Trapezoedro

Trapezóedro de base ${\displaystyle n}$-gonal
Exemplo: Trapezóedro pentagonal (${\displaystyle n=5}$)
Tipo	Dual-uniforme no sentido de poliedro semirregular dual
Faces	${\displaystyle 2n}$
Arestas	${\displaystyle 4n}$
Vértices	${\displaystyle 2n+2}$
Configuração dos vértices	${\displaystyle V3.3.3.n}$
Símbolo de Schläfli	${\displaystyle \{\,\}\oplus \{n\}}$ ${\displaystyle s\{2,2n\}}$, ${\displaystyle sr\{2,n\}}$
Símbolo de Coxeter-Dynkin
Grupo de simetria	${\displaystyle D_{nd}}$, [2+,2n], (2*n), ordem ${\displaystyle 4n}$
Poliedro dual	Antiprisma ${\displaystyle n}$-gonal uniforme (convexa)
Propriedades
Convexo, Transitivo nas faces, Vértices regulares
Planificação

Na geometria, um trapezóedro ${\displaystyle n}$-gonal (ou simplesmente trapezóedro, também chamado de ${\displaystyle n}$-antidipirâmide, ${\displaystyle n}$-antibipirâmide ou ${\displaystyle n}$-deltoedro) é o poliedro dual de uma antiprisma ${\displaystyle n}$-gonal uniforme. Suas ${\displaystyle 2n}$ faces são congruentes e dispostas simetricamente em torno de um eixo; essas faces são deltoides (também chamados de "papagaios" ou "trapezoides" em alguns contextos). Com maior simetria, essas faces são deltoides não torcidos; caso contrário, podem ser deltoides torcidos (twisted kites).

O termo "${\displaystyle n}$-gonal" refere-se aqui a dois conjuntos de ${\displaystyle n}$ vértices dispostos em torno de um eixo de simetria de ordem ${\displaystyle n}$, e não às faces do poliedro. O dual, a antiprisma ${\displaystyle n}$-gonal, possui duas faces ${\displaystyle n}$-gonais reais.

Um trapezóedro ${\displaystyle n}$-gonal pode ser dissecado em duas pirâmides ${\displaystyle n}$-gonais iguais e uma antiprisma ${\displaystyle n}$-gonal central.

Terminologia

Os trapezóedros, por vezes chamados de deltoedros, não devem ser confundidos com os deltaedros, cujas faces são triângulos equiláteros.

Na cristalografia, trapezóedros trigonais, tetragonais e hexagonais (com 6, 8 e 12 faces deltoidais congruentes, frequentemente torcidas) são comuns como formas de hábito cristalino de minerais. Esses são chamados simplesmente de "trapezóedros trigonal, tetragonal e hexagonal" e possuem um centro de simetria, mas não planos de simetria ou centros de inversão.

Propriedades

• Faces: ${\displaystyle 2n}$ deltoides congruentes.
• Arestas: ${\displaystyle 4n}$.
• Vértices: ${\displaystyle 2n+2}$, sendo dois ápices no eixo polar e ${\displaystyle 2n}$ vértices basais em dois anéis ${\displaystyle n}$-gonais regulares. - **Configuração de vértice**: ${\displaystyle V3.3.3.n}$.
• Simetria: Grupo ${\displaystyle D_{nd}}$ (ordem ${\displaystyle 4n}$), exceto para ${\displaystyle n=3}$ (cubo, com simetria ${\displaystyle O_{d}}$, ordem 48). Grupo de rotação ${\displaystyle D_{n}}$ (ordem ${\displaystyle 2n}$).
• Demais propriedades: Convexo, transitivo nas faces, vértices regulares.

O trapezóedro é definido por uma base em forma de polígono enviesado regular ${\displaystyle 2n}$-gonal em ziguezague, dois ápices simétricos acima e abaixo da base, e faces quadrilaterais conectando pares de arestas basais adjacentes a cada ápice.

Exemplos

Trapezóedro trigonal (se os deltoides forem quadrados, é um cubo)	Trapezóedro tetragonal
Trapezóedro pentagonal	Trapezóedro hexagonal

Simetria e Variações

• Trapezóedro torcido: Com deltoides torcidos (twisted kites), a simetria reduz de ${\displaystyle D_{nd}}$ (ordem ${\displaystyle 4n}$) para ${\displaystyle D_{n}}$ (ordem ${\displaystyle 2n}$). No limite, pode degenerar em uma bipirâmide ${\displaystyle n}$-gonal.
• Trapezóedro desigual: Se os deltoides em torno dos ápices têm formas diferentes, a simetria é ${\displaystyle C_{nv}}$ (ordem ${\displaystyle 2n}$).
• Trapezóedro torcido desigual: Com deltoides torcidos e diferentes, a simetria é ${\displaystyle C_{n}}$ (ordem ${\displaystyle n}$).

Trapezóedro Estelar

Um trapezóedro estelar ${\displaystyle p/q}$ é definido por uma base em forma de polígono estelar enviesado regular ${\displaystyle 2p/q}$-gonal (onde ${\displaystyle 2\leq q<p}$), com ${\displaystyle 2p}$ faces deltoidais congruentes. É uma forma não convexa e autointerseccional. Exemplos incluem trapezóedros 5/2, 7/3, etc., com diagramas de Coxeter-Dynkin correspondentes.

Aplicações

Trapezóedros são relevantes em cristalografia (e.g., formas cristalinas trigonais e hexagonais) e em jogos, como o d10 pentagonal. Arranjos atômicos em cristais podem repetir-se em células trapezóedricas.

Ver também

• Antiprisma
• Dodecaedro rômbico
• Triacontaedro rômbico
• Bipirâmide
• Trapezóedro truncado

Referências

Ligações externas

• Weisstein, Eric W. «Trapezohedron». MathWorld (em inglês) 
• Modelo de papel do trapezóedro tetragonal

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