Euclides

Narrativa tradicional

O nome português "Euclides" vem do grego antigo Eukleídes (Εὐκλείδης). Seus componentes são eu- (εὖ, "bem"), klês (-κλῆς, "fama"), que juntos remetem à ideia de renome ou glória, e o sufixo -ides (-ίδης, "filho de").

Como ocorre com muitos matemáticos da Grécia Antiga, quase nada se sabe com certeza sobre a vida de Euclides. Aceita-se que seja autor de quatro tratados preservados em grande parte, Os Elementos, Óptica, Dados e Fenômenos. Fora isso, não há fatos biográficos seguros. A narrativa tradicional se apoia principalmente no relato do século V d.C. feito por Proclo em seu comentário ao primeiro livro de Os Elementos e em algumas anedotas registradas por Papo de Alexandria no início do século IV.

Proclo situou Euclides depois de alguns seguidores de Platão, morto em 347 a.C., e antes de Arquimedes, que viveu aproximadamente de 287 a 212 a.C. Situou-o, mais precisamente, no reinado de Ptolemeu I Sóter, de 305/304 a 282 a.C. Não se conhece a data de seu nascimento. Alguns autores propõem cerca de 330 ou 325 a.C., enquanto outros evitam estimá-la. Presume-se que tivesse origem grega, mas seu lugar de nascimento é desconhecido. Proclo, um neoplatônico, considerava Euclides seguidor da tradição platônica, mas não há confirmação disso. Como dificilmente foi contemporâneo de Platão, costuma-se supor que tenha sido educado por discípulos do filósofo na Academia de Atenas. O historiador Thomas Heath defendeu essa hipótese ao observar que muitos geômetras cujos trabalhos Euclides aproveitou viviam em Atenas. Michalis Sialaros a considera uma simples conjectura. De todo modo, a obra de Euclides mostra familiaridade com a geometria de tradição platônica.

Em sua Coleção, Papo relata que Apolônio de Perga estudou com alunos de Euclides em Alexandria, o que costuma ser entendido como indício de que Euclides ali trabalhou e formou uma tradição matemática. Alexandria havia sido fundada por Alexandre, o Grande, em 331 a.C. A partir de 306 a.C., o governo de Ptolemeu I deu à cidade uma estabilidade pouco comum durante as guerras pela divisão do império de Alexandre. Sob os primeiros Ptolemeus, Alexandria consolidou-se como centro da cultura helenística e sediou o Museu de Alexandria, instituição de ensino e pesquisa cuja história inicial é difícil de reconstituir. Há quem suponha que Euclides estivesse entre seus primeiros estudiosos. A data de sua morte também é desconhecida. Uma estimativa a situa por volta de 270 a.C.

Identidade e historicidade

Euclides é chamado muitas vezes de "Euclides de Alexandria" para distingui-lo de Euclides de Mégara, filósofo anterior, discípulo de Sócrates e personagem dos diálogos de Platão, com quem foi confundido ao longo da história. Num relato de Valério Máximo, compilador romano do século I d.C., o nome de Euclides aparece por engano no lugar do de Eudoxo de Cnido como o matemático a quem Platão encaminhava quem lhe perguntasse como duplicar o cubo. O erro pode ter sido do autor ou de um copista posterior. Talvez a partir dessa menção a um Euclides matemático cerca de um século antes de sua época, fontes bizantinas medievais hoje perdidas passaram a confundi-lo com Euclides de Mégara. As biografias dos dois acabaram misturadas, e o matemático recebeu a designação latina Megarensis, "de Mégara". O erudito bizantino Teodoro Metoquita, por volta de 1300, confundiu explicitamente os dois Euclides. O mesmo ocorreu na primeira edição impressa, lançada por Erhard Ratdolt em 1482, da tradução latina de Os Elementos feita por Campano de Novara. Depois que Bartolomeo Zamberti reuniu fragmentos biográficos dos dois Euclides no prefácio de sua tradução de 1505, edições posteriores perpetuaram a identificação. Uma segunda confusão, que atribui a Euclides o nascimento em Gela, na Sicília, decorre de fontes que situam ali o nascimento de Euclides de Mégara. Eruditos renascentistas, entre eles Pierre de la Ramée, reexaminaram essa identificação e mostraram que era falsa por motivos cronológicos e por contradições entre as fontes antigas.

