Lista de transformadas de Laplace

A tabela a seguir provê as transformadas de Laplace para as funções mais comuns de uma variável. Para definições e exemplos, veja a nota explanatória no fim da tabela.

A transformada de Laplace é definida como:

${\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\{f(s)\}=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.}$

Porque a transformada de Laplace é um operador linear:

• A transformada de Laplace de uma soma é a soma das transformadas de Laplace de cada termo.

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(t)+g(t)\right\}={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}+{\mathcal {L}}\left\{g(t)\right\}}$

• A transformada de Laplace de um múltiplo de uma função é o múltiplo vezes a transformada de Laplace da função.

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{af(t)\right\}=a{\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}}$

Usando a propriedade da linearidade e as relações/identidades trigonométricas, hiperbólicas e complexas, algumas transformadas de Laplace podem ser obtidas de outras mais rápida do que diretamente pela definição.

A unilateralidade da transformada de Laplace toma como entrada uma função cujo domínio são os reais não negativos, este é o motivo de todas as funções no domínio de tempo na tabela abaixo serem múltiplas da Função de Heaviside, u(t). As entradas desta tabela que envolvem um tempo de atraso ${\displaystyle \tau }$ são obrigadas a serem causais (para ${\displaystyle \tau }$ > 0). Um sistema causal é um sistema em que a resposta ao impulso h(t) é zero para todo tempo t prévio a t = 0. Em geral, a região de convergência para um sistema causal não é o mesmo para um sistema anti-causal.

