Matriz inversa

Aplicação da definição de inversa

Este método de procura da inversa consiste em partir de uma matriz quadrada genérica, com incógnitas em vez de valores e aplicar a seguinte propriedade:

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}\cdot \mathbf {A} =I}$

Exemplo

Se queremos descobrir a inversa da matriz ${\displaystyle \mathbf {A} }$ de dimensões 2 x 2 representada abaixo recorremos a uma matriz genérica que nos permitirá multiplicar as matrizes:

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}2&1\\4&3\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}$

Associamos símbolos arbitrariamente à inversa da nossa matriz original – nosso objectivo é determinar os valores de a, b, c e d. Para isso aplicaremos a definição de inversa:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&1\\4&3\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}$

Resolvendo essa multiplicação de matrizes somos conduzidos a um sistema de equações:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}2a+c=1\\2b+d=0\\4a+3c=0\\4b+3d=1\end{matrix}}\right.}$

Logo:

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\begin{bmatrix}{\frac {3}{2}}&{\frac {-1}{2}}\\-2&1\end{bmatrix}}}$

No caso de a matriz que queremos inverter não ser na realidade invertível, chegaríamos a um sistema impossível.

Solução analítica

Escrever a transposta da matriz dos cofatores, conhecida como matriz adjunta, também pode ser uma forma eficiente de se calcular a inversa de matrizes pequenas, mas esse método recursivo é ineficiente para matrizes grandes. Para obter a inversa, calcula-se a matriz dos cofatores:

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={1 \over {\begin{vmatrix}\mathbf {A} \end{vmatrix}}}\left(\mathbf {C} ^{\mathrm {T} }\right)_{ij}={1 \over {\begin{vmatrix}\mathbf {A} \end{vmatrix}}}\left(\mathbf {C} _{ji}\right)={1 \over {\begin{vmatrix}\mathbf {A} \end{vmatrix}}}{\begin{pmatrix}\mathbf {C} _{11}&\mathbf {C} _{21}&\cdots &\mathbf {C} _{n1}\\\mathbf {C} _{12}&\mathbf {C} _{22}&\cdots &\mathbf {C} _{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {C} _{1n}&\mathbf {C} _{2n}&\cdots &\mathbf {C} _{nn}\\\end{pmatrix}}}$

em que |A| é o determinante de A, C_ij é a matriz dos cofatores, e C^T representa a matriz transposta da matriz dos cofatores (matriz adjunta).

Para a maioria das aplicações práticas, não é necessário inverter uma matriz para resolver um sistema de equações lineares; no entanto, para que haja uma solução única, é preciso que a matriz envolvida seja invertível.

Técnicas de decomposição tais como a decomposição LU são muito mais rápidas do que a inversão, e foram desenvolvidos diversos algoritmos para tipos especiais de sistemas lineares.

Aplicação da eliminação de Gauss-Jordan

Uma outra forma de determinar a inversa duma matriz é utilizando a eliminação de Gauss-Jordan .

Escrevem-se lado a lado a matriz que queremos inverter e a matriz identidade. De seguida, aplicam-se sucessivas operações elementares sobre as linhas da matriz a inverter, de modo a transformá-la na matriz identidade, aplicando as mesmas operações à matriz identidade. No final do processo, a matriz identidade tornou-se a matriz inversa procurada. Simbolicamente:

${\displaystyle [A|I]\longrightarrow [I|A^{-1}].}$

Exemplo: Partimos da mesma matriz do exemplo anterior:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&1\\4&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\overrightarrow {L_{2}\leftarrow (L_{2}-2L_{1})}}{\begin{bmatrix}2&1\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\-2&1\end{bmatrix}}{\overrightarrow {L_{1}\leftarrow (L_{1}-L_{2})}}{\begin{bmatrix}2&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}3&-1\\-2&1\end{bmatrix}}{\overrightarrow {L_{1}\leftarrow (L_{1}/2)}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {3}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-2&1\end{bmatrix}}}$

A última matriz é a inversa procurada:

${\displaystyle A^{-1}={\begin{bmatrix}{\frac {3}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-2&1\end{bmatrix}}}$

Determinação da matriz inversa pela matriz adjunta

Existe uma maneira de calcular a matriz inversa utilizando-se da matriz adjunta (que é a transposta da matriz de cofatores). Este método não é muito eficiente, porém pode vir a ser útil quando se conhece os determinantes das submatrizes.

Para calcular um cofator, utilizaremos da seguinte fórmula:

${\displaystyle C_{i,j}=(-1)^{i+j}.det(A_{-i,-j})}$

Onde i é a linha, j a coluna, e ${\displaystyle det(A_{-i,-j})}$ é o determinante da submatriz que exclui a linha i e a coluna j.

Após criarmos uma matriz de cofatores, calculamos sua adjunta, que nada mais é que a transposta da matriz de cofatores. Em linguagem matemática, temos:

${\displaystyle Adj(A)=(cof(A))^{t},}$

e então aplicamos a seguinte fórmula:

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}\cdot {\mbox{adj}}(\mathbf {A} ).}$

então teremos a matriz inversa de A. Exemplo:

Seja :${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&1\\4&3\end{bmatrix}}}$

Seus cofatores serão:

${\displaystyle C_{1,1}=(-1)^{1+1}.det(A_{-1,-1})=1.3=3}$

${\displaystyle C_{1,2}=(-1)^{1+2}.det(A_{-1,-2})=(-1).4=-4}$

${\displaystyle C_{2,1}=(-1)^{2+1}.det(A_{-2,-1})=(-1).1=-1}$

${\displaystyle C_{2,2}=(-1)^{2+2}.det(A_{-2,-2})=1.2=2}$

Então teremos a matriz de cofatores

${\displaystyle cof(A)={\begin{bmatrix}3&-4\\-1&2\end{bmatrix}},}$ e sua adjunta será a transposta dessa matriz, portanto:

${\displaystyle adj(A)=(cof(A))^{t}={\begin{bmatrix}3&-1\\-4&2\end{bmatrix}},}$ e como ${\displaystyle det(A)=2,}$ temos:

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{2}}.{\begin{bmatrix}3&-1\\-4&2\end{bmatrix}}.}$ .