Cubo

Cubo
	Cubo
Tipo	Sólido platônico;
Faces	6
Arestas	12
Vértices	8
Símbolo de Schläfli	{4,3}; t{2,4} or {4}×{}; tr{2,2} or {}×{}×{}
Símbolo de Wythoff	3
Símbolo de Coxeter-Dynkin
Grupo de simetria	Oh, B3, [4,3], (*432)
Área de superfície	A=6a2
Volume	V=a3
Ângulo diédrico	90°
Poliedro dual	Octaedro
Propriedades
	Regular, Convexo
Planificação

Um cubo ou hexaedro regular é um poliedro com 6 faces congruentes. Além disso, é um dos cinco sólidos platônicos, pois:

cada face tem 4 arestas;
de cada vértice partem 3 arestas;
vale a relação de Euler: $V - A + F = 2$ , onde $V$ representa o número de vértices, $A$ o número de arestas e $F$ o número de faces.

O cubo é também um poliedro regular, pois além das características de sólido platônico, possui:

faces poligonais regulares e congruentes;
ângulos poliédricos congruentes.

Ainda, é um prisma quadrangular regular, pois possui duas bases paralelas e congruentes (já que é um poliedro regular), suas bases são polígonos regulares (quadrados) e as arestas laterais formam ângulos retos ( $9 0^{\circ}$ ) com as arestas das bases. No cubo, todos os diedros possuem ângulo reto.

O cubo é também um sólido sociável, já que ele pode ser aglomerado perfeitamente, o que significa que é possível juntar vários cubos sem que sobrem espaços vazios.

Obtenção do número de vértices do cubo utilizando a relação de Euler

Como definido anteriormente, o cubo possui 6 faces quadrangulares, de modo que cada face possui 4 arestas. Daí, multiplicando o número de faces pelo número de arestas, tem-se:

6 \cdot 4 = 24

Porém, o número de arestas obtido é o dobro do número de arestas total do cubo, já que cada aresta pertence a duas faces. Por isso, é necessário dividir o resultado acima por 2. Logo:

24 \div 2 = 12

Daí, segue que 12 é o número total de arestas do cubo.

Para obter o número de vértices do cubo, basta substituir na relação de Euler os valores obtidos:

V - A + F = 2

sendo

F = 6

e

A = 12

, tem-se:

V - 12 + 6 = 2 \Rightarrow V - 6 = 2 \Rightarrow V - 6 + 6 = 2 + 6 \Rightarrow V = 8

Logo, 8 é o número de vértices do cubo.

Obtenção do número de vértices, arestas e faces partindo da informação do número de lados do polígono da base do prisma

Sendo $n$ o número de lados do polígono da base do prisma, é possível obter o número de vértices, arestas e faces que possui, já que todo prisma é composto por:

$2$ bases congruentes;
$n$ faces laterais e $n + 2$ faces no total - as $n$ faces laterais e as $2$ bases (as faces laterais são paralelogramos e dependem do número de lados do polígono da base);
$n$ arestas laterais e $3 n$ arestas no total;
$2 n$ vértices - resultado da soma do número de vértices dos polígonos das bases.

Assim, como o polígono da base do cubo é um quadrado, tem-se:

n = 4.

Logo, substituindo $n$ por $4$ , nas relações estabelecidas acima, conclui-se que:

$F = n + 2 = 4 + 2 = 6$

$A = 3 n = 3 \cdot 4 = 12$

$V = 2 n = 2 \cdot 4 = 8$ .

Planificação do cubo

O cubo possui, no total, 11 planificações distintas. E são elas:

Área total da superfície do cubo

Como o cubo é formado por 6 faces regulares e congruentes (6 quadrados), basta calcular a área de uma de suas faces e multiplicar por 6.

Sabendo que a área de um quadrado com lado medindo $l$ é dada por $l^{2}$ e supondo que cada aresta do cubo tenha medida $a$ , concluí-se que a área de cada face (quadrado) será $a^{2}$ .

Logo a área total da superfície do cubo será $6 a^{2}$ .

Diagonal do cubo

É possível obter a diagonal do cubo utilizando o Teorema de Pitágoras. Basta descobrir o valor da diagonal de uma de suas faces em função do valor da aresta $a$ e depois utilizá-lo para obter a diagonal do cubo.

Desse modo, pelo Teorema de Pitágoras:

a^{2} + a^{2} = (\overline{A C})^{2}

onde $a$ representa a medida da aresta do cubo e $\overline{A C}$ representa a medida da diagonal de uma das faces do cubo. Portanto:

a^{2} + a^{2} = (\overline{A C})^{2}

\Rightarrow 2 a^{2} = (\overline{A C})^{2}

\Rightarrow \sqrt{2 a^{2}} = \sqrt{(\overline{A C})^{2}}

\Rightarrow a \sqrt{2} = \overline{A C} .

Daí, novamente utilizando o Teorema de Pitágoras:

a^{2} + (\overline{A C})^{2} = (\overline{A C^{'}})^{2}

em que $\overline{A C^{'}}$ representa a diagonal do cubo, $a$ representa a aresta do cubo e $\overline{A C}$ a diagonal de uma das faces. Substituindo $\overline{A C}$ por $a \sqrt{2}$ :

a^{2} + (\overline{A C})^{2} = (\overline{A C^{'}})^{2}

\Rightarrow a^{2} + (a \sqrt{2})^{2} = (\overline{A C^{'}})^{2}

\Rightarrow a^{2} + 2 a^{2} = (\overline{A C^{'}})^{2}

\Rightarrow 3 a^{2} = (\overline{A C^{'}})^{2}

\Rightarrow \sqrt{3 a^{2}} = \sqrt{(\overline{A C^{'}})^{2}}

\Rightarrow a \sqrt{3} = \overline{A C^{'}} .

