Logaritmo complexo

Na análise complexa, um logaritmo complexo é uma função inversa da função exponencial complexa, assim como o logaritmo natural real ln x é o inverso da função exponencial real e^x. Assim, um logaritmo de um número complexo z é um número complexo w tal que e^w = z. A notação para tal w é ln z ou ${\displaystyle log}$ z. Como todo número complexo diferente de zero z possui infinitamente muitos logaritmos é necessário cuidado para dar a essa notação um significado inequívoco.

Se z =re^iθ com r> 0 (uma forma polar), então w = ln r + iθ é um logaritmo de z; acrescentando múltiplos inteiros de 2πi dá todos os outros.

Relação no campo de números complexos

Para números reais, temos a seguinte relação:

${\displaystyle y=\ln(x)\Leftrightarrow x=e^{y}{\text{ con }}x\in \mathbb {R} ^{+},y\in \mathbb {R} .}$

Esse relacionamento pode ser usado para estender o logaritmo para o campo complexo:

${\displaystyle w=\ln(z)\Leftrightarrow z=e^{w}{\text{ con }}w,z\in \mathbb {C} ,}$

com a única condição ${\displaystyle z\neq 0}$. Este último relatório permite obter uma expressão explícita para ${\displaystyle \ln(z)}$. Escrevendo a forma exponencial de ${\displaystyle z}$

${\displaystyle z=\rho e^{i\theta },}$,

segue que

${\displaystyle \rho e^{i\theta }=z=e^{w}=e^{u+iv}=e^{u}\cdot e^{iv},}$

onde é ${\displaystyle u}$ e ${\displaystyle v}$ representa, respectivamente, a parte real e imaginária do desconhecido ${\displaystyle \ln(z)}$. Da cadeia de igualdades anterior, seguimos os seguintes relacionamentos que determinam ${\displaystyle u}$ e ${\displaystyle v}$:

${\displaystyle |z|=\rho =e^{u}\Longrightarrow u=\ln |z|}$

${\displaystyle e^{i\theta }=e^{iv}\Longrightarrow v=\arg(z)}$

Podemos então escrever

${\displaystyle \ln(z)=\ln |z|+i\arg(z).}$

Note que o logaritmo complexo assume valores infinitos, dado que ${\displaystyle \arg(z)}$ contém todos os números do tipo ${\displaystyle \theta +2k\pi }$, com ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} .}$

Por esta razão, não é realmente uma função, mas uma função chamada polidroma.

Referências

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