Identidades de Rogers-Ramanujan

Definição das frações contínuas

A seguinte fração contínua ${\displaystyle R(q)}$ é chamada de fração contínua de Rogers-Ramanujan, e a fração contínua ${\displaystyle S(q)}$ é chamada de fração contínua alternada de Rogers-Ramanujan!

Fração contínua padronizada	Fração contínua alternada
${\displaystyle R(q)=q^{1/5}\left[1+{\frac {q}{1+{\frac {q^{2}}{1+{\frac {q^{3}}{1+\cdots }}}}}}\right]}$	${\displaystyle S(q)=q^{1/5}\left[1-{\frac {q}{1+{\frac {q^{2}}{1-{\frac {q^{3}}{1+\cdots }}}}}}\right]}$

O fator ${\displaystyle q^{\frac {1}{5}}}$ cria um quociente de funções de módulo e também torna as frações contínuas mostradas modulares:

Esta definição se aplica à fração contínua mencionada:

${\displaystyle R(q)=q^{1/5}{\frac {(q;q^{5})_{\infty }(q^{4};q^{5})_{\infty }}{(q^{2};q^{5})_{\infty }(q^{3};q^{5})_{\infty }}}}$

${\displaystyle R(q)=q^{1/5}\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {(1-q^{5k+1})(1-q^{5k+4})}{(1-q^{5k+2})(1-q^{5k+3})}}=q^{1/5}{\frac {H(q)}{G(q)}}}$

Esta é a definição da função teta de Ramanujan:

${\displaystyle f(a,b)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }a^{\frac {k(k+1)}{2}}b^{\frac {k(k-1)}{2}}}$

Com esta função, a fração contínua R pode ser criada desta forma:

${\displaystyle R(q)=q^{1/5}{\frac {f(-q,-q^{4})}{f(-q^{2},-q^{3})}}}$.

A conexão entre a fração contínua e as funções de Rogers-Ramanujan já havia sido encontrada por Rogers em 1894 (e mais tarde independentemente por Ramanujan).

A fração contínua também pode ser expressa pela função eta de Dedekind:

${\displaystyle R(q)=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {\eta _{W}(q^{1/5})}{2\eta _{W}(q^{5})}}+{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}}$

A fração contínua alternada ${\displaystyle S(q)}$ tem as seguintes identidades para as funções restantes de Rogers-Ramanujan e para a função teta de Ramanujan descrita acima:

${\displaystyle S(q)=q^{1/5}{\frac {H(-q)}{G(-q)}}}$

${\displaystyle S(q)=q^{1/5}{\frac {f(q,-q^{4})}{f(-q^{2},q^{3})}}}$

${\displaystyle S(q)={\frac {R(q^{4})}{R(q)R(q^{2})}}}$

${\displaystyle S(q)=q^{1/5}{\frac {G(q)G(q^{2})H(q^{4})}{H(q)H(q^{2})G(q^{4})}}}$

Identidades com as funções teta de Jacobi

As seguintes definições são válidas para as funções teta de Jacobi de "valor nulo" (Nullwert):

${\displaystyle \vartheta _{00}(x)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }x^{n^{2}}}$

${\displaystyle \vartheta _{01}(x)=1-2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}x^{n^{2}}}$

${\displaystyle \vartheta _{10}(x)=2x^{1/4}+2x^{1/4}\sum _{n=1}^{\infty }x^{n^{2}+n}}$

E as seguintes definições de produto são idênticas às definições completas mencionadas:

${\displaystyle \vartheta _{00}(x)=\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{2n})(1+x^{2n-1})^{2}}$

${\displaystyle \vartheta _{01}(x)=\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{2n})(1-x^{2n-1})^{2}}$

${\displaystyle \vartheta _{10}(x)=2x^{1/4}\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{2n})(1+x^{2n})^{2}}$

Estas três chamadas funções teta de valor nulo estão interligadas através da identidade de Jacobi:

${\displaystyle \vartheta _{00}(x)^{4}=\vartheta _{10}(x)^{4}+\vartheta _{01}(x)^{4}}$

Os matemáticos Edmund Taylor Whittaker e George Neville Watson descobriram estas identidades definicionais.