Fontes árabes medievais apresentam uma grande quantidade de informações biográficas sobre Euclides, mas nenhuma delas pode ser verificada. Nelas, Euclides aparece como filho de Náucrates, um grego nascido em Tiro que teria vivido em Damasco. A maioria dos estudiosos considera duvidosa a autenticidade desses relatos. Heath argumentou que a biografia fictícia foi elaborada para aproximar um matemático venerado do mundo árabe. Há ainda muitas anedotas sobre Euclides, todas de historicidade incerta, que o retratam como um velho bondoso e gentil. Na mais conhecida, relatada por Proclo, Ptolemeu perguntou se haveria um caminho mais rápido para aprender geometria do que ler Os Elementos. Euclides teria respondido: "Não há estrada real para a geometria". A história é questionável, pois Estobeu conta uma conversa muito semelhante entre Menecmo e Alexandre, o Grande. Os dois relatos foram escritos no século V d.C., não apontam suas fontes e não aparecem na literatura grega mais antiga.

A datação da atividade de Euclides por volta de 300 a.C. é incerta diante da falta de menções contemporâneas. O historiador Alexander Jones considera que a cronologia convencional depende de inferências feitas por autores posteriores, em particular Proclo e Papo, e não de testemunhos da época de Euclides. A menção original mais antiga conhecida aparece na carta de apresentação de Cônicas, de Apolônio, do início do século II a.C.: "O terceiro livro de Cônicas contém muitos teoremas surpreendentes, úteis tanto para as sínteses quanto para determinar o número de soluções dos lugares sólidos. A maioria deles, inclusive os melhores, é nova. Quando os descobrimos, percebemos que Euclides não havia feito a síntese do lugar de três e quatro linhas, mas apenas de um fragmento circunstancial, e mesmo isso não havia sido bem feito". Supõe-se que Os Elementos já circulasse, ao menos em parte, no século III a.C., pois Arquimedes e Apolônio tomam algumas de suas proposições como conhecidas. Arquimedes, porém, emprega uma versão da teoria das proporções anterior à encontrada em Os Elementos. Os manuscritos mais antigos conhecidos do texto de Os Elementos são fragmentos de papiro datados paleograficamente de aproximadamente 100 d.C., encontrados entre os papiros de um antigo depósito de lixo em Oxirrinco, no Egito romano. As citações diretas mais antigas de Os Elementos em obras seguramente datadas são do século II d.C., de Galeno e Alexandre de Afrodísias. Nessa época, o tratado já era um texto escolar comum. Alguns matemáticos gregos antigos mencionam Euclides pelo nome, mas ele costuma ser chamado de "ὁ στοιχειώτης", "o autor de Os Elementos". Na Idade Média, houve estudiosos que duvidaram até mesmo de sua existência histórica e alegaram que o nome resultaria da alteração de termos matemáticos gregos.

Os Elementos

A obra mais conhecida de Euclides é Os Elementos (em grego antigo, Στοιχεῖα, Stoicheia), tratado de treze livros tido como sua obra principal. Boa parte do conteúdo provém de matemáticos anteriores, entre eles Eudoxo de Cnido, Hipócrates de Quio, Tales de Mileto e Teeteto. Outros teoremas são mencionados por Platão e Aristóteles. É difícil separar o trabalho de Euclides do de seus predecessores, em especial porque Os Elementos praticamente substituiu grande parte da matemática grega anterior, cujos textos se perderam. O classicista Markus Asper entende que seu trabalho consistiu em organizar o conhecimento matemático aceito numa ordem coerente e acrescentar demonstrações para preencher lacunas. A historiadora Serafina Cuomo chamou a obra de um "repositório de resultados". Sialaros observa, por sua vez, que a organização estreita do tratado revela um trabalho autoral que vai além da simples edição.

