Hipercubo

Em geometria, um hipercubo é uma figura geométrica que generaliza o quadrado (2 dimensões) e o cubo (3 dimensões) para espaços com qualquer número de dimensões, chamados de n-dimensões. É uma forma fechada, compacta e convexa, composta por segmentos de reta paralelos, todos do mesmo tamanho, alinhados em cada dimensão do espaço e formando ângulos retos entre si.

Um hipercubo de dimensão N é o conjunto de pontos no espaço euclidiano N-dimensional que satisfazem as desigualdades $\forall i:-{\frac {a}{2}}<x_{i}<{\frac {a}{2}}$ , onde $a$ é o comprimento da aresta do hipercubo.

Também é possível definir um hipercubo como o produto cartesiano de N segmentos iguais.

Outra forma de caracterizar o N-cubo é como uma figura geométrica em que cada vértice está ligado por arestas a N outros vértices; N determina, por sua vez, a dimensão dessa figura. Ainda, um cubo N-dimensional pode ser entendido como formado por N pares de hiperplanos paralelos de dimensão (N−1), o que resulta em 2^N células (ou hiperfaces), cada uma sendo um (N−1)-cubo.

De forma geral, o número de faces K-dimensionais de um cubo N-dimensional é dado por $2^{N-K}\cdot {\binom {N}{K}}$ , onde ${\binom {N}{K}}$ representa o número de grupos de faces K-dimensionais paralelas (ou o número de faces K-dimensionais adjacentes a um vértice), e $2^{N-K}$ é o número de faces K-dimensionais em cada grupo.

Um hipercubo de n dimensões é chamado de n-cubo. Por exemplo:

Um 2-cubo é um quadrado;
Um 3-cubo é um cubo;
Um 4-cubo é um tesserato (ou octácoro).

O conceito foi estudado por matemáticos como Harold Scott MacDonald Coxeter e E. L. Elte (1912), que o chamaram de "polítopo de medida".

O que é um hipercubo?

Um hipercubo é uma figura que existe em espaços com mais dimensões do que as três que vemos (comprimento, largura e altura). Podemos entender sua construção por etapas:

0 dimensão: Um ponto.
1 dimensão: Um segmento de reta, ao mover o ponto.
2 dimensões: Um quadrado, ao mover o segmento perpendicularmente.
3 dimensões: Um cubo, ao mover o quadrado perpendicularmente ao seu plano.
4 dimensões e além: Um hipercubo surge ao mover um cubo (ou hipercubo menor) em uma direção perpendicular a todas as anteriores.

Como dimensões acima da terceira são difíceis de visualizar, usamos projeções 2D (como nas animações) ou analogias. Por exemplo, um tesserato (4-cubo) pode ser pensado como dois cubos conectados em uma quarta dimensão.

Definição matemática

Um hipercubo pode ser definido de várias formas:

Coordenadas: Um hipercubo unitário em n dimensões é o conjunto de pontos em ℝⁿ cujas coordenadas são 0 ou 1, formando 2ⁿ vértices. Por exemplo, um quadrado (2-cubo) tem vértices (0,0), (0,1), (1,0), (1,1). Um hipercubo geral com lado a e centro x contém pontos y tais que |yᵢ - xᵢ| ≤ a/2 para cada coordenada i.
Produto cartesiano: Um hipercubo é o produto cartesiano de n intervalos iguais, como [0,1]ⁿ para um hipercubo unitário.
Esqueleto: O esqueleto de 1 dimensão de um hipercubo (suas arestas) forma um grafo chamado grafo hipercubo, onde cada vértice se conecta a n outros.

Propriedades

As propriedades matemáticas de um hipercubo n-dimensional com aresta de comprimento a são:

**Resumo das propriedades do n-cubo**
Propriedade	Fórmula geral	Exemplo (n=4, a=1)
Número de vértices	$2^{n}$	16
Número de arestas	$n\cdot 2^{n-1}$	32
Número de faces 2D (quadrados)	$2^{n-2}\cdot {\binom {n}{2}}$	24
Número de células 3D (cubos)	$2^{n-3}\cdot {\binom {n}{3}}$	8
Volume (n-hipervolume)	$V_{n}=a^{n}$	1
Área da superfície ((n−1)-volume)	$S_{n}=2n\cdot a^{n-1}$	8
Comprimento da diagonal	$D=a{\sqrt {n}}$	2
Raio da hiperesfera circunscrita	$R={\frac {a{\sqrt {n}}}{2}}$	1
Raio da hiperesfera inscrita	$r={\frac {a}{2}}$	0,5

Diferentes Hipercubos

N-Cubo	Nome	Pontos (0)	Segmentos (1)	Quadrados (2)	Cubos (3)	Tesseractos (4)	Penteractos (5)	Hexeractos (6)	Heptaractos (7)	Octeractos (8)	Ennearactos (9)	Dekeractos (10)
0-cubo	Ponto	1	0
1-cubo	Segmento	2	1	0
2-cubo	Quadrado	4	4	1	0
3-cubo	Cubo	8	12	6	1	0
4-cubo	Tesserato	16	32	24	8	1	0
5-cubo	Penterato	32	80	80	40	10	1	0
6-cubo	Hexerato	64	192	240	160	60	12	1	0
7-cubo	Heptarato	128	448	672	560	280	84	14	1	0
8-cubo	Octerato	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	1	0
9-cubo	Ennearato	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18	1	0
10-cubo	Dekerato	1024	5120	11520	15360	13440	8064	3360	960	180	20	1

Hipercubos de dimensões maiores, como o 6-cubo (hexeracto) ou 10-cubo (dekeracto), seguem o mesmo padrão.

Aplicações

Hipercubos são usados em diversas áreas:

Matemática: Estudados em geometria multidimensional e topologia, como politopos regulares.
Computação: Inspiram arquiteturas de redes, como em supercomputadores, devido à estrutura simétrica do grafo hipercubo.
Física: Modelos de dimensões extras, como em teorias de cordas, usam conceitos de hipercubos.
Estatística: A amostragem por hipercubo latino distribui pontos uniformemente em espaços multidimensionais, útil em simulações.

Hipercubos na cultura

Hipercubos aparecem em ficção científica e arte, simbolizando dimensões superiores:

And He Built a Crooked House (1941), de Robert A. Heinlein, descreve uma casa em forma de tesserato.
Flatland (1884), de Edwin A. Abbott, explora dimensões extras.
Crucifixion (Corpus Hypercubus) (1954), de Salvador Dalí, mostra uma cruz como tesserato.

Ver também

Referências

↑ Коксетер, Г. С. М. (1973). Правильные политопы (em russo) 3-е ed. [S.l.]: Dover. ISBN 0-486-61480-8
1 2 3 4 Coxeter, H. S. M. (1973). Regular Polytopes 3rd ed. [S.l.]: Dover. ISBN 0-486-61480-8
1 2 3 Weisstein, Eric W. «Hypercube». MathWorld (em inglês)
1 2 Weisstein, Eric W. «Hypercube graphs». MathWorld (em inglês)

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[Coxeter-ru-1] Коксетер, Г. С. М. (1973). Правильные политопы (em russo) 3-е ed. [S.l.]: Dover. ISBN 0-486-61480-8

[Coxeter-2] 1 2 3 4 Coxeter, H. S. M. (1973). Regular Polytopes 3rd ed. [S.l.]: Dover. ISBN 0-486-61480-8

[MathWorld-3] 1 2 3 Weisstein, Eric W. «Hypercube». MathWorld (em inglês)

[MathWorldGraph-4] 1 2 Weisstein, Eric W. «Hypercube graphs». MathWorld (em inglês)