Infinito

Grécia Antiga

A mais antiga ideia registrada de infinito na Grécia talvez seja a de Anaximandro (c. 610 – c. 546 a.C.), filósofo grego pré-socrático. Ele empregou a palavra ápeiron, que significa "ilimitado" ou "indefinido" e que também pode ser traduzida como "infinito".

No século IV a.C., Aristóteles distinguiu o infinito potencial do infinito atual. Para ele, uma sequência de operações poderia prosseguir indefinidamente sem que o infinito existisse como totalidade concluída. A divisão de uma grandeza podia continuar sem limite, mas cada etapa permanecia finita. Aristóteles rejeitava, em particular, a existência de uma magnitude espacial efetivamente infinita e a realização completa de uma divisão infinita.

Argumentou-se que, em consonância com essa visão, os gregos helenísticos tinham um "horror ao infinito", o que explicaria, por exemplo, por que Euclides (c. 300 a.C.) não afirmou existir uma infinidade de números primos, mas escreveu que os números primos são mais numerosos do que qualquer quantidade dada de números primos. Também se sustentou que, ao demonstrar o teorema da infinitude dos números primos, Euclides "foi o primeiro a superar o horror ao infinito".

Existe controvérsia semelhante a respeito do postulado das paralelas de Euclides, por vezes traduzido da seguinte forma:

Se uma reta, ao cortar duas outras retas, formar ângulos internos do mesmo lado cuja soma seja menor que dois ângulos retos, então as duas outras retas, prolongadas até o infinito, encontrar-se-ão no lado da primeira reta em que a soma dos ângulos internos for menor que dois ângulos retos.

Outros tradutores, porém, preferem a formulação "as duas retas, se prolongadas indefinidamente...", evitando assim a implicação de que Euclides aceitasse uma totalidade infinita concluída. Por fim, também se defendeu que uma reflexão sobre o infinito, longe de provocar um "horror ao infinito", estava subjacente à filosofia grega antiga e que o "infinito potencial" de Aristóteles constitui uma exceção à tendência geral daquele período.

Zenão: Aquiles e a tartaruga

Os paradoxos de Zenão de Eleia (c. 495 – c. 430 a.C.) questionam concepções de pluralidade e movimento e colocam dificuldades relacionadas à divisão infinita do espaço e do tempo. A obra original de Zenão não sobreviveu, e seus argumentos são conhecidos sobretudo por testemunhos posteriores. Por isso, a reconstrução de suas intenções e da forma original dos paradoxos exige cautela. Bertrand Russell descreveu os paradoxos como "imensuravelmente sutis e profundos".

No paradoxo de Aquiles e a tartaruga, Aquiles disputa uma corrida com uma tartaruga, à qual concede certa vantagem inicial.

• Etapa 1: Aquiles corre até o ponto de partida da tartaruga, enquanto ela avança.
• Etapa 2: Aquiles chega ao ponto em que a tartaruga estava ao fim da etapa 1, enquanto ela avança um pouco mais.
• Etapa 3: Aquiles chega ao ponto em que a tartaruga estava ao fim da etapa 2, enquanto ela avança novamente.
• Etapa 4: Aquiles chega ao ponto em que a tartaruga estava ao fim da etapa 3, enquanto ela continua avançando.

E isso prossegue indefinidamente. Em termos gerais:

• Etapa ${\displaystyle n+1}$: Aquiles avança até o ponto em que a tartaruga se encontrava ao fim da etapa ${\displaystyle n}$, enquanto ela continua avançando.

A dificuldade consiste em explicar como Aquiles pode alcançar a tartaruga se, ao final de cada uma dessas etapas, ela ainda está à sua frente.

Zenão pertenceu à escola eleática, e seus argumentos são tradicionalmente relacionados à defesa das posições de Parmênides. Entretanto, não se deve reduzir a discussão à afirmação de que Aquiles não poderia correr: o paradoxo envolve o significado de completar uma sequência infinita de etapas e a relação entre a descrição matemática e o movimento.