As funções de fração contínua de Rogers-Ramanujan ${\displaystyle R(x)}$ e ${\displaystyle S(x)}$ têm as seguintes relações com as funções teta de valor nulo:

${\displaystyle R(x)=\tan {\biggl \langle }{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl \{}{\frac {\vartheta _{01}(x^{1/5})[5\,\vartheta _{01}(x^{5})^{2}-\vartheta _{01}(x)^{2}]}{2\,\vartheta _{01}(x^{5})[\vartheta _{01}(x)^{2}-\vartheta _{01}(x^{1/5})^{2}]}}+{\frac {1}{2}}{\biggr \}}{\biggr \rangle }}$

${\displaystyle S(x)=\tan {\biggl \langle }{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl \{}{\frac {\vartheta _{00}(x^{1/5})[5\,\vartheta _{00}(x^{5})^{2}-\vartheta _{00}(x)^{2}]}{2\,\vartheta _{00}(x^{5})[\vartheta _{00}(x^{1/5})^{2}-\vartheta _{00}(x)^{2}]}}-{\frac {1}{2}}{\biggr \}}{\biggr \rangle }}$

O elemento da raiz quinta também pode ser removido do nomo elíptico das funções teta e transferido para a função tangente externa. Dessa forma, pode ser criada uma fórmula que necessite apenas de uma das três principais funções teta:

${\displaystyle R(x)=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\vartheta _{01}(x)^{2}}{2\vartheta _{01}(x^{5})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\vartheta _{01}(x)^{2}}{2\vartheta _{01}(x^{5})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}}$

${\displaystyle S(x)=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(x)^{2}}{2\vartheta _{00}(x^{5})^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}\cot {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(x)^{2}}{2\vartheta _{00}(x^{5})^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}}$

Definição da forma modular de G e H

Uma função elíptica é uma função modular se esta função, em dependência do nomo elíptico como uma função variável interna resultar em uma função que também resulte como uma combinação algébrica do módulo elíptico de Legendre e suas integrais elípticas completas do primeiro tipo na forma K e K'. O módulo elíptico de Legendre é a excentricidade numérica da elipse correspondente.

Se você definir ${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}$ (onde a parte imaginária de ${\displaystyle \tau \in \mathbb {C} }$ é positiva), as duas funções a seguir são funções modulares:

${\displaystyle G_{M}(q)=q^{\frac {-1}{60}}G(q)}$

${\displaystyle H_{M}(q)=q^{\frac {11}{60}}H(q)}$

Se q = e^2πiτ, então q^−1/60G(q) e q^11/60H(q) são funções modulares de τ.

Para a fração contínua de Rogers-Ramanujan R(q), esta fórmula é válida com base nas modificações modulares descritas de G e H:

${\displaystyle R(q)={\frac {H_{M}(q)}{G_{M}(q)}}}$

Valores especiais

Estas funções têm os seguintes valores para o recíproco da constante de Gelfond e para o quadrado deste recíproco:

${\displaystyle {\begin{aligned}G_{M}{\bigl [}\exp(-\pi ){\bigr ]}&=2^{-1/2}5^{-1/4}({\sqrt {5}}-1)^{1/4}({\sqrt[{4}]{5}}+1)^{1/2}R{\bigl [}\exp(-\pi ){\bigr ]}^{-1/2}=\\[4pt]&=2^{1/4}\,5^{-1/8}\,\Phi ^{1/2}\,{\color {blue}\cos {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\arctan(2)+{\tfrac {1}{2}}\arcsin(\Phi ^{-2}){\bigr ]}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{M}{\bigl [}\exp(-\pi ){\bigr ]}&=2^{-1/2}5^{-1/4}({\sqrt {5}}-1)^{1/4}({\sqrt[{4}]{5}}+1)^{1/2}R{\bigl [}\exp(-\pi ){\bigr ]}^{1/2}=\\[4pt]&=2^{1/4}\,5^{-1/8}\,\Phi ^{1/2}\,{\color {blue}\sin {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\arctan(2)+{\tfrac {1}{2}}\arcsin(\Phi ^{-2}){\bigr ]}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}G_{M}{\bigl [}\exp(-2\pi ){\bigr ]}&=10^{-1/4}({\sqrt {5}}-1)^{1/4}R{\bigl [}\exp(-2\pi ){\bigr ]}^{-1/2}=\\[4pt]&=2^{1/2}\,5^{-1/8}\,{\color {blue}\cos {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\arctan(2){\bigr ]}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{M}{\bigl [}\exp(-2\pi ){\bigr ]}&=10^{-1/4}({\sqrt {5}}-1)^{1/4}R{\bigl [}\exp(-2\pi ){\bigr ]}^{1/2}=\\[4pt]&=2^{1/2}\,5^{-1/8}\,{\color {blue}\sin {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\arctan(2){\bigr ]}}\end{aligned}}}$