Função	Domínio de tempo ${\displaystyle f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{F(s)\right\}}$	Laplace s-domínio ${\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}}$	Região de Convergência	Referência
impulso unitário	${\displaystyle \delta (t)\ }$	${\displaystyle 1}$	todo s	inspeção
impulso atrasado	${\displaystyle \delta (t-\tau )\ }$	${\displaystyle e^{-\tau s}\ }$		mudança de tempo do impulso unitário
Degrau Unitário	${\displaystyle u(t)\ }$	${\displaystyle {1 \over s}}$	Re(s) > 0	integral do impulso unitário
Função Constante	${\displaystyle k\cdot u(t)}$	${\displaystyle k/s}$	Re(s) > 0	Convolução
passo único atrasado	${\displaystyle u(t-\tau )\ }$	${\displaystyle {\frac {1}{s}}e^{-\tau s}}$	Re(s) > 0	mudança de tempo do passo único
rampa	${\displaystyle t\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {\frac {1}{s^{2}}}}$	Re(s) > 0	integral do impulso unitário duas vezes
n-ésima potência ( para n inteiro)	${\displaystyle t^{n}\cdot u(t)}$	${\displaystyle {n! \over s^{n+1}}}$	Re(s) > 0 (n > −1)	Integral do passo único n vezes
q-ésima potência (para q complexo)	${\displaystyle t^{q}\cdot u(t)}$	${\displaystyle {\Gamma (q+1) \over s^{q+1}}}$	Re(s) > 0 Re(q) > −1
n-ésima raiz	${\displaystyle {\sqrt[{n}]{t}}\cdot u(t)}$	${\displaystyle {1 \over s^{{\frac {1}{n}}+1}}\Gamma \left({\frac {1}{n}}+1\right)}$	Re(s) > 0	Deixe q = 1/n acima.
n-ésima potência com mudança de frequência	${\displaystyle t^{n}e^{-\alpha t}\cdot u(t)}$	${\displaystyle {\frac {n!}{(s+\alpha )^{n+1}}}}$	Re(s) > −α	Integral do passo único aplique a mudança de frequência
n-ésima potência atrasada com mudança de frequência	${\displaystyle (t-\tau )^{n}e^{-\alpha (t-\tau )}\cdot u(t-\tau )}$	${\displaystyle {\frac {n!\cdot e^{-\tau s}}{(s+\alpha )^{n+1}}}}$	Re(s) > −α	Integral do passo único, aplique a mudança de frequência, aplique a mudança de tempo
Decaimento exponencial	${\displaystyle e^{-\alpha t}\cdot u(t)}$	${\displaystyle {1 \over s+\alpha }}$	Re(s) > −α	Mudança de frequência do passo único
Decaimento exponencial bilateral	${\displaystyle e^{-\alpha |t|}\ }$	${\displaystyle {2\alpha \over \alpha ^{2}-s^{2}}}$	−α < Re(s) < α	Mudança de frequência do passo único
Exponencial genérica	${\displaystyle a^{t}\cdot u(t)}$	${\displaystyle 1/(s-ln(a))}$	Re(s) > ln(a)	Adaptação da transformada do decaimento exponencial
aproximação exponencial	${\displaystyle (1-e^{-\alpha t})\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {\frac {\alpha }{s(s+\alpha )}}}$	Re(s) > 0	passo único menos decaimento exponencial
Seno	${\displaystyle \sin(\omega t)\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {\omega \over s^{2}+\omega ^{2}}}$	Re(s) > 0	Bracewell 1978, p. 227
Cosseno	${\displaystyle \cos(\omega t)\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {s \over s^{2}+\omega ^{2}}}$	Re(s) > 0	Bracewell 1978, p. 227
Seno hiperbólico	${\displaystyle \sinh(\alpha t)\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {\alpha \over s^{2}-\alpha ^{2}}}$	Re(s) > |α|	Williams 1973, p. 88
