Volume

Antiguidade

No Antigo Egito, problemas matemáticos abordavam o cálculo de volumes. O problema 14 do Papiro de Moscou apresenta um procedimento correto para obter o volume de um tronco de pirâmide de base quadrada. O Papiro Reisner contém uma tabela com comprimento, largura, profundidade e volume de blocos de material.

Os egípcios usavam suas unidades de comprimento, o côvado, a palma e o dedo, para estabelecer unidades de volume. O côvado de volume correspondia a 1 côvado × 1 côvado × 1 côvado. A palma de volume equivalia a 1 côvado × 1 côvado × 1 palma, e o dedo de volume, a 1 côvado × 1 côvado × 1 dedo. A palma de volume não era, portanto, uma palma cúbica.

O livro XII de Os Elementos, de Euclides, apresenta relações entre os volumes de prismas, pirâmides, cones, cilindros e esferas. Entre elas estão a igualdade entre o volume de uma pirâmide e um terço do volume de um prisma com a mesma base e altura, a relação equivalente entre cone e cilindro e a proporcionalidade entre os volumes de esferas e os cubos de seus diâmetros. Arquimedes, que viveu aproximadamente de 287 a 212 a.C., empregou o método da exaustão para demonstrar resultados exatos sobre volumes. Em Sobre a esfera e o cilindro, demonstrou que o volume de uma esfera é dois terços do volume do cilindro que a circunscreve, com o mesmo raio e altura igual ao diâmetro da esfera.

Na China, os trabalhos de Liu Hui, no século III, e de Zu Geng, filho de Zu Chongzhi, empregaram decomposições de sólidos e comparações de seções transversais. Zu Geng utilizou essas ideias para justificar uma regra de cálculo do volume da esfera.

A história de Arquimedes e da coroa de ouro foi narrada por Vitrúvio no século I a.C., cerca de dois séculos depois da morte do matemático. Nessa narrativa, Arquimedes compara a água deslocada pela coroa com a deslocada por massas iguais de ouro e prata. O procedimento permite, em princípio, comparar as densidades, mas a precisão necessária suscita dúvidas sobre a realização do teste tal como narrado. Em La bilancetta, escrito em 1586, Galileu Galilei propôs uma explicação alternativa baseada na pesagem hidrostática. Sua proposta não comprova que Arquimedes tenha usado esse método. A comparação hidrostática utiliza a diferença entre o peso de um objeto fora do líquido e seu peso aparente quando submerso, relacionada ao empuxo.

Cálculo e padronização das unidades

Na Idade Média, empregavam-se unidades de capacidade como o sester, o amber, o coomb e o seam. Na Inglaterra, os regulamentos reunidos sob o nome Assize of Bread and Ale fixavam relações entre os preços dos cereais, o peso do pão e o preço de determinadas quantidades de cerveja. Esses regulamentos circularam em versões diferentes, separados ou reunidos em um mesmo texto.

Em 1618, a London Pharmacopoeia, um catálogo de preparações medicinais, adotou o galão romano como medida básica para líquidos e apresentou uma tabela de conversão entre medidas de capacidade e pesos dos boticários. O galão romano também recebia o nome de côngio.

No século XVII, Bonaventura Cavalieri desenvolveu o método dos indivisíveis para estudar áreas e volumes. O princípio de Cavalieri estabelece que dois sólidos têm o mesmo volume se suas seções por planos paralelos, tomadas em alturas correspondentes ao longo de toda a extensão dos sólidos, têm áreas iguais. Os trabalhos de Pierre de Fermat, Isaac Barrow, Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz levaram ao desenvolvimento do cálculo diferencial e integral. John Wallis estudou quadraturas por métodos aritméticos, e James Gregory trabalhou na relação entre quadraturas e tangentes. No século XVIII, Maria Gaetana Agnesi reuniu métodos de cálculo em Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana.