A fração contínua de Rogers-Ramanujan assume os seguintes valores de ordenada para esses valores de abscissa:

${\displaystyle {\begin{aligned}R[\exp(-\pi )]{}&={\tfrac {1}{4}}({\sqrt {5}}+1)({\sqrt {5}}-{\sqrt {{\sqrt {5}}+2}})({\sqrt {{\sqrt {5}}+2}}+{\sqrt[{4}]{5}})=\\[4pt]&{}=\Phi ^{3/2}\operatorname {cl} ({\tfrac {1}{5}}\varpi )^{-3/2}\operatorname {cl} ({\tfrac {2}{5}}\varpi )^{3/2}\operatorname {cl} ({\tfrac {1}{10}}\varpi )^{2}\operatorname {cl} ({\tfrac {3}{10}}\varpi )\operatorname {slh} ({\tfrac {2}{5}}{\sqrt {2}}\,\varpi )=\\[4pt]&{}={\color {blue}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\arctan(2)+{\tfrac {1}{2}}\arcsin(\Phi ^{-2}){\bigr ]}}\\[4pt]\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R[\exp(-2\pi )]{}&=4\sin({\tfrac {1}{20}}\pi )\sin({\tfrac {3}{20}}\pi )=\\[4pt]&{}={\color {blue}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\arctan(2){\bigr ]}}\end{aligned}}}$

Derivação pela média geométrica

Dadas as definições mencionadas de ${\displaystyle G_{M}}$ e ${\displaystyle H_{M}}$ desta forma já mencionada:

${\displaystyle G_{M}(q)=q^{\frac {-1}{60}}{\frac {1}{(q;q^{5})_{\infty }(q^{4};q^{5})_{\infty }}}}$

${\displaystyle H_{M}(q)=q^{\frac {11}{60}}{\frac {1}{(q^{2};q^{5})_{\infty }(q^{3};q^{5})_{\infty }}}}$

As identidades da função eta de Dedekind para as funções G e H resultam combinando apenas as duas cadeias de equações a seguir:

O quociente é rigorosamente a fração contínua de Rogers-Ramanujan:

${\displaystyle H_{M}(q)\div G_{M}(q)=R(q)}$

Mas o produto leva a uma combinação simplificada de operadores de Pochhammer:

${\displaystyle H_{M}(q)\,G_{M}(q)=q^{1/6}{\frac {1}{(q;q^{5})_{\infty }(q^{4};q^{5})_{\infty }(q^{2};q^{5})_{\infty }(q^{3};q^{5})_{\infty }}}=}$

${\displaystyle =q^{1/6}{\frac {(q^{5};q^{5})_{\infty }}{(q;q)_{\infty }}}={\frac {\eta _{W}(q^{5})}{\eta _{W}(q)}}}$

A média geométrica dessas duas cadeias de equações leva diretamente às seguintes expressões em dependência da função eta de Dedekind em sua forma de Weber:

${\displaystyle G_{M}(q)=\eta _{W}(q^{5})^{1/2}\eta _{W}(q)^{-1/2}R(q)^{-1/2}}$

${\displaystyle H_{M}(q)=\eta _{W}(q^{5})^{1/2}\eta _{W}(q)^{-1/2}R(q)^{1/2}}$

Desta forma, as funções moduladas ${\displaystyle G_{M}}$ e ${\displaystyle H_{M}}$ são representadas diretamente usando apenas a fração contínua R e o quociente da função eta de Dedekind!

