Desigualdade triangular

A desigualdade triangular é um teorema da geometria euclidiana que afirma que, num triângulo o comprimento de um dos lados é sempre inferior à soma dos comprimentos dos outros dois lados. No texto clássico Os Elementos, de Euclides, este teorema é a Proposição 20 do Livro I. É nada mais que uma reformulação do conceito intuitivo de que é mais curto o caminho reto entre A e B que o caminho de A até C somado ao de C até B.

A desigualdade triangular nos números reais

No conjunto dos números reais, chamamos de desigualdade triangular, em analogia ao caso da geometria plana a seguinte expressão envolvendo módulos:

|u+v|\leq |u|+|v|

.

Que dá origem a outras desigualdades:

$|u-v|\leq |u|+|v|$
$|u|-|v|\leq |u-v|\,$
${\Big |}|u|-|v|{\Big |}\leq |u-v|\,$

Para a primeira, escreva $|u-v|=|u+(-v)|\leq |u|+|-v|=|u|+|v|$

Para a segunda, $|u|=|v+(u-v)|\leq |v|+|u-v|\,$

A terceira é consequência da segunda, trocando os papéis de u e v.

A desigualdade triangular em $\mathbb {R} ^{n}$

Teorema

Em $\mathbb {R} ^{n}$ , quaisquer que sejam $x,y\in \mathbb {R} ^{n}$ , tem-se:

$\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|$

Havendo igualdade se e só se $y=\alpha x$ com $|1+\alpha |=1+|\alpha |$ .

Note que $\alpha =0$ está incluído mas $\alpha \leq -1$ não.

Demonstração

Utilizando a desigualdade de Cauchy-Schwarz, prova-se o teorema facilmente.

Tem-se (utilizando propriedades do produto interno):

$\|x+y\|^{2}=\langle x+y,x+y\rangle =\langle x,x\rangle +2\langle x,y\rangle +\langle y,y\rangle$ (I)

Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz aplicada em (I):

$\langle x,x\rangle +2\langle x,y\rangle +\langle y,y\rangle \leq \|x\|^{2}+2\|x\|\|y\|+\|y\|^{2}=\left(\|x\|+\|y\|\right)^{2}$

Tendo em conta que a norma é um valor não-negativo, segue que:

$\|x+y\|^{2}\leq \left(\|x\|+\|y\|\right)^{2}\Leftrightarrow \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|$ Q.E.D.

A segunda parte do teorema decorre diretamente da aplicação da desigualdade de Cauchy-Schwarz (atentar no segundo termo do lado direito da equação).