Adoção do sistema métrico e redefinições

Em 7 de abril de 1795, a legislação francesa estabeleceu unidades do sistema métrico, entre elas o estere, equivalente a 1 m³, para lenha, e o litro, equivalente a 1 dm³, para líquidos e materiais secos. O grama foi definido a partir da massa de um centímetro cúbico de água pura à temperatura de fusão do gelo. Em 1824, o galão imperial foi definido a partir do volume ocupado por aproximadamente 4,536 kg de água a 16,7 °C. A Lei de Pesos e Medidas de 1985, do Reino Unido, expressa seu valor como exatamente 4,54609 litros.

Em 1901, a definição internacional do litro passou a ser o volume ocupado por 1 kg de água pura em sua densidade máxima e sob pressão atmosférica padrão. Essa definição não coincidia exatamente com o decímetro cúbico. Em 1964, foi revogada, e o litro voltou a ser um nome especial para o decímetro cúbico.

A redefinição do metro em 1960 substituiu o protótipo internacional do metro por uma definição baseada em uma linha de emissão do criptônio-86. O metro e o metro cúbico deixaram, assim, de depender desse padrão material. Em 1983, o metro foi redefinido a partir da distância percorrida pela luz no vácuo durante uma fração especificada do segundo, cuja definição se baseia no padrão de césio. A formulação da definição do metro foi modificada em 2018, como parte da revisão do Sistema Internacional de Unidades que entrou em vigor em 2019.

Unidades

Uma unidade de volume pode ser definida pelo volume de um cubo unitário, cujas arestas têm comprimento igual a uma unidade. Quando se escolhe o metro como unidade de comprimento, a unidade de volume correspondente é o metro cúbico, m³. A dimensão física do volume é L³.

As unidades métricas de volume utilizam prefixos métricos, que correspondem a potências de dez. Em unidades de comprimento elevadas ao cubo, a potenciação abrange também o prefixo. Por exemplo, 2,3 cm³ = 2,3 × (0,01 m)³ = 0,0000023 m³.

Entre as unidades usadas estão o milímetro cúbico, mm³, o centímetro cúbico, cm³, o decímetro cúbico, dm³, o metro cúbico, m³, e o quilômetro cúbico, km³. As conversões incluem 1.000 mm³ = 1 cm³, 1.000 cm³ = 1 dm³ e 1.000 dm³ = 1 m³. O litro equivale exatamente a 1 dm³ = 1.000 cm³ = 0,001 m³. Seus submúltiplos incluem o mililitro, mL, o centilitro, cL, e o decilitro, dL. Assim, 1.000 mL = 1 L, 10 mL = 1 cL, 10 cL = 1 dL e 10 dL = 1 L.

Também são utilizadas unidades imperiais e unidades usuais nos Estados Unidos, entre elas:

• polegada cúbica, pé cúbico, jarda cúbica, acre-pé e milha cúbica.
• minim, dracma fluida, onça líquida e pinto.
• colher de chá e colher de sopa.
• gill, quarto, galão e barril.
• cord, peck, bushel e hogshead.

Capacidade e volume

A capacidade volumétrica é o volume que um recipiente pode conter nas condições especificadas de uso. O volume efetivamente contido pode ser menor que essa capacidade. A massa de líquido que cabe no recipiente depende de sua densidade. Limites estruturais de carga são uma restrição diferente da capacidade volumétrica.

Por exemplo, se um tanque de aproximadamente 7,95 milhões de litros fica completamente cheio com 7.200 t de óleo combustível, não comportará a mesma massa de um líquido de menor densidade, como a nafta. Para uma massa fixa, um líquido menos denso ocupa maior volume.

Formas básicas

Para formas como o cubo, o paralelepípedo retângulo e o cilindro, a fórmula do volume é a mesma usada para um prisma, a área da base multiplicada pela altura. A altura é medida perpendicularmente aos planos das bases. Para sólidos cuja área da seção transversal varia, o volume pode ser obtido pela integração das áreas das seções ao longo de um eixo.