Somente com os produtos de Pochhammer, a seguinte identidade então se aplica às funções não moduladas G e H:

${\displaystyle G(q)=(q;q^{5})_{\infty }^{-1}(q^{4};q^{5})_{\infty }^{-1}=(q^{5};q^{5})_{\infty }^{1/2}(q;q)_{\infty }^{-1/2}{\biggl [}{\frac {H(q)}{G(q)}}{\biggr ]}^{-1/2}}$

${\displaystyle H(q)=(q^{2};q^{5})_{\infty }^{-1}(q^{3};q^{5})_{\infty }^{-1}=(q^{5};q^{5})_{\infty }^{1/2}(q;q)_{\infty }^{-1/2}{\biggl [}{\frac {H(q)}{G(q)}}{\biggr ]}^{1/2}}$

Teorema dos números pentagonais

Para a função eta de Dedekind de acordo com a definição de Weber, estas fórmulas se aplicam:

${\displaystyle \eta _{W}(x)=2^{-1/6}\vartheta _{10}(x)^{1/6}\vartheta _{00}(x)^{1/6}\vartheta _{01}(x)^{2/3}}$

${\displaystyle \eta _{W}(x)=2^{-1/3}\vartheta _{10}(x^{1/2})^{1/3}\vartheta _{00}(x^{1/2})^{1/3}\vartheta _{01}(x^{1/2})^{1/3}}$

${\displaystyle \eta _{W}(x)=x^{1/24}\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{n})=x^{1/24}(x;x)_{\infty }}$

${\displaystyle \eta _{W}(x)=x^{1/24}{\biggl \{}1+\sum _{n=1}^{\infty }{\bigl [}-x^{{\text{Fn}}(2n-1)}-x^{{\text{Kr}}(2n-1)}+x^{{\text{Fn}}(2n)}+x^{{\text{Kr}}(2n)}{\bigr ]}{\biggr \}}}$

${\displaystyle \eta _{W}(x)=x^{1/24}{\biggl \{}1+\sum _{n=1}^{\infty }\mathrm {P} (n)\,x^{n}{\biggr \}}^{-1}}$

A quarta fórmula descreve o teorema dos números pentagonais por causa dos expoentes!

Essas definições básicas se aplicam aos números pentagonais e aos números de castelo de cartas:

${\displaystyle {\text{Fn}}(z)={\tfrac {1}{2}}z(3z-1)}$

${\displaystyle {\text{Kr}}(z)={\tfrac {1}{2}}z(3z+1)}$

A quinta fórmula contém os números de partições regulares como coeficientes.

A própria sequência de números de partições regulares ${\displaystyle \mathrm {P} (n)}$ indica o número de maneiras pelas quais um número inteiro positivo ${\displaystyle n}$ pode ser dividido em parcelas inteiras positivas. Para os números ${\displaystyle n=1}$ a ${\displaystyle n=6}$, os números de partição ${\displaystyle P}$ associados a todas as partições de números associadas estão listados na tabela a seguir:

Outras identidades da função eta de Dedekind

A seguinte simplificação adicional para as funções moduladas ${\displaystyle G_{M}}$ e ${\displaystyle H_{M}}$ pode ser realizada. Essa conexão se aplica especialmente à função eta de Dedekind a partir da quinta potência do nomo elíptico:

${\displaystyle {\frac {\eta _{W}(q^{5})}{\eta _{W}(q)}}={\frac {\eta _{W}(q^{2})^{4}}{\eta _{W}(q)^{4}}}\,{\frac {\vartheta _{01}(q^{5})}{\vartheta _{01}(q)}}{\biggl [}{\frac {5\,\vartheta _{01}(q^{5})^{2}}{4\,\vartheta _{01}(q)^{2}}}-{\frac {1}{4}}{\biggr ]}^{-1}}$

Estas duas identidades em relação à fração contínua de Rogers-Ramanujan foram dadas para as funções moduladas ${\displaystyle G_{M}}$ e ${\displaystyle H_{M}}$:

${\displaystyle G_{M}(q)=\eta _{W}(q^{5})^{1/2}\eta _{W}(q)^{-1/2}R(q)^{-1/2}}$

${\displaystyle H_{M}(q)=\eta _{W}(q^{5})^{1/2}\eta _{W}(q)^{-1/2}R(q)^{1/2}}$

A combinação das três últimas fórmulas mencionadas resulta no seguinte par de fórmulas:

${\displaystyle G_{M}(q)={\frac {\eta _{W}(q^{2})^{2}}{\eta _{W}(q)^{2}}}{\biggl [}{\frac {\vartheta _{01}(q^{5})}{\vartheta _{01}(q)}}{\biggr ]}^{1/2}{\biggl [}{\frac {5\,\vartheta _{01}(q^{5})^{2}}{4\,\vartheta _{01}(q)^{2}}}-{\frac {1}{4}}{\biggr ]}^{-1/2}R(q)^{-1/2}}$

