Operador autoadjunto

Um operador autoadjunto, hermitiano ^{(português brasileiro)} ou hermítico ^{(português europeu)} é um operador linear em um espaço vetorial com produto interno que é o adjunto de si mesmo. No caso de espaços de dimensão finita, a matriz que representa esse operador é igual à sua transposta conjugada.

• Propriedades

• Um operador ${\displaystyle T\,}$ é autoadjunto se e somente se

${\displaystyle \langle Tx,y\rangle =\langle x,Ty\rangle ,~~\forall x,y\,}$

• Todo autovalor ${\displaystyle \lambda \,}$ de um operador autoadjunto ${\displaystyle T\,}$ é real:

${\displaystyle \lambda \langle v,v\rangle =\langle Tv,v\rangle =\langle v,Tv\rangle ={\overline {\lambda }}\langle v,v\rangle \,}$

• Se ${\displaystyle \lambda _{1}\,}$ e ${\displaystyle \lambda _{2}\,}$ são autovalores diferentes associados a autovetores ${\displaystyle v_{1}\,}$ e ${\displaystyle v_{2}\,}$. Então ${\displaystyle \langle v_{1},v_{2}\rangle =0\,}$:

${\displaystyle \lambda _{1}\langle v_{1},v_{2}\rangle =\langle Tv_{1},v_{2}\rangle =\langle v_{1},Tv_{2}\rangle =\lambda _{2}\langle v_{1},v_{2}\rangle \,}$

${\displaystyle \Longrightarrow (\lambda _{1}-\lambda _{2})\langle v_{1},v_{2}\rangle =0}$

Como ${\displaystyle \lambda _{1}}$e ${\displaystyle \lambda _{2}}$ são distintos, temos ${\displaystyle \lambda _{1}-\lambda _{2}\neq 0}$, portanto ${\displaystyle \langle v_{1},v_{2}\rangle =0}$.

Aplicação do hermitiano na mecânica quântica

Dizer que duas funções diferentes ${\displaystyle \Psi _{i}}$ e ${\displaystyle \Psi _{j}}$ são ortogonais significa que a integral (varrendo todo o espaço) do produto dessas funções é igual a zero:

${\displaystyle \int \Psi _{i}^{*}\Psi _{j}dt=0}$ para ${\displaystyle i\neq j}$

Prova da ortogonalidade de funções de onda

Sejas duas autofunções ${\displaystyle \Psi _{n}}$ e ${\displaystyle \Psi _{m}}$ correspondentes a dois valores diferentes de energia ${\displaystyle E_{n}}$ e ${\displaystyle E_{m}}$ respectivamente. Podemos então escrever:

${\displaystyle {\widehat {H}}\Psi _{n}=E_{n}\Psi _{n}}$ e ${\displaystyle {\widehat {H}}\Psi _{m}=E_{m}\Psi _{m}}$

${\displaystyle \int \Psi _{m}^{*}{\widehat {H}}\Psi _{n}dt=E_{n}\int \Psi _{m}^{*}\Psi _{n}dt}$ e ${\displaystyle \int \Psi _{n}^{*}{\widehat {H}}\Psi _{m}dt=E_{m}\int \Psi _{n}^{*}\Psi _{m}dt}$

${\displaystyle \int \Psi _{m}^{*}{\widehat {H}}\Psi _{n}dt-{\biggl (}\int \Psi _{n}^{*}{\widehat {H}}\Psi _{m}dt{\biggl )}^{*}=E_{n}\int \Psi _{m}^{*}\Psi _{n}dt-E_{m}\int \Psi _{n}\Psi _{m}^{*}dt}$

Como o hamiltoniano é hermitiano, temos:

${\displaystyle 0=(E_{n}-E_{m})\int \Psi _{m}^{*}\Psi _{n}dt}$

Como as energias são distintas, a integral será nula, confirmando a ortogonalidade.

Operador Linear

No caso de operadores lineares, temos sua representação matricial. Uma matriz é dita matriz hermitiana ou autoadjunta se for idêntica à sua matriz transposta conjugada. O resultado a seguir relaciona os autovalores de uma matriz Hermitiana e de uma submatriz principal em forma de entrelaçamento de autovalores.

Teorema

Considere ${\displaystyle A}$ uma matriz Hermitiana de ordem ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle r}$ um inteiro com ${\displaystyle 1\leq r\leq n}$ e ${\displaystyle A_{r}}$ uma submatriz principal de ordem ${\displaystyle r}$ de ${\displaystyle A}$ (obtida removendo ${\displaystyle n-r}$ linhas e suas colunas correspondentes de ${\displaystyle A}$). Para cada inteiro ${\displaystyle k}$ tal que ${\displaystyle 1\leq k\leq r}$, obtemos ${\displaystyle \lambda _{k}(A)\leq \lambda _{k}(A_{r})\leq \lambda _{k+n-r}(A).}$

Esse resultado é também conhecido como princípio da inclusão.

Referências

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