No tratamento matemático moderno, uma soma de infinitos intervalos de tempo pode ser finita. Em seu Cours d'Analyse, de 1821, Augustin-Louis Cauchy apresentou um tratamento sistemático de limites e séries, incluindo a série geométrica. Para ${\displaystyle 0<x<1}$, vale:

${\displaystyle a+ax+ax^{2}+ax^{3}+ax^{4}+ax^{5}+\cdots ={\frac {a}{1-x}}.}$

Suponha que Aquiles corra a 10 metros por segundo, que a tartaruga caminhe a 0,1 metro por segundo e que tenha recebido uma vantagem inicial de 100 metros. Os tempos necessários para completar as etapas formam uma série geométrica com primeiro termo de 10 segundos e razão ${\displaystyle 0{,}01}$. Aquiles alcança a tartaruga após

${\displaystyle 10+0{,}1+0{,}001+0{,}00001+\cdots ={\frac {10}{1-0{,}01}}={\frac {10}{0{,}99}}=10{,}10101\ldots {\text{ segundos}}.}$

O cálculo mostra que a existência de infinitas etapas na descrição não implica uma duração total infinita. As questões filosóficas sobre movimento, continuidade e supertarefas são, contudo, distintas da demonstração de convergência dessa série.

Índia antiga

O texto da matemática jainista Surya Prajnapti (c. séculos IV–III a.C.) classifica os números em três grupos: enumeráveis, inumeráveis e infinitos. Cada um deles era subdividido em três ordens:

• Enumeráveis: inferiores, intermediários e superiores.
• Inumeráveis: quase inumeráveis, verdadeiramente inumeráveis e inumeravelmente inumeráveis.
• Infinitos: quase infinitos, verdadeiramente infinitos e infinitamente infinitos.

Esses termos pertencem à classificação histórica jainista e não devem ser confundidos automaticamente com as noções modernas de enumerabilidade e cardinalidade.

Século XVII

Em Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze, publicado em 1638, Galileu Galilei observou que os quadrados perfeitos formam um subconjunto próprio dos números naturais, embora cada natural possa ser associado biunivocamente ao seu quadrado. Diante da aparente incompatibilidade entre a ideia de que o todo deve ser maior que uma parte e a existência de uma bijeção, Galileu concluiu que as relações ordinárias de "maior", "menor" e "igual" não podiam ser aplicadas da mesma maneira às coleções infinitas. A teoria dos conjuntos posterior adotaria a correspondência biunívoca como critério de igualdade de cardinalidade, dando ao paradoxo de Galileu uma interpretação diferente.

No século XVII, matemáticos europeus começaram a empregar números infinitos e expressões infinitas de maneira sistemática. Em 1655, John Wallis utilizou a notação ${\displaystyle \infty }$ em De sectionibus conicis, e empregou-a em cálculos de áreas ao dividir uma região em faixas infinitesimais de largura da ordem de ${\displaystyle {\tfrac {1}{\infty }}}$. Em Arithmetica infinitorum (1656), indicou séries, produtos e frações contínuas infinitas escrevendo alguns termos ou fatores e acrescentando "&c.", como em "1, 6, 12, 18, 24, &c."

Em 1669, Isaac Newton escreveu De analysi per aequationes numero terminorum infinitas, sobre métodos de análise envolvendo expressões com infinitos termos. O manuscrito circulou entre matemáticos por intermédio de Isaac Barrow e John Collins.

Século XIX: Bolzano

Antes da teoria cantoriana, Bernard Bolzano realizou um estudo sistemático dos paradoxos do infinito. Sua obra Paradoxos do Infinito (Paradoxien des Unendlichen), publicada postumamente em 1851, defendia que muitos fenômenos aparentemente contraditórios envolvendo o infinito podiam ser tratados de forma logicamente coerente. Bolzano reconheceu que uma coleção infinita podia ser colocada em correspondência biunívoca com uma de suas partes próprias, embora não adotasse essa correspondência como critério geral de igualdade de tamanho. Seu trabalho antecedeu a teoria desenvolvida posteriormente por Cantor e outros matemáticos.

Análise real

Na análise real, o símbolo ${\displaystyle \infty }$ é empregado para indicar determinados comportamentos de limites, mas não representa um número real. Dizer que uma sequência tende a ${\displaystyle +\infty }$ significa que seus termos acabam por ultrapassar qualquer limite real fixado e permanecem acima dele; tender a ${\displaystyle -\infty }$ tem o significado correspondente na direção negativa. Isso não exige que a sequência seja monótona. Além disso, uma sequência apenas não limitada não precisa tender a nenhum dos dois infinitos.

O infinito aparece também na notação de integrais. Para uma função não negativa ${\displaystyle f}$, quando as integrais são interpretadas no sentido apropriado, por exemplo como integrais impróprias, tem-se:

• ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)\,dt=\infty }$ significa que a integral diverge para infinito, mesmo que os extremos ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ sejam finitos.
• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=\infty }$ significa que a área total sob o gráfico de ${\displaystyle f}$ é infinita.
• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=A}$, com ${\displaystyle A}$ real, significa que essa área total é finita e igual a ${\displaystyle A}$.

