine Herren, dies ist keine Badeanstalt: Wie ein Mathematiker das 20. Jahrhundert veränderte. Berlim: Berenberg Verlag. ISBN 978-3-946334-24-8. Biografia de Hilbert em alemão.