Matrizes semelhantes

Relação de equivalência

O conceito de matriz semelhante define uma relação de equivalência, i.e.:

1. (Reflexividade) Toda matriz ${\displaystyle A}$ é semelhante a si mesma;
2. (Simetria)${\displaystyle A}$ é semelhante a ${\displaystyle B}$ implica ${\displaystyle B}$ semelhante a ${\displaystyle A}$;
3. (Transitividade) ${\displaystyle A}$ é semelhante a ${\displaystyle B}$ e ${\displaystyle B}$ é semelhante a ${\displaystyle C}$ implica ${\displaystyle A}$ semelhante a ${\displaystyle C}$;

Demonstração

1. Como ${\displaystyle A=I^{-1}AI}$, temos que ${\displaystyle A}$ é semelhante a ${\displaystyle A}$.

2. Se ${\displaystyle A=M^{-1}BM}$, então ${\displaystyle B=N^{-1}AN}$ com ${\displaystyle N=M^{-1}}$. Ou seja, ${\displaystyle A}$ é semelhante a ${\displaystyle B}$ implica ${\displaystyle B}$ semelhante a ${\displaystyle A}$.

3. Se ${\displaystyle A=M^{-1}BM}$ e ${\displaystyle B=N^{-1}CN}$, então ${\displaystyle A=P^{-1}CP}$ com ${\displaystyle P=NM}$. Isto é, ${\displaystyle A}$ é semelhante a ${\displaystyle B}$ e ${\displaystyle B}$ é semelhante a ${\displaystyle C}$ implica ${\displaystyle A}$ semelhante a ${\displaystyle C}$.

Demonstração

Propriedade 1.

Mostraremos que se ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ são matrizes semelhantes, então ${\displaystyle \det(A)=\det(B)}$. Com efeito, temos que existe uma matriz invertível ${\displaystyle M}$ tal que ${\displaystyle A=M^{-1}BM}$. Pelas propriedades do determinante segue que:

${\displaystyle {\begin{aligned}\det(A)&=\det(M^{-1}BM)\\&=\det(M^{-1})\det(B)det(M)\\&={\frac {1}{\det(M)}}\det(B)\det(M)\\&=\det(B)\end{aligned}}}$

Propriedade 2.

Mostraremos que se ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ são matrizes semelhantes, então ${\displaystyle A}$ é invertível se, e somente se, ${\displaystyle B}$ também for. Com efeito, temos que existe uma matriz invertível ${\displaystyle M}$ tal que ${\displaystyle A=M^{-1}BM}$, ou equivalentemente, ${\displaystyle B=MAM^{-1}}$. Suponhamos que ${\displaystyle A}$ seja invertível. Então, afirmamos que ${\displaystyle (MAM^{-1})^{-1}=MA^{-1}M^{-1}}$ é matriz inversa de ${\displaystyle B}$. De fato:

${\displaystyle B(MA^{-1}M^{-1})=MA(M^{-1}M)A^{-1}M^{-1}=M(AA^{-1})M^{-1}=MM^{-1}=I}$

e

${\displaystyle (MA^{-1}M^{-1})B=MA^{-1}(M^{-1}M)AM^{-1}=M(A^{-1}A)M^{-1}=MM^{-1}=I}$.

Isto mostra que se ${\displaystyle A}$ é invertível, então ${\displaystyle B}$ é invertível. A recíproca segue raciocínio análogo.

Propriedade 3.

Mostraremos que se ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ são matrizes semelhantes, então ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ possuem o mesmo polinômio característico. Com efeito, existe uma matriz invertível ${\displaystyle M}$ tal que ${\displaystyle A=M^{-1}BM}$. Por definição, o polinômio característico de ${\displaystyle B}$ é dado por ${\displaystyle p_{B}(\lambda )=\det(B-\lambda I)}$. Daí, segue que:

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{B}(\lambda )&=\det(M^{-1})\det(B-\lambda I)\det(M)\\&=\det[M^{-1}(B-\lambda I)M]\\&=\det(M^{-1}BM-\lambda M^{-1}M)\\&=\det(A-\lambda I)\\&=p_{A}(\lambda )\end{aligned}}}$

Isso conclui a demonstração.

Propriedade 4.

Segue imediatamente da propriedade 3.

Propriedade 5.

Segue da propriedade 3, pois o traço de uma matriz ${\displaystyle n\times n}$ é o coeficiente do termo de grau ${\displaystyle n-1}$ do seu polinômio característico.

Propriedade 6.

Mostraremos que se ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ são matrizes semelhantes, então ${\displaystyle A^{k}}$ e ${\displaystyle B^{k}}$ também são para todo número ${\displaystyle k}$ natural. Com efeito, existe uma matriz invertível ${\displaystyle M}$ tal que ${\displaystyle A=M^{-1}BM}$. Por indução em ${\displaystyle k}$ vemos que ${\displaystyle (M^{-1}BM)^{k}=M^{-1}B^{k}M}$. Ou seja, ${\displaystyle A^{k}=M^{-1}B^{k}M}$, como queríamos demonstrar.

Propriedade 7.

Seja ${\displaystyle T:V\to V}$ um operador linear sobre o espaço vetorial ${\displaystyle V}$ de dimensão finita com bases ${\displaystyle B_{1}}$ e ${\displaystyle B_{2}}$. Sejam, então, ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ as matrizes de ${\displaystyle T}$ nas respectivas bases ${\displaystyle B_{1}}$ e ${\displaystyle B_{2}}$, i.e.:

${\displaystyle [T(\mathbf {x} )]_{B_{1}}=A[\mathbf {x} ]_{B_{1}},\quad \forall \mathbf {x} \in V}$

e

${\displaystyle [T(\mathbf {x} )]_{B_{2}}=B[\mathbf {x} ]_{B_{2}},\quad \forall \mathbf {x} \in V}$

onde, ${\displaystyle [\mathbf {x} ]_{B_{1}}}$ denota a representação do vetor ${\displaystyle \mathbf {x} }$ na base ${\displaystyle B_{1}}$ com notação análoga para ${\displaystyle [\mathbf {x} ]_{B_{2}}}$. Seja, agora, ${\displaystyle P}$ a matriz de mudança da base ${\displaystyle B_{1}}$ para a base ${\displaystyle B_{2}}$, i.e.:

${\displaystyle [\mathbf {x} ]_{B_{2}}=P[\mathbf {x} ]_{B_{1}},\quad \forall \mathbf {x} \in V}$.

Logo, temos:

${\displaystyle [T(\mathbf {x} )]_{B_{2}}=BP[\mathbf {x} ]_{B_{1}}\Rightarrow P^{-1}[T(\mathbf {x} )]_{B_{2}}=P^{-1}BP[\mathbf {x} ]_{B_{1}}\Rightarrow [T(\mathbf {x} )]_{B_{1}}=P^{-1}BP[\mathbf {x} ]_{B_{1}}\Rightarrow A[\mathbf {x} ]_{B_{1}}=P^{-1}BP[\mathbf {x} ]_{B_{1}}}$.

Como a última igualdade é válida para todo ${\displaystyle \mathbf {x} \in V}$, concluímos que ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ são matrizes semelhantes.