O símbolo também é empregado para descrever séries infinitas:

• ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }f(i)=A}$ significa que a sequência das somas parciais converge para o número real ${\displaystyle A}$.
• ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }f(i)=+\infty }$ significa que as somas parciais tendem a ${\displaystyle +\infty }$. Esse é um caso particular de divergência; nem toda série divergente tende a infinito.

Expressões como ${\displaystyle \infty -\infty }$, ${\displaystyle 0\cdot \infty }$ e ${\displaystyle \infty /\infty }$ são formas indeterminadas em problemas de limites: conhecer apenas os limites dos componentes da expressão não determina o limite da expressão completa.

Além desses usos, o infinito pode ser incorporado ao sistema dos números reais estendidos. Acrescentam-se os elementos ${\displaystyle +\infty }$ e ${\displaystyle -\infty }$ à reta real, com a ordenação

${\displaystyle -\infty <x<+\infty \qquad {\text{para todo }}x\in \mathbb {R} .}$

Com a topologia de ordem, essa construção fornece uma compactificação de dois pontos da reta real. Algumas operações aritméticas são estendidas a esses elementos, mas outras permanecem indefinidas; o sistema resultante não é um corpo como os números reais.

Outra construção acrescenta apenas um ponto no infinito, sem distinguir as duas direções da reta. Obtém-se assim sua compactificação por um ponto, que pode ser identificada com a reta real estendida projetivamente. A geometria projetiva também emprega uma reta no infinito no plano, um plano no infinito no espaço tridimensional e um hiperplano no infinito em dimensões superiores, constituídos por pontos no infinito.

Análise complexa

Na análise complexa, a expressão ${\displaystyle z\to \infty }$ significa que o módulo ${\displaystyle |z|}$ tende a infinito, independentemente da direção em que ${\displaystyle z}$ se afasta da origem. Um único ponto no infinito pode ser acrescentado ao plano complexo, produzindo sua compactificação por um ponto. O espaço resultante é uma variedade complexa de dimensão complexa um, ou superfície de Riemann, denominada plano complexo estendido ou esfera de Riemann.

Algumas operações podem ser estendidas à esfera de Riemann. Por convenção, escreve-se ${\displaystyle z/0=\infty }$ para ${\displaystyle z\neq 0}$ e ${\displaystyle z/\infty =0}$ para ${\displaystyle z}$ finito. Isso não define a divisão por zero na aritmética usual dos números complexos nem transforma a esfera de Riemann em um corpo. Expressões como ${\displaystyle 0/0}$, ${\displaystyle \infty /\infty }$, ${\displaystyle 0\cdot \infty }$ e ${\displaystyle \infty +\infty }$ permanecem indefinidas.

Nesse contexto, é útil considerar funções meromorfas como aplicações com valores na esfera de Riemann, que assumem o valor ${\displaystyle \infty }$ nos polos. O domínio de determinadas funções também pode ser estendido para incluir o ponto no infinito. Um exemplo importante é o grupo das transformações de Möbius.

Análise não padrão

As formulações iniciais do cálculo infinitesimal por Isaac Newton e Gottfried Leibniz empregavam quantidades infinitesimais ou procedimentos relacionados a elas. Na segunda metade do século XX, diferentes sistemas lógicos permitiram desenvolver tratamentos rigorosos dos infinitesimais, entre eles a análise infinitesimal suave e a análise não padrão, que não atribuem necessariamente as mesmas propriedades a essas quantidades.

Na década de 1960, Abraham Robinson desenvolveu a análise não padrão utilizando técnicas da teoria dos modelos, fornecendo uma formulação rigorosa de sistemas que contêm quantidades infinitesimais e infinitamente grandes.

No corpo dos números hiper-reais, todo infinitesimal não nulo é invertível, e seu inverso é um número infinito. A aritmética desses números não é a aritmética dos cardinais infinitos: para um hiper-real infinito positivo ${\displaystyle H}$, os números ${\displaystyle H}$, ${\displaystyle H+1}$ e ${\displaystyle 2H}$ são distintos. Não se deve estender esse contraste indiscriminadamente a todos os números transfinitos, pois ordinais e cardinais também possuem aritméticas diferentes. A abordagem hiper-real do cálculo não padrão é desenvolvida sistematicamente por Keisler.

