Limite direto

Objetos Algébricos

Nesta seção entenderemos os objetos como sendo conjuntos com uma dada estrutura algébrica tais como grupos, anéis, módulos (sobre um anel fixado), álgebras (sobre um anel fixado), etc. Com isto em mente "homomorfismos" estão sendo considerados no contexto correspondente (homomorfismos de grupos, de anéis, de módulos, etc).

Começamos com a definição de um sistema direto(ou sistema dirigido) de objetos e homomorfismos. Sejam ${\displaystyle \langle I,\leq \rangle }$ um conjunto dirigido e ${\displaystyle \{A_{i}:i\in I\}}$ uma família de objetos indexados por ${\displaystyle I\,}$ e ${\displaystyle f_{ij}:A_{i}\rightarrow A_{j}}$ um homomorfismo para todo ${\displaystyle i\leq j}$ com as seguintes propriedades:

1. ${\displaystyle f_{ii}\,}$ é a identidade de ${\displaystyle A_{i}\,}$, e
2. ${\displaystyle f_{ik}=f_{jk}\circ f_{ij}}$ para todo ${\displaystyle i\leq j\leq k}$.

Então o par ${\displaystyle \langle A_{i},f_{ij}\rangle }$ é chamado um sistema dirigido sobre ${\displaystyle I\,}$.

O conjunto subjacente do limite direto, ${\displaystyle A\,}$, de um sistema dirigido ${\displaystyle \langle A_{i},f_{ij}\rangle }$ é definido como a união disjunta dos ${\displaystyle A_{i}\,}$'s modulo uma certa relação de equivalência ${\displaystyle \sim \,}$:

${\displaystyle \varinjlim A_{i}=\bigsqcup _{i}A_{i}{\bigg /}\sim .}$

Aqui, se ${\displaystyle x_{i}\in A_{i}}$ e ${\displaystyle x_{j}\in A_{j}}$, ${\displaystyle x_{i}\sim \,x_{j}}$ se existe algum ${\displaystyle k\in I}$ tal que ${\displaystyle f_{ik}(x_{i})=f_{jk}(x_{j})\,}$. Heuristicamente, dois elementos da união disjunta são equivalentes se, e somente se, eles "são eventualmente iguais" no sistema dirigido. Uma formulação equivalente que clareia a dualidade com o limite inverso é que um elemento é equivalente a todas as suas imagens pelos morfismos do sistema dirigido, isto é ${\displaystyle x_{i}\sim \,f_{ik}(x_{i})}$.

Dessa definição obtemos "morfismos naturais" ${\displaystyle \phi _{i}:A_{i}\rightarrow A}$ que levam um elemento na sua classe de equivalência. As operações em ${\displaystyle A\,}$ são definidas com estes morfismos de maneira óbvia.

Uma propriedade importante é que tomar o limite direto na categoria dos módulos é um functor exato.

Limite Direto sobre um sistema dirigido numa categoria

O limite direto pode ser definido nunca categoria arbitrária ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ por meio de uma propriedade universal. Sejam ${\displaystyle \langle X_{i},f_{ij}\rangle }$ um sistema dirigido de objetos e morfismos em ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ (mesma definição de cima). O limite direto deste sistema é um objeto ${\displaystyle X\,}$ em ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ junto com os morfismos ${\displaystyle \phi _{i}:X_{i}\rightarrow X}$ satisfazendo ${\displaystyle \phi _{i}=\phi _{j}\circ f_{ij}}$. O par ${\displaystyle \langle X,\phi _{i}\rangle }$ deve ser universal no sentido de que para qualquer outro par ${\displaystyle \langle Y,\psi _{i}\rangle }$ existe um único morfismo ${\displaystyle u:X\rightarrow Y}$ fazendo o diagrama

comutar para todo i, j. O limite direto é geralmente denotado ${\displaystyle X=\varinjlim X_{i}}$ com o sistema dirigido ${\displaystyle \langle X_{i},f_{ij}\rangle }$ sendo subtendido.

Diferentemente do caso de objetos algébricos, o limite direto pode não existir numa categoria arbitrária. Mas quando ele existe ele é único no sentido forte: dado outro limite direto X′ existe um único isomorfismo X′ → X que comuta com os morfismos naturais ${\displaystyle \phi _{i}:A_{i}\rightarrow A}$.

Note que um sistema dirigido num categoria ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ admite um descrição alternativa em termos de funtores. Qualquer conjunto dirigido ${\displaystyle \langle I,\leq \rangle }$ pode ser considerado como uma categoria pequena ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ onde os morfismo consistem das setas ${\displaystyle i\rightarrow j}$ se, e somente se, ${\displaystyle i\leq j}$. Um sistema dirigido é então um functor covariante ${\displaystyle {\mathcal {I}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$.

Definição Geral

Sejam ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ e ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ categorias. Seja ${\displaystyle c_{X}:{\mathcal {I}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$ um functor constante com objeto fixo ${\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}$. Defina para cada functor ${\displaystyle F:{\mathcal {I}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$ o functor

${\displaystyle \lim _{\longrightarrow }F:{\mathcal {C}}\rightarrow \mathbf {Set} }$

que associa a cada ${\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}$ o conjunto ${\displaystyle \mathrm {Hom} (F,c_{X})}$ das transformações naturais de F para ${\displaystyle c_{X}}$. Se ${\displaystyle \lim _{\longrightarrow }F}$ é representável, o objeto representante em ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ é chamado o limite direto de F e é denotado por ${\displaystyle \lim _{\longrightarrow }F}$.

Se ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ é uma categoria abeliana onde somas diretas arbitrárias(possivelmente infinitas) de objetos existem (este é o axima AB3 de Grothedieck). O ${\displaystyle \lim _{\longrightarrow }F}$ é representável para cada functor ${\displaystyle F:{\mathcal {I}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$ e

${\displaystyle \lim _{\longrightarrow }:\mathrm {Hom} ({\mathcal {I}},{\mathcal {C}})\rightarrow {\mathcal {C}},F\mapsto \lim _{\longrightarrow }F}$

é um functor aditivo exato à direita de categorias abelianas.