${\displaystyle H_{M}(q)={\frac {\eta _{W}(q^{2})^{2}}{\eta _{W}(q)^{2}}}{\biggl [}{\frac {\vartheta _{01}(q^{5})}{\vartheta _{01}(q)}}{\biggr ]}^{1/2}{\biggl [}{\frac {5\,\vartheta _{01}(q^{5})^{2}}{4\,\vartheta _{01}(q)^{2}}}-{\frac {1}{4}}{\biggr ]}^{-1/2}R(q)^{1/2}}$

Função modular de Weber reduzida

As funções modulares de Weber em sua forma reduzida são uma maneira eficiente de computar os valores das funções de Rogers-Ramanujan:

Em primeiro lugar, introduzimos as funções modulares de Weber reduzidas nesse padrão:

${\displaystyle w_{Rn}(\varepsilon )={\frac {2^{(n-1)/4}[q(\varepsilon )^{n};q(\varepsilon )^{2n}]_{\infty }}{[q(\varepsilon );q(\varepsilon )^{2}]_{\infty }^{n}}}}$

${\displaystyle w_{R5}(\varepsilon )={\frac {2[q(\varepsilon )^{5};q(\varepsilon )^{10}]_{\infty }}{[q(\varepsilon );q(\varepsilon )^{2}]_{\infty }^{5}}}}$

Esta função satisfaz a seguinte equação de sexto grau:

${\displaystyle w_{R5}(\varepsilon )^{6}-2\,w_{R5}(\varepsilon )^{5}=\tan {\bigl [}2\arctan(\varepsilon ){\bigr ]}^{2}{\bigl [}2\,w_{R5}(\varepsilon )+1{\bigr ]}}$

Portanto, esta função ${\displaystyle w_{R5}}$ é de fato uma função algébrica.

Mas, junto com o teorema de Abel-Ruffini, esta função em relação à excentricidade não pode ser representada por expressões elementares.

No entanto, existem muitos valores que, de fato, podem ser expressos de forma elementar.

Quatro exemplos serão dados para isso:

Primeiro exemplo:

${\displaystyle w_{R5}({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})^{6}-2\,w_{R5}({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})^{5}=16\,w_{R5}({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})+8}$

${\displaystyle w_{R5}({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})={\sqrt[{4}]{5}}+1}$

Segundo exemplo:

${\displaystyle w_{R5}({\sqrt {2}}-1)^{6}-2\,w_{R5}({\sqrt {2}}-1)^{5}=2\,w_{R5}({\sqrt {2}}-1)+1}$

${\displaystyle w_{R5}({\sqrt {2}}-1)={\tfrac {1}{2}}{\bigl \{}{\tfrac {4}{3}}{\sqrt {2}}\cos({\tfrac {1}{10}}\pi )\cosh[{\tfrac {1}{3}}\operatorname {artanh} ({\tfrac {3}{8}}{\sqrt {6}})]+{\tfrac {1}{3}}\tan({\tfrac {1}{5}}\pi ){\bigr \}}^{2}-{\tfrac {1}{2}}=}$ ${\displaystyle =\Phi ^{-1}\cot {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\pi -\arctan {\bigl (}{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {5}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {30}}+4{\sqrt {5}}}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {30}}-4{\sqrt {5}}}}\,{\bigr )}{\bigr ]}=}$

Terceiro exemplo:

${\displaystyle w_{R5}{\bigl [}(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}){\bigr ]}^{6}-2\,w_{R5}{\bigl [}(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}){\bigr ]}^{5}=({\sqrt {2}}-1)^{4}{\bigl \{}2\,w_{R5}[(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}){\bigr ]}+1{\bigr \}}}$

${\displaystyle w_{R5}[(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}){\bigr ]}=\cot {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\pi -{\tfrac {1}{4}}\operatorname {arccsc}({\tfrac {1}{4}}{\sqrt {10}}+{\tfrac {1}{4}}){\bigr ]}}$

Quarto exemplo:

${\displaystyle w_{R5}{\bigl [}(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}){\bigr ]}^{6}-2\,w_{R5}{\bigl [}(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}){\bigr ]}^{5}=({\sqrt {2}}+1)^{4}{\bigl \{}2\,w_{R5}[(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}){\bigr ]}+1{\bigr \}}}$