Apesar de uma ideia comum, Os Elementos não trata apenas de geometria. Tradicionalmente, seus livros são agrupados em geometria plana, do I ao VI, teoria dos números elementar, do VII ao IX, grandezas irracionais, no X, e geometria espacial, do XI ao XIII. O livro V, sobre proporções, não se encaixa exatamente nessa divisão. Os teoremas distribuídos pela obra constituem seu núcleo. Usando a terminologia de Aristóteles, suas afirmações podem ser separadas em "princípios primeiros" e "princípios segundos". No primeiro grupo estão os enunciados chamados "definição" (ὅρος ou ὁρισμός), "postulado" (αἴτημα) e "noção comum" (κοινὴ ἔννοια). Somente o livro I apresenta postulados, depois chamados axiomas, e noções comuns. O segundo grupo reúne proposições acompanhadas de demonstrações e diagramas. Não se sabe se Euclides pretendia escrever um livro didático, embora a forma de apresentação se preste ao ensino. A voz do autor permanece, de modo geral, impessoal.

Conteúdo

Postulados e noções comuns de Euclides

Nº	Postulados
Postule-se o seguinte:
1	Traçar uma linha reta de qualquer ponto a qualquer outro ponto
2	Prolongar continuamente uma linha reta finita em linha reta
3	Descrever um círculo com qualquer centro e distância
4	Todos os ângulos retos são iguais entre si
5	Se uma reta, ao cortar duas outras, formar ângulos internos do mesmo lado cuja soma seja menor que dois ângulos retos, as duas retas, prolongadas indefinidamente, encontrar-se-ão do lado em que estão os ângulos cuja soma é menor que dois ângulos retos
Nº	Noções comuns
1	Coisas iguais a uma mesma coisa são iguais entre si
2	Se quantidades iguais forem somadas a quantidades iguais, os totais serão iguais
3	Se quantidades iguais forem subtraídas de quantidades iguais, os restos serão iguais
4	Coisas que coincidem entre si são iguais entre si
5	O todo é maior que a parte

O livro I fornece as bases do restante do tratado. Começa com uma sequência de 23 definições de conceitos geométricos, como retas, ângulos e polígonos regulares. Euclides apresenta então dez pressupostos, agrupados em cinco postulados e cinco noções comuns, reproduzidos na tabela. Eles deveriam formar a base lógica de todos os teoremas posteriores, como um sistema axiomático. As noções comuns tratam apenas da comparação de grandezas. Os quatro primeiros postulados são relativamente simples, mas o quinto, chamado postulado das paralelas, tornou-se especialmente conhecido. O livro I traz ainda 48 proposições, aproximadamente divididas entre teoremas básicos, construções de geometria plana e congruência de triângulos, proposições 1 a 26, retas paralelas, 27 a 34, áreas de triângulos e paralelogramos, 35 a 45, e a construção do quadrado, o teorema de Pitágoras e sua recíproca, 46 a 48. A demonstração do teorema está na proposição 47, e a recíproca, na 48. Sialaros considera a demonstração euclidiana de notável sutileza.

O livro II é tradicionalmente interpretado como um estudo da "álgebra geométrica grega". Desde a década de 1970, porém, essa leitura tem sido muito debatida. Seus críticos a julgam anacrônica, pois os fundamentos até mesmo de uma álgebra incipiente surgiriam séculos mais tarde. O livro tem um foco mais delimitado e apresenta relações entre figuras geométricas que podem ser expressas por identidades algébricas na linguagem moderna. Concentra-se nas áreas de retângulos e quadrados, no âmbito da quadratura, e conduz a um precursor geométrico da lei dos cossenos. O livro III trata de círculos, e o IV, de polígonos regulares, principalmente do pentágono. O livro V apresenta a chamada "teoria geral das proporções". O livro VI aplica a teoria das razões à geometria plana. Quase todo o seu desenvolvimento parte da primeira proposição: "Triângulos e paralelogramos da mesma altura estão entre si como suas bases".

