Cilindro

Cilindro reto

Para um cilindro reto de raio ${\displaystyle r}$ e altura ${\displaystyle h}$,

• O volume é: ${\displaystyle V=\pi r^{2}h}$

• A área da base circular é igual à área de um círculo, ${\displaystyle A_{B}=\pi r^{2}}$, e a área lateral é ${\displaystyle A_{L}=2\pi rh}$

• A área total de sua superfície é ${\displaystyle A_{T}=2A_{B}+A_{L}}$, ou seja: ${\displaystyle A_{T}=2\pi r(h+r)}$

Área mínima

Dado um volume fixo, pode-se descobrir qual a razão entre a altura e o raio de um cilindro reto para que a área seja mínima. Calcular a área mínima é útil em problemas de otimização de custo de produção, que deve ser diretamente proporcional à área.

Seja um cilindro reto de raio ${\textstyle r}$, altura ${\textstyle h}$ e volume fixo ${\textstyle V}$. A condição para que a área seja mínima é ${\textstyle h=2r}$.

Inicialmente, o volume é dado por:$${\displaystyle V=\pi r^{2}h}$$Em seguida, a área em função de ${\textstyle r}$ e ${\textstyle V}$ é:
$${\displaystyle A=2\pi r^{2}+2\pi rh=2\pi r^{2}+{\frac {2V}{r}}}$$Perceba que a função vai para o infinito positivo tanto quando o valor de ${\textstyle r}$ vai para ${\textstyle \infty }$ quanto para ${\textstyle 0}$. Logo, deve possuir um valor mínimo. O valor mínimo da função será um ponto crítico, quando a derivada for nula:
$${\displaystyle {\begin{aligned}A(r)&=2\pi r^{2}+{\frac {2V}{r}}\\A'(r)&=4\pi r-{\frac {2V}{r^{2}}}\\A'(r)&=0\Leftrightarrow 4\pi r={\frac {2V}{r^{2}}}\Leftrightarrow V=2\pi r^{3}\end{aligned}}}$$Igualando a equação volume-raio da área mínima com a equação inicial de volume:$${\displaystyle \pi r^{2}h=2\pi r^{3}}$$Logo,$${\displaystyle h=2r}$$Portanto, o cilindro reto de menor área dado um volume fixo é o cilindro equilátero, em que a altura é igual ao diâmetro da base. Tal otimização também é equivalente a maximizar o volume, dada uma área fixa.