Ou seja, a diagonal do cubo é dada por $a \sqrt{3}$ .

Volume do cubo

Sendo um prisma, o volume do cubo pode ser obtido pelo produto da base pela altura. Assim,

V = A b \cdot h

onde $V$ representa o volume, $A b$ a área da base e $h$ a altura.

Como a base é um quadrado de lado $a$ e a altura também vale $a$ (já que todas as arestas do cubo possuem a mesma medida), obtém-se:

V = a^{2} \cdot a \Rightarrow V = a^{3} .

Caso a aresta seja duplicada, formando um cubo de aresta $2 a$ , o seu volume será 8 vezes maior que o inicial, pois:

V = (2 a)^{3} \Rightarrow V = 8 a^{3} .

Esfera inscrita em cubo/Cubo circunscrito à esfera

Caso a esfera esteja inscrita no cubo, ela tangenciará cada face do cubo exatamente no centro. Assim, a medida da aresta do cubo será o dobro da medida do raio da esfera inscrita, ou seja, será igual a medida do diâmetro da esfera.

Utilizando $r$ para representar a medida do raio da esfera inscrita no cubo:

2 r = a \Rightarrow r = \frac{a}{2} .

Esfera circunscrita ao cubo/Cubo inscrito em esfera

Caso o cubo esteja inscrito em uma esfera, todos seus vértices irão tangenciar a esfera.

Se $R$ representa o raio da esfera circunscrita ao cubo, $2 R$ representa o diâmetro. Mas o diâmetro da esfera é igual ao valor da diagonal do cubo (já calculado anteriormente). Portanto:

2 R = a \sqrt{3} \Rightarrow R = \frac{a \sqrt{3}}{2} .

Poliedro dual do cubo

O poliedro dual do cubo é o octaedro regular.

Para obter o poliedro dual de um poliedro, inicialmente marca-se o centro de cada face do poliedro original, em seguida liga-se, por segmento de reta, cada um destes centros aos centros das faces adjacentes e por fim desconsidera-se o poliedro original.

Medida da aresta do octaedro inscrito em um cubo de aresta $a$

Como cada vértice do octaedro encontra-se exatamente no centro da face do cubo, basta utilizar o Teorema de Pitágoras. Daí, cada cateto irá medir a metade da aresta $a$ do cubo. Fixando $x$ para representar a hipotenusa (medida da aresta do octaedro), obtém-se:

x^{2} = {(\frac{a}{2})}^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2}

\Rightarrow x^{2} = 2 {(\frac{a}{2})}^{2}

\Rightarrow x^{2} = 2 \cdot \frac{a^{2}}{4}

\Rightarrow x^{2} = \frac{2 a^{2}}{4}

\Rightarrow \sqrt{x^{2}} = \sqrt{\frac{2 a^{2}}{4}}

\Rightarrow x = \frac{a \sqrt{2}}{2} .

Portanto, a medida da aresta do octaedro é $\frac{a \sqrt{2}}{2}$ .

Exemplos

Um cubo em rotação
Dados de 6 faces
Cubo
(Matemateca_IME-USP)
Revolução de um cubo
(Matemateca_IME-USP)

Ver também

Referências

1 2 3 4 5 6 7 8 9 Dolce, Osvaldo; Pompeo, José Nicolau (2005). Fundamentos de Matemática Elementar 6 ed. São Paulo: Atual
↑ Rodrigues Justino, Ana Paula (2011). «Poliedros de Platão» (PDF). Universidade Federal da Paraíba
↑ http://www.ijvr.org/issues/issue3-2010/paper2.pdf
↑ http://www.numeracycd.com/contents/main/nets/netsofacube.pdf
1 2 Marcos Noé Pedro da Silva. «Volume do Cubo». Mundo Educação. Consultado em 11 de junho de 2018
↑ Batista, Silvia; Barcelos, GIlmara. «Poliedros Duais». Consultado em 11 de junho de 2018

Ligações externas

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Modelo 3D Interativo do Cubo

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[:0-1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Dolce, Osvaldo; Pompeo, José Nicolau (2005). Fundamentos de Matemática Elementar 6 ed. São Paulo: Atual

[2] Rodrigues Justino, Ana Paula (2011). «Poliedros de Platão» (PDF). Universidade Federal da Paraíba

[3] ttp://www.ijvr.org/issues/issue3-2010/paper2.pdf

[4] ttp://www.numeracycd.com/contents/main/nets/netsofacube.pdf

[:1-5] 1 2 Marcos Noé Pedro da Silva. «Volume do Cubo». Mundo Educação. Consultado em 11 de junho de 2018

[6] Batista, Silvia; Barcelos, GIlmara. «Poliedros Duais». Consultado em 11 de junho de 2018

Cubo
Cubo
Tipo	Sólido platônico
Faces	6
Arestas	12
Vértices	8
Símbolo de Schläfli	{4,3} t{2,4} or {4}×{} tr{2,2} or {}×{}×{}
Símbolo de Wythoff	3
Símbolo de Coxeter-Dynkin
Grupo de simetria	O_h, B₃, [4,3], (*432)
Área de superfície	$A = 6 a^{2}$
Volume	$V = a^{3}$
Ângulo diédrico	90°
Poliedro dual	Octaedro
Propriedades
Regular, Convexo
Planificação