A partir do livro VII, observa o matemático Benno Artmann, "Euclides começa de novo. Nada dos livros anteriores é utilizado". Os livros VII a IX cobrem a teoria dos números. O VII começa com 22 definições relacionadas à paridade, aos número primos e a outros conceitos aritméticos. Nele aparece o algoritmo de Euclides, método para encontrar o máximo divisor comum de dois números. O livro VIII aborda progressões geométricas, enquanto o IX contém a proposição hoje chamada teorema de Euclides, segundo a qual há infinitos números primos. O livro X, muito maior e mais difícil que os demais, trata das grandezas irracionais.

Os três livros finais, XI a XIII, concentram-se na geometria espacial. O XI começa com 28 definições que dão base aos dois seguintes. Embora também tenha caráter introdutório, ao contrário do livro I, não enuncia uma nova lista de postulados ou noções comuns. Suas 39 proposições tratam de retas e planos no espaço, de 1 a 19, ângulos sólidos, de 20 a 23, e propriedades de sólidos, entre eles paralelepípedos, cubos e prismas, de 24 a 39.

Outras obras

Além de Os Elementos, chegaram até nós pelo menos cinco obras atribuídas a Euclides. Elas seguem a mesma organização lógica, com definições e proposições demonstradas.

• Catóptrica trata da teoria matemática dos espelhos, especialmente das imagens formadas em espelhos planos e esféricos côncavos. A atribuição da obra a Euclides é controversa.
• Dados (Δεδομένα) é um texto relativamente curto sobre a natureza e as consequências das informações "dadas" em problemas geométricos.
• Sobre as divisões (Περὶ Διαιρέσεων) sobrevive apenas parcialmente em tradução árabe. Trata da divisão de figuras geométricas em duas ou mais partes iguais ou em partes que tenham determinadas razões. Contém 36 proposições e se assemelha a Cônicas, de Apolônio.
• Óptica (Ὀπτικά) é o tratado grego preservado mais antigo sobre perspectiva. Sua introdução aborda a óptica geométrica e regras básicas da perspectiva.
• Fenômenos (Φαινόμενα), um tratado de astronomia esférica, sobrevive em grego. Assemelha-se a Sobre a esfera em movimento, de Autólico de Pitane, que trabalhou por volta de 310 a.C.

Obras perdidas

Quatro outras obras são atribuídas com razoável segurança a Euclides, mas se perderam.

• Cônicas (Κωνικά) era um tratado de quatro livros sobre seções cônicas, mais tarde superado pela obra mais extensa de Apolônio com o mesmo título. Sabe-se de sua existência sobretudo por Papo, que afirma que os quatro primeiros livros de Cônicas, de Apolônio, se basearam amplamente no tratado anterior de Euclides. O historiador Alexander Jones questiona a afirmação, pois há poucas evidências e nenhum outro testemunho que a confirme.
• Pseudaria (Ψευδάρια, "Falácias") era, conforme relata Proclo, um texto sobre raciocínio geométrico destinado a ajudar iniciantes a evitar falácias comuns. Além de seu propósito e de algumas linhas preservadas, quase nada se sabe sobre seu conteúdo.
• Porismas (Πορίσματα) era provavelmente um tratado de três livros com aproximadamente 200 proposições, conforme relatos de Papo e Proclo. Nesse contexto, "porisma" não significa corolário, mas um terceiro tipo de proposição, entre teorema e problema, cujo objetivo é descobrir uma propriedade de um objeto geométrico existente, como encontrar o centro de um círculo. O matemático Michel Chasles levantou a hipótese de que as proposições perdidas incluíssem temas ligados às teorias atuais das transversals e da geometria projetiva.
• Lugares de superfície (Τόποι πρὸς ἐπιφανείᾳ) tem conteúdo praticamente desconhecido. Conjecturas baseadas no título e em relatos posteriores propõem que abordasse, entre outros assuntos, cones e cilindros.

Livros

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Artigos e capítulos

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Fontes on-line

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