Fórmulas de volume para alguns sólidos

Sólido	Volume	Parâmetros
Cubo	${\displaystyle V=a^{3}}$	a é o comprimento da aresta
Paralelepípedo retângulo	${\displaystyle V=abc}$	a, b e c são os comprimentos de três arestas perpendiculares entre si
Prisma	${\displaystyle V=Ah}$	A é a área da base e h é a altura
Cilindro circular	${\displaystyle V=\pi r^{2}h}$	r é o raio da base e h é a altura
Esfera	${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$	r é o raio
Elipsoide	${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi abc}$	a, b e c são os semieixos
Pirâmide	${\displaystyle V={\frac {1}{3}}Ah}$	A é a área da base e h é a altura
Cone de base circular	${\displaystyle V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h}$	r é o raio da base e h é a altura
Tetraedro regular	${\displaystyle V={\frac {\sqrt {2}}{12}}a^{3}}$	a é o comprimento da aresta
Sólido com seção transversal de área ${\displaystyle A(x)}$	${\displaystyle V=\int _{a}^{b}A(x)\,dx}$	a e b são os limites do sólido ao longo do eixo considerado

Se um paralelepípedo é gerado por três vetores ${\displaystyle \mathbf {u} }$, ${\displaystyle \mathbf {v} }$ e ${\displaystyle \mathbf {w} }$, seu volume é o valor absoluto do produto misto: $${\displaystyle V=\left|\mathbf {u} \cdot (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )\right|.}$$ A expressão também pode ser escrita como o valor absoluto do determinante formado pelas coordenadas cartesianas dos três vetores.

Cálculo integral

O cálculo de volumes é uma aplicação do cálculo integral. Os sólidos de revolução são obtidos pela rotação de uma região plana em torno de uma reta situada no mesmo plano. A região pode ser delimitada por curvas planas.

O método dos discos ou das arruelas utiliza seções perpendiculares ao eixo de rotação. Para rotação em torno do eixo x, sejam ${\displaystyle R(x)}$ e ${\displaystyle r(x)}$ os raios externo e interno de cada seção, com ${\displaystyle 0\leq r(x)\leq R(x)}$. O volume é: $${\displaystyle V=\pi \int _{a}^{b}\left[R(x)^{2}-r(x)^{2}\right]\,dx.}$$ Quando ${\displaystyle r(x)=0}$, as seções são discos. Os raios são distâncias ao eixo de rotação, não necessariamente os valores das funções que delimitam a região.^:3–5

O método das cascas cilíndricas utiliza faixas paralelas ao eixo de rotação. Para uma região entre ${\displaystyle f(x)}$ e ${\displaystyle g(x)}$, com ${\displaystyle f(x)\geq g(x)}$ e ${\displaystyle 0\leq a\leq x\leq b}$, girada em torno do eixo y, cada casca tem raio x e altura ${\displaystyle f(x)-g(x)}$. Nesse caso: $${\displaystyle V=2\pi \int _{a}^{b}x\left[f(x)-g(x)\right]\,dx.}$$ Essas condições evitam contar mais de uma vez regiões que produziriam as mesmas cascas ao girar em torno do eixo.

O volume de uma região mensurável D do espaço tridimensional é dado pela integral tripla, ou integral de volume, da função constante ${\displaystyle f(x,y,z)=1}$ sobre a região: $${\displaystyle V=\iiint _{D}1\,dx\,dy\,dz.}$$

Em coordenadas cilíndricas, a expressão é: $${\displaystyle V=\iiint _{D_{c}}r\,dr\,d\theta \,dz.}$$ Em coordenadas esféricas, com ${\displaystyle \theta }$ como azimute e ${\displaystyle \varphi }$ como ângulo medido a partir do eixo polar, ela é: $${\displaystyle V=\iiint _{D_{e}}\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi .}$$ Os domínios ${\displaystyle D_{c}}$ e ${\displaystyle D_{e}}$ são as representações da mesma região D nos respectivos sistemas de coordenadas.

Modelagem geométrica

Uma malha poligonal representa a superfície de um objeto por meio de polígonos. Uma malha volumétrica subdivide também o interior do objeto em células tridimensionais, como tetraedros, permitindo representar o domínio interno e suas fronteiras.