Integral de Lebesgue

Funções simples

Seja ${\displaystyle \phi :E\to [-\infty ,+\infty ]\,}$ uma função simples:

${\displaystyle \phi (x)=\sum _{k=1}^{n}\alpha _{k}\mathrm {X} _{E_{k}}(x)\,}$

Diz-se que ${\displaystyle \phi (x)\,}$ é Lebesgue integrável em ${\displaystyle E\,}$ se:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|\alpha _{k}|\mu (E_{k})<\infty \,}$ ficando bem convencionado que ${\displaystyle +\infty \cdot 0=-\infty \cdot 0=0\cdot +\infty =0\cdot -\infty =0\,}$

neste caso, definimos a integral de Lesbesgue de ${\displaystyle \phi (x)\,}$ como:

${\displaystyle \int _{E}\phi (x)d\mu =\sum _{k=1}^{n}\alpha _{k}\mu (E_{k})\,}$

Funções positivas

Seja ${\displaystyle f:E\to [0,+\infty ]\,}$ uma função mensurável, define-se a integral de Lebesgue de ${\displaystyle f(x)\,}$ em ${\displaystyle E\,}$ como:

${\displaystyle \int _{E}f(x)d\mu =\sup _{\phi (x)\leq f(x)}\int _{E}\phi (x)d\mu \,}$, onde ${\displaystyle \phi (x)\,}$ é uma função simples.

A função ${\displaystyle f(x)\,}$ é dita, então, Lebesgue integrável se sua integral é finita. Observações:

• Quando ${\displaystyle f(x)\,}$ é uma função simples, esta definição é consistente com a definição anterior.
• A integral de Lebesgue está definida para toda função mensurável não negativa. A integral sendo finita se e somente se a função é Lebesgue integrável.

Funções reais

Seja ${\displaystyle f:E\to [-\infty ,+\infty ]\,}$ uma função mensurável, definem-se as partes positivas e negativas, respectivamente como:

${\displaystyle f^{+}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}f(x),&f(x)\geq 0\\0,&f(x)\leq 0\end{array}}\right.\,}$

${\displaystyle f^{-}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}0,&f(x)\geq 0\\-f(x),&f(x)\leq 0\end{array}}\right.\,}$

É fácil ver que se ${\displaystyle f(x)\,}$ é mensurável, então ambas ${\displaystyle f^{+}\,}$ e ${\displaystyle f^{-}\,}$ são mensuráveis não negativas e que ${\displaystyle f(x)=f^{+}(x)-f^{-}(x)\,}$.

A função ${\displaystyle f(x)\,}$ é dita Lebesgue integrável em ${\displaystyle E\,}$ se ambas as integrais ${\displaystyle \int _{E}f^{+}(x)dx\,}$ e ${\displaystyle \int _{E}f^{-}(x)dx\,}$ forem finitas e sua integral é definida como:

${\displaystyle \int _{E}f(x)dx=\int _{E}f^{+}(x)dx-\int _{E}f^{-}(x)dx\,}$

• Observe que ${\displaystyle f(x)\,}$ é integrável e mensuravel se e somente se ${\displaystyle |f(x)|\,}$ é integrável.