Cardinalidade do contínuo

Um dos resultados mais importantes de Cantor foi demonstrar que a cardinalidade do contínuo ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ é maior que a dos números naturais ${\displaystyle \aleph _{0}}$; isto é, o conjunto dos números reais tem cardinalidade maior que o conjunto dos naturais. Mais precisamente,

${\displaystyle {\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}=\beth _{1}>\aleph _{0}.}$

A hipótese do contínuo afirma que não existe cardinal estritamente entre ${\displaystyle \aleph _{0}}$ e ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$, ou, equivalentemente, que ${\displaystyle {\mathfrak {c}}=\aleph _{1}}$. Os resultados de Kurt Gödel, em 1938, e Paul Cohen, em 1963, estabeleceram que, se a teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel com o axioma da escolha for consistente, a hipótese não pode ser demonstrada nem refutada nessa teoria.

A aritmética cardinal permite demonstrar que a reta real, qualquer intervalo real não degenerado e o espaço euclidiano ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, para todo inteiro finito ${\displaystyle n\geq 1}$, têm a mesma cardinalidade. Assim, um segmento de reta de comprimento positivo, um quadrado e um cubo têm tantos pontos quanto a reta real inteira, embora suas dimensões e propriedades geométricas sejam diferentes.

A função tangente, por exemplo, fornece uma bijeção entre o intervalo ${\displaystyle (-\pi /2,\pi /2)}$ e ${\displaystyle \mathbb {R} }$. A igualdade de cardinalidade entre a reta e espaços reais de dimensão finita maior foi demonstrada por Cantor em 1878.

Em 1890, Giuseppe Peano introduziu uma curva de preenchimento espacial, isto é, uma aplicação contínua de um intervalo sobre um quadrado. Tais curvas ajudam a ilustrar as relações contraintuitivas entre dimensão e cardinalidade, mas não constituem bijeções: diferentes valores do parâmetro podem corresponder ao mesmo ponto do quadrado. A igualdade de cardinalidade entre intervalo e quadrado é, portanto, um resultado distinto da existência de uma curva contínua de preenchimento espacial.

Dimensão infinita

Os espaços vetoriais empregados na geometria euclidiana elementar têm dimensão finita, em geral dois ou três. Entretanto, a definição abstrata de espaço vetorial também admite dimensão infinita. Isso ocorre frequentemente na análise funcional, na qual muitos espaços de funções não possuem uma base finita.

Espaços de aplicações também fornecem exemplos geométricos de dimensão infinita. O espaço de laços suaves de uma variedade de dimensão positiva, cujos elementos são aplicações suaves do círculo nessa variedade, é um exemplo estudado na análise e na geometria de dimensão infinita.

Fractais

Muitos objetos fractais clássicos apresentam estrutura em escalas arbitrariamente pequenas. Nos exemplos autossimilares, partes do objeto reproduzem sua forma em escalas reduzidas. Essas propriedades dizem respeito ao objeto matemático ideal; desenhos e modelos físicos representam apenas aproximações finitas.

Uma curva fractal pode ter comprimento infinito e delimitar uma área finita. É o caso do floco de neve de Koch: a cada etapa de sua construção, o perímetro aumenta por um fator de ${\displaystyle 4/3}$, enquanto os acréscimos de área formam uma série convergente. Não se deve, porém, atribuir perímetro infinito ou autossimilaridade exata a todos os objetos classificados como fractais.

Física

Na física, números reais são empregados na modelagem de grandezas contínuas, enquanto números naturais são usados em contagens. O emprego de estruturas matemáticas infinitas em um modelo não implica que uma realização física infinita tenha sido observada.

Uma onda plana é um exemplo de idealização: seu campo tem o mesmo comportamento em todos os pontos de um plano perpendicular à direção de propagação. O modelo estende esses planos indefinidamente, enquanto uma onda produzida em laboratório só pode aproximar esse comportamento em uma região limitada. Distinções entre soluções ideais de extensão infinita e suas aproximações experimentais também aparecem na produção de feixes por axicons.

Outro uso importante do infinito como idealização aparece na mecânica estatística. O limite termodinâmico considera o número de partículas ${\displaystyle N}$ e o volume ${\displaystyle V}$ crescendo sem limite enquanto a densidade ${\displaystyle N/V}$ permanece fixa. Sob condições adequadas, esse procedimento permite estudar propriedades macroscópicas com influência desprezível das fronteiras e desempenha papel central na formulação teórica de transições de fase em equilíbrio.