Cosseno hiperbólico	${\displaystyle \cosh(\alpha t)\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {s \over s^{2}-\alpha ^{2}}}$	Re(s) > |α|	Williams 1973, p. 88
decaimento exponencial onda senoidal	${\displaystyle e^{-\alpha t}\sin(\omega t)\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {\omega \over (s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}}$	Re(s) > −α	Bracewell 1978, p. 227
decaimento exponencial onda cossenoidal	${\displaystyle e^{-\alpha t}\cos(\omega t)\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {s+\alpha \over (s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}}$	Re(s) > −α	Bracewell 1978, p. 227
Logaritmo natural	${\displaystyle \ln(t)\cdot u(t)}$	${\displaystyle -{1 \over s}\,\left[\ln(s)+\gamma \right]}$	Re(s) > 0	Williams 1973, p. 88
Logaritmo genérico	${\displaystyle log_{a}(x)\cdot u(t)}$	${\displaystyle -(ln(s)+\gamma )/(s\centerdot ln(a))}$	Re(s) > 0	Adaptação da transformada do logaritmo natural
Função de Bessel de primeira espécie, de ordem n	${\displaystyle J_{n}(\omega t)\cdot u(t)}$	${\displaystyle {\frac {\left({\sqrt {s^{2}+\omega ^{2}}}-s\right)^{n}}{\omega ^{n}{\sqrt {s^{2}+\omega ^{2}}}}}}$	Re(s) > 0 (n > −1)	Williams 1973, p. 89
Função erro	${\displaystyle \mathrm {erf} (t)\cdot u(t)}$	${\displaystyle {\frac {1}{s}}e^{{\frac {1}{4}}s^{2}}\left(1-\operatorname {erf} {\frac {s}{2}}\right)}$	Re(s) > 0	Williams 1973, p. 89
decaimento exponencial onda cossenoidal deslocada (I)	${\displaystyle e^{-\alpha t}\cos(\omega t+\theta )\cdot u(t)}$	${\displaystyle {\frac {\cos(\theta )s+\alpha \cos(\theta )-\omega \sin(\theta )}{s^{2}+2\alpha s+\alpha ^{2}+\omega ^{2}}}}$	Re(s) > −α
decaimento exponencial onda cossenoidal deslocada (II)	${\displaystyle Ce^{-\alpha t}\cos(\omega t+\theta )\cdot u(t)}$	${\displaystyle {\frac {As+B}{s^{2}+2\alpha s+\beta }}}$ ${\displaystyle \omega ={\sqrt {\beta -\alpha ^{2}}}}$ ${\displaystyle C={\frac {1}{\omega }}{\sqrt {A^{2}\beta +B^{2}-2AB\alpha }}}$ ${\displaystyle \theta =\tan ^{-1}\left({\frac {A\alpha -B}{A\omega }}\right)}$	Re(s) > −α
decaimento exponencial onda cossenoidal deslocada (III)	${\displaystyle e^{-\alpha t}\left[A\cos(\omega t)-{\frac {B-A\alpha }{\omega }}\sin(\omega t)\right]\cdot u(t)}$	${\displaystyle {\frac {As+B}{s^{2}+2\alpha s+\beta }}}$ ${\displaystyle \omega ={\sqrt {\beta -\alpha ^{2}}}}$	Re(s) > −α
Produto de exponencial por seno hiperbólico	${\displaystyle \exp(-at)sinh(bt)\cdot u(t)}$	${\displaystyle b/(s+a)(s^{2}-b^{2})}$	Re(s) > Max(-a,|b|)	Convolução
Produto de exponencial por cosseno hiperbólico	${\displaystyle \exp(-at)cosh(bt)\cdot u(t)}$	${\displaystyle s/(s+a)(s^{2}-b^{2})}$	Re(s) > Max(-a,|b|)	Convolução
Produto de exponencial por logaritmo natural	${\displaystyle \exp(-at)\ln(t)\cdot u(t)}$	${\displaystyle -[ln(s)+\gamma ]/(s^{2}+sa)}$	Re(s) > Max(-a,0)	Convolução
Produto de monômio por seno	${\displaystyle t^{n}sin(\omega t)\cdot u(t)}$	${\displaystyle n!\omega /s^{n}(s^{3}+\omega ^{2}s)}$	Re(s) > 0	Convolução
