Nascido em Iquique, começou nas categorias de base do Deportes Iquique, onde ficou até 2003, quando se transferiu para o Huachipato, time onde estreou profissionalmente. Em 2007, voltou para o Deportes Iquique, onde ficou até 2009, sendo fundamental para a reconstrução do clube. Devido às boas atuações despertou o interesse de diversas equipes, transferindo-se para a Universidad de Chile em 2009, clube pelo qual conquistou seu primeiro título profissional: o Campeonato Chileno em 2011.
Em 2011 foi jogar no futebol árabe, transferindo-se para o Al-Wasl dos Emirados Árabes. Puch chegou a retornar ao seu clube de origem, além de ter tido passagens pelo Huracán, pela LDU e pelo futebol mexicano, com destaque para sua passagem pelo Necaxa, onde foi um dos pilares para o retorno da equipe à primeira divisão mexicana.
Em 2019, retornou ao futebol chileno, sendo emprestado à Universidad Católica, onde se tornou um dos principais jogadores da equipe, sendo essencial para a conquista do Campeonato Chileno e da Supercopa no mesmo ano. Posteriormente, foi comprado de forma definitiva pela equipe chilena, permanecendo mais duas temporadas no clube e conquistando novamente o Campeonato Chileno e a Supercopa em 2020 e 2021.
Em 2026, anunciou sua aposentadoria do futebol profissional, após sofrer com lesões crônicas no tornozelo, que o impediram de continuar praticando esportes de alto rendimento.
Foi convocado pela primeira vez à Seleção Chilena em 2009, quando ainda jogava no Deportes Iquique, para a disputa da Copa Kirin, fazendo sua estreia em uma partida contra o Japão. Também foi convocado para alguns amistosos em 2010, 2011 e 2012; entretanto, ficou um período sem ser chamado, retornando para a Seleção somente em 2016, em um momento de recuperação de sua carreira.
Na Copa América de 2016, conquistada pelo Chile, esteve presente em campo em quase todos os jogos, inclusive na final contra a Argentina. Foi titular na goleada contra o México nas quartas de final, marcando dois gols na partida. Após a competição, chegou a ser convocado para amistosos, para a Copa das Confederações de 2017 e para as Eliminatórias da Copa de 2018, disputando, em 2017, sua última partida pela Seleção Chilena.
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