Cosmologia

No contexto da astronomia copernicana, Thomas Digges apresentou, em 1576, uma descrição na qual a região das estrelas se estendia indefinidamente além das órbitas planetárias. Em 1584, o filósofo italiano Giordano Bruno defendeu um universo ilimitado em Do infinito, universo e mundos, com inúmeros sóis e mundos, incluindo a possibilidade de outros mundos habitados.

Os cosmólogos procuram determinar se o universo físico possui volume espacial infinito e qual é sua estrutura global. A questão de ser infinito é distinta da questão de possuir bordas. A superfície de uma esfera, por exemplo, tem área finita, mas não possui borda. Esse exemplo bidimensional ajuda a mostrar por que a ausência de uma fronteira não implica extensão infinita.

Em certas topologias espaciais, algumas trajetórias poderiam retornar ao ponto inicial. Isso não significa que toda trajetória em qualquer espaço finito seja fechada, nem garante a possibilidade física de percorrê-la em um universo em expansão.

A curvatura espacial pode ser inferida, entre outros métodos, a partir das anisotropias da radiação cósmica de fundo. Análises dos padrões registrados pela sonda WMAP já eram compatíveis com uma geometria espacial aproximadamente plana.

Os resultados de 2018 da missão Planck, publicados em 2020, combinados com medições de oscilações acústicas de bárions, restringiram o parâmetro de curvatura a ${\displaystyle \Omega _{K}=0{,}001\pm 0{,}002}$, compatível com curvatura nula no modelo analisado. Em 2025, a análise das oscilações acústicas de bárions da segunda divulgação de dados do DESI também não encontrou preferência estatisticamente significativa por um modelo Lambda-CDM não plano quando a curvatura foi deixada livre nos ajustes. Esses resultados dependem dos modelos e das combinações de dados utilizados e não estabelecem a topologia global do universo.

Uma geometria localmente plana não implica que o espaço seja infinito. Um exemplo bidimensional é a identificação de lados opostos de uma região retangular, como em jogos nos quais objetos que saem por uma borda reaparecem na borda oposta. Essa identificação pode produzir um toro plano. A superfície usual de uma rosquinha no espaço tridimensional representa sua topologia, mas não sua métrica plana. Também existem espaços tridimensionais planos e compactos.

O conceito de infinito aparece ainda em hipóteses de multiverso. Algumas formulações discutidas por físicos, como Michio Kaku, admitem uma multiplicidade infinita de universos. Alguns modelos cíclicos descrevem uma sucessão indefinida de fases cosmológicas, mas nem a existência de infinitos universos nem uma quantidade infinita de ciclos constitui uma consequência comum a todos esses modelos.

Computação

O padrão de ponto flutuante IEEE 754 especifica valores especiais de infinito positivo e negativo, além dos valores NaN ("não é um número"). Infinito e NaN são classes distintas. Infinitos podem resultar, por exemplo, de certos estouros aritméticos ou de divisões de valores finitos não nulos por zero. Operações inválidas como ${\displaystyle \infty -\infty }$ ou ${\displaystyle 0\times \infty }$ produzem NaN no comportamento padrão.

Algumas linguagens de programação, como Java e J, oferecem acesso explícito aos valores de infinito positivo e negativo. No Java, por exemplo, Double.POSITIVE_INFINITY e Double.NEGATIVE_INFINITY representam esses valores. O infinito positivo é maior que qualquer valor finito do mesmo tipo, e o negativo é menor; NaN, porém, não participa dessa ordenação da maneira usual.

Valores infinitos podem ser usados como valores sentinela em algoritmos. Na implementação do algoritmo de Dijkstra de Robert Sedgewick e Kevin Wayne, por exemplo, as distâncias aos vértices são inicialmente definidas como Double.POSITIVE_INFINITY, exceto a distância à origem, definida como zero. À medida que caminhos são encontrados, essas estimativas são substituídas por valores finitos.

Mesmo quando uma linguagem não oferece um literal específico para o infinito, um tipo de dado de ponto flutuante pode torná-lo acessível por constantes de biblioteca ou pelo resultado de determinadas operações. No Java, a divisão de um valor de ponto flutuante finito e não nulo por zero produz um infinito cujo sinal depende dos operandos. Isso não se aplica à divisão inteira por zero, que provoca uma exceção.

Na programação, um laço infinito é um laço que, nas condições consideradas, não alcança uma saída normal e continua repetindo suas instruções. A expressão descreve o comportamento do programa, não uma execução física literalmente interminável: o processo ainda pode ser interrompido externamente.