Produto de monômio por cosseno	${\displaystyle t^{n}cos(\omega t)\cdot u(t)}$	${\displaystyle n!s/s^{n}(s^{3}+\omega ^{2}s)}$	Re(s) > 0	Convolução
Produto de monômio por seno hiperbólico	${\displaystyle t^{n}sinh(at)\cdot u(t)}$	${\displaystyle n!a/s^{n}(s^{3}-a^{2}s)}$	Re(s) > |a|	Convolução
Produto de monômio por cosseno hiperbólico	${\displaystyle t^{n}cosh(at)\cdot u(t)}$	${\displaystyle n!s/s^{n}(s^{3}-a^{2}s)}$	Re(s) > |a|	Convolução
Produto de monômio por função erro	${\displaystyle t^{n}erf(t)\cdot u(t)}$	${\displaystyle n!\exp(s^{2}/4)(1-erf(s/2))/s^{2}s^{n}}$	Re(s) > 0	Convolução
Produto de monômio por logaritmo natural	${\displaystyle t^{n}ln(t)\cdot u(t)}$	${\displaystyle n![ln(s)+\gamma ]/s^{2}s^{n}}$	Re(s) > 0	Convolução
Produto de seno por cosseno	${\displaystyle sin(at)cos(bt)\cdot u(t)}$	${\displaystyle sb/(s^{2}+a^{2})(s^{2}+b^{2})}$	Re(s) > 0	Convolução
Produto de seno por seno hiperbólico	${\displaystyle sin(\omega t)sinh(at)\cdot u(t)}$	${\displaystyle a\omega /(s^{2}-a^{2})(s^{2}+\omega ^{2})}$	Re(s) > |a|	Convolução
Produto de seno por cosseno hiperbólico	${\displaystyle sin(\omega t)cosh(at)\cdot u(t)}$	${\displaystyle s\omega /(s^{2}-a^{2})(s^{2}+\omega ^{2})}$	Re(s) > |a|	Convolução
Produto de seno por logaritmo natural	${\displaystyle sin(at)ln(t)\cdot u(t)}$	${\displaystyle \omega [ln(s)+\gamma ]/(s^{3}+s\omega ^{2})}$	Re(s) > 0	Convolução
Produto de cosseno por seno hiperbólico	${\displaystyle cos(\omega t)sinh(at)\cdot u(t)}$	${\displaystyle as/(s^{2}-a^{2})(s^{2}+\omega ^{2})}$	Re(s) > |a|	Convolução
Produto de cosseno por cosseno hiperbólico	${\displaystyle cos(\omega t)cosh(at)\cdot u(t)}$	${\displaystyle s^{2}/(s^{2}-a^{2})(s^{2}+\omega ^{2})}$	Re(s) > |a|	Convolução
Produto de cosseno por função erro	${\displaystyle cos(\omega t)erf(t)\cdot u(t)}$	${\displaystyle \exp(s^{2}/4)(1-erf(s/2))/(s^{2}+\omega ^{2})}$	Re(s) > 0	Convolução
Produto de cosseno por logaritmo natural	${\displaystyle cos(\omega t)ln(t)\cdot u(t)}$	${\displaystyle [ln(s)+\gamma ]/(s^{2}+\omega ^{2})}$	Re(s) > 0	Convolução
Produto de seno hiperbólico por cosseno hiperbólico	${\displaystyle sinh(at)cosh(bt)\cdot u(t)}$	${\displaystyle sa/(s^{2}-a^{2})(s^{2}-b^{2})}$	Re(s) > Max(|a|, |b|)	Convolução
Produto de seno hiperbólico por função erro	${\displaystyle sinh(at)erf(t)\cdot u(t)}$	${\displaystyle a\exp(s^{2}/4)(1-erf(s/2))/(s^{3}-a^{2}s)}$	Re(s) > |a|	Convolução
Produto de seno hiperbólico por logaritmo natural	${\displaystyle sinh(at)ln(t)\cdot u(t)}$	${\displaystyle a[ln(s)+\gamma ]/(s^{3}-a^{2}s)}$	Re(s) > |a|	Convolução
Produto de cosseno hiperbólico por função erro	${\displaystyle cosh(at)erf(t)\cdot u(t)}$	${\displaystyle \exp(s^{2}/4)(1-erf(s/2))/(s^{2}-a^{2})}$	Re(s) > |a|	Convolução
Produto de cosseno hiperbólico por logaritmo natural	${\displaystyle cosh(at)ln(t)\cdot u(t)}$	${\displaystyle [ln(s)+\gamma ]/(s^{2}-a^{2})}$	Re(s) > |a|	Convolução
Produto de função erro por logaritmo natural	${\displaystyle erf(t)ln(t)\cdot u(t)}$	${\displaystyle \exp(s^{2}/4)(1-erf(s/2))[ln(s)+\gamma ]/s^{2}}$	Re(s) > 0	Convolução