${\displaystyle w_{R5}[(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}){\bigr ]}=\cot {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\operatorname {arccsc}({\tfrac {1}{4}}{\sqrt {10}}+{\tfrac {1}{4}}){\bigr ]}}$

Para essa função, uma expressão adicional é válida:

${\displaystyle w_{R5}(\varepsilon )={\frac {5\,\vartheta _{01}[q(k)^{5}]^{2}}{2\,\vartheta _{01}[q(k)]^{2}}}-{\frac {1}{2}}}$

Identidade exata da excentricidade para as funções G e H

Desta forma, as fórmulas dependentes da excentricidade precisa para as funções G e H podem ser geradas:

O seguinte quociente da função eta de Dedekind tem esta dependência da excentricidade:

${\displaystyle {\frac {\eta _{W}[q(\varepsilon )^{2}]}{\eta _{W}[q(\varepsilon )]}}=2^{-1/4}\tan {\bigl [}2\arctan(\varepsilon ){\bigr ]}^{1/12}}$

Esta é a fórmula dependente da excentricidade para a fração contínua R:

${\displaystyle R[q(\varepsilon )]=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {w_{R5}(\varepsilon )-2}{2\,w_{R5}(\varepsilon )+1}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {w_{R5}(\varepsilon )-2}{2\,w_{R5}(\varepsilon )+1}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}}$

As três últimas fórmulas agora mencionadas serão inseridas nas fórmulas finais mencionadas na seção acima:

${\displaystyle G_{M}{\bigl [}q(\varepsilon ){\bigr ]}={\frac {\tan {\bigl [}2\arctan(\varepsilon ){\bigr ]}^{1/6}{\bigl [}2\,w_{R5}(\varepsilon )+1{\bigr ]}^{1/4}}{5^{1/4}w_{R5}(\varepsilon )^{1/2}}}\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {w_{R5}(\varepsilon )-2}{2\,w_{R5}(\varepsilon )+1}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{-1/10}\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {w_{R5}(\varepsilon )-2}{2\,w_{R5}(\varepsilon )+1}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{-1/5}}$

${\displaystyle H_{M}{\bigl [}q(\varepsilon ){\bigr ]}={\frac {\tan {\bigl [}2\arctan(\varepsilon ){\bigr ]}^{1/6}{\bigl [}2\,w_{R5}(\varepsilon )+1{\bigr ]}^{1/4}}{5^{1/4}w_{R5}(\varepsilon )^{1/2}}}\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {w_{R5}(\varepsilon )-2}{2\,w_{R5}(\varepsilon )+1}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/10}\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {w_{R5}(\varepsilon )-2}{2\,w_{R5}(\varepsilon )+1}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}}$

No lado esquerdo das equações, as funções ${\displaystyle G_{M}(q)}$ e ${\displaystyle H_{M}(q)}$ em relação à função de nomo elíptico ${\displaystyle q(\varepsilon )}$ são escritas diretamente.

E no lado direito, uma combinação algébrica da excentricidade ${\displaystyle \varepsilon }$ é formulada.

Portanto, estas funções ${\displaystyle G_{M}(q)=q^{-1/60}G(q)}$ e ${\displaystyle H_{M}(q)=q^{11/60}H(q)}$ são de fato funções modulares!

Descoberta do módulo correspondente por Charles Hermite

O caso geral de equações quínticas na forma de Bring-Jerrard tem uma solução não elementar baseada no teorema de Abel-Ruffini e será agora explicada usando o nomo elíptico do módulo correspondente, descrito pelas funções elípticas lemniscáticas de maneira simplificada.

${\displaystyle x^{5}+5\,x=4\,c}$

A solução real para todos os valores reais ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ pode ser determinada da seguinte forma:

${\displaystyle {\begin{aligned}x={}&{\frac {S{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{2}\}{\bigr \rangle }^{2}-R{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }}{S{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{2}\}{\bigr \rangle }^{2}}}\times \\[4pt]&{}\times {\frac {1-R{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }\,S{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{2}\}{\bigr \rangle }}{R{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }^{2}}}\times \\[4pt]&{}\times {\frac {\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{2}\}^{5}{\bigr \rangle }\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{2}\}^{1/5}{\bigr \rangle }^{2}-5\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{2}\}^{5}{\bigr \rangle }^{3}}{4\,\vartheta _{10}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{2}\}{\bigr \rangle }\,\vartheta _{01}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{2}\}{\bigr \rangle }\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{2}\}{\bigr \rangle }}}\end{aligned}}}$

