Casey nasceu em Kilbehenny, no Condado de Limerick, e estudou em uma escola local de Mitchelstown. Tornou-se professor no Conselho Nacional de Educação e, em seguida, tornou-se diretor da Central Model Schools em Kilkenny. Em 1858, ingressou na Trinity College em Dublin, onde recebeu um prêmio para estudantes de graduação em 1861 e recebeu o título de bacharel em 1862. Então, atuou como professor de matemática na Kingston School entre 1862 e 1873, professor de matemática avançada e física matemática na recém fundada Universidade Católica da Irlanda entre 1873 e 1881 e, finalmente, docente em matemática na University College Dublin de 1881 a 1891.
Estudos
Casey contribuiu com diversas perspectivas e desenvolveu novas demonstrações sobre a geometria euclidiana. Casey escreveu sua interpretação sobre os seis primeiros livros de Os Elementos de Euclides voltada para o ensino secundário, evitando repetições. Ao mesmo tempo em que manteve as preposições de Euclides, incluiu demonstrações de acordo com a geometria desenvolvida até o século XIX.
Um importante legado do matemático foi o Teorema de Casey, uma generalização do teorema de Ptolomeu. Ademais, em 1881, refinou o método de Adriaan van Roomen quanto à solução do problema de Apolônio.
Reconhecimento e premiações
Casey foi membro de diversas instituições científicas prestigiadas. Em 1869, a Universidade de Dublin premiou Casey com um diploma honorário de doutor em Direito. Ele foi eleito membro da Royal Society em junho de 1875. Ele ingressou como membro da Academia Real da Irlanda e, em 1880, tornou-se membro do conselho da instituição. Em 1878, a Academia Real da Irlanda lhe conferiu a Medalha de Ouro Cunningham. Além disso, também fez parte da Societe Matemática da França.
Publicações selecionadas
1880: On Cubic Transformations
1881: On Cyclides and Sphero-quartics
1882: The First Six Books of the Elements of Euclid
1885: A Treatise on the Analytic Geometry of the Point, Line, Circle and Conic Sections
1888: A Treatise on Plane Trigonometry containing an account of the Hyperbolic Functions