Tangente de t	${\displaystyle \tan(t)}$	${\displaystyle -{i \over s}-{i \over 2}(\pi \csc h({\pi s \over 2}))-{1 \over 2\psi }({1 \over 2}+{si \over 4})+\psi ({si \over 8})}$	Re(s) > 0	Inspeção
Cotangente de t	${\displaystyle \cot(t)}$	${\displaystyle \int _{0}^{t}{exp(-pt)\cot(t)dt \over 1+exp(-p\pi )}}$	Re(s) > 0	Inspeção
Secante de t	${\displaystyle \sec(t)}$	${\displaystyle -{i \over 2}(\pi \sec h({\pi s \over 2}))-\psi ({1 \over 4}+{si \over 4})+\psi ({si \over 4}+{3 \over 4})}$	Re(s) > 0	Inspeção
Cossecante de t	${\displaystyle \csc(t)}$	${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{exp(-st)\csc(t)dt \over 1-exp(-2s\pi )}}$	Re(s) > 0	Inspeção
Tangente hiperbólico de t	${\displaystyle \tanh(t)}$	${\displaystyle {1 \over 2s}(-s\psi ({s \over 4})+s\psi ({s+2 \over 4}))}$	Re(s) > 0	Inspeção
Cotangente hiperbólico de t	${\displaystyle \coth(t)}$	${\displaystyle \int _{0}^{i\pi }{exp(-st)\coth(t)dt \over 1-exp(-is\pi )}}$	Re(s) > 0	Inspeção
Secante hiperbólico de t	${\displaystyle \sec h(t)}$	${\displaystyle {1 \over 2}(\psi ({s+3 \over 4})-\psi ({s+1 \over 4}))}$	Re(s) > 0	Inspeção
Cossecante hiperbólico de t	${\displaystyle \csc h(t)}$	${\displaystyle \int _{0}^{2i\pi }{exp(-st)\csc h(t)dt \over 1-exp(-2is\pi )}}$	Re(s) > 0	Inspeção
'a' seno de t	${\displaystyle a\sin(t)}$	${\displaystyle {i\pi (iLo(s)+Yo(-is) \over 2s}}$	Re(s) > 0	Inspeção
'a' cosseno de t	${\displaystyle a\cos(t)}$	${\displaystyle {(\pi Lo(s)-\pi Io(s)+2iKo(s)+\pi ) \over 2s}}$	Re(s) > 0	Inspeção
'a' tangente de t	${\displaystyle a\tan(t)}$	${\displaystyle (2Ci(s)\sin(s))+(\pi -2Si(s))\cos(s) \over 2s}$	Re(s) > 0	Inspeção
'a' seno hiperbólico de t	${\displaystyle a\sin h(t)}$	${\displaystyle \pi (Ho(s)-Yo(s)) \over 2s}$	Re(s) > 0	Inspeção
Seno de t ao quadrado	${\displaystyle \sin(t^{2})}$	${\displaystyle {{\sqrt {\pi \over 2}} \over 2}[(-2C({s \over {\sqrt {2\pi }}})\cos({s^{2} \over 4})-2S({s \over {\sqrt {2\pi }}})\sin({s^{2} \over 4}))+\sin({s^{2} \over 4})+{\sqrt {s^{-4}}}s^{2}\cos({s^{2} \over 4})]}$	Re(s) > 0	Inspeção
Cosseno de t ao quadrado	${\displaystyle \cos(t^{2})}$	${\displaystyle {{\sqrt {\pi \over 2}} \over 2}[(2C({s \over {\sqrt {2\pi }}})-1)\sin({s^{2} \over 4})-2S({s \over {\sqrt {2\pi }}})\cos({s^{2} \over 4})+\cos({s^{2} \over 4})]}$	Re(s) > 0	Inspeção
Seno hiperbólico de t ao quadrado	${\displaystyle \sin h(t^{2})}$	${\displaystyle (2F({s \over 2})-{\sqrt {(}}\pi )e^{({s^{2} \over 4})}erfc({s \over 2})) \over 4}$	Re(s) > 0	Inspeção
Cosseno hiperbólico de t ao quadrado	${\displaystyle \cos h(t^{2})}$	${\displaystyle (2F({s \over 2})+{\sqrt {(}}\pi )e^{({s^{2} \over 4})}erfc({s \over 2})) \over 4}$	Re(s) > 0	Inspeção
Nota explicatória: u(t) representa a Função de Heaviside. ${\displaystyle \delta (t)\,}$ representa a Delta de Dirac. Γ(z) representa a Função gama. γ é a Constante de Euler-Mascheroni. t, um número real, tipicamente representa tempo, embora possa representar qualquer dimensão independente. s é a Frequência angular complexa, e Re(s) é sua parte real. α, β, τ, e ω são números reais. n é um Número inteiro.

Referências