Alternativamente, a mesma solução pode ser apresentada desta maneira:

${\displaystyle {\begin{aligned}x={}&{\frac {5\,\vartheta _{00}(Q^{5})^{3}-\vartheta _{00}(Q^{5})\,\vartheta _{00}(Q)^{2}}{4\,\vartheta _{10}(Q)\,\vartheta _{01}(Q)\,\vartheta _{00}(Q)}}\times {\frac {S(Q)^{2}+R(Q^{2})}{S(Q)}}\times {\bigl [}R(Q^{2})S(Q)+R(Q^{2})+S(Q)-1{\bigr ]}\\[4pt]&\mathrm {com} \,\,Q=q{\bigl \{}\mathrm {ctlh} {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c){\bigr ]}^{2}{\bigr \}}\end{aligned}}}$

O matemático Charles Hermite determinou o valor do módulo elíptico k em relação ao coeficiente do termo absoluto da forma de Bring-Jerrard. Em seu ensaio "Sur la résolution de l'Équation du cinquiéme degré Comptes rendus", ele descreveu o método de cálculo para o módulo elíptico em termos do termo absoluto. A versão italiana do seu ensaio "Sulla risoluzione delle equazioni del quinto grado" contém, exatamente na página 258, a fórmula da equação de Bring-Jerrard acima, a qual pode ser resolvida diretamente com as funções baseadas no módulo elíptico correspondente. Este módulo elíptico correspondente pode ser calculado usando o quadrado da cotangente lemniscática hiperbólica. Para a derivação disto, por favor veja o artigo da Wikipedia sobre funções elípticas lemniscáticas!

O nomo elíptico deste módulo correspondente é representado aqui com a letra Q:

${\displaystyle Q=q{\bigl \{}\mathrm {ctlh} {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c){\bigr ]}^{2}{\bigr \}}=}$

${\displaystyle =q{\bigl [}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {c^{4}+1}}+1}}+c{\bigr )}{\bigl (}2c^{2}+2+2{\sqrt {c^{4}+1}}\,{\bigr )}^{-1/2}{\bigr ]}}$

A abreviação ctlh expressa a Cotangente Lemniscática Hiperbólica e a abreviatura aclh representa o Arco-cosseno Lemniscático Hiperbólico!

Exemplos de cálculo

Dois exemplos desse algoritmo de solução são agora mencionados:

Primeiro exemplo de cálculo:

Equação quíntica de Bring-Jerrard: ${\displaystyle x^{5}+5\,x=8}$ Fórmula de solução: ${\displaystyle {\begin{aligned}x={}&{\frac {S{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (2)]^{2}\}{\bigr \rangle }^{2}-R{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (2)]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }}{S{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (2)]^{2}\}{\bigr \rangle }^{2}}}\times \\[4pt]&{}\times {\frac {1-R{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (2)]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }\,S{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (2)]^{2}\}{\bigr \rangle }}{R{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (2)]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }^{2}}}\times \\[4pt]&{}\times {\frac {\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (2)]^{2}\}^{5}{\bigr \rangle }\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (2)]^{2}\}^{1/5}{\bigr \rangle }^{2}-5\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (2)]^{2}\}^{5}{\bigr \rangle }^{3}}{4\,\vartheta _{10}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (2)]^{2}\}{\bigr \rangle }\,\vartheta _{01}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (2)]^{2}\}{\bigr \rangle }\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (2)]^{2}\}{\bigr \rangle }}}\end{aligned}}}$ Casas decimais do nomo: ${\displaystyle q{\bigl \{}\mathrm {ctlh} {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (2){\bigr ]}^{2}{\bigr \}}=q{\bigl [}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {17}}+1}}+2{\bigr )}{\bigl (}10+2{\sqrt {17}}{\bigr )}^{-1/2}{\bigr ]}=}$ ${\displaystyle =0{,}3063466544466074265361088194021326272090461143559097382981847144\ldots }$ Casas decimais da solução: ${\displaystyle x=1{,}1670361837016430473110194319963961012975521104880199105205748723\ldots }$