Operador de momento

Na mecânica quântica, o operador momento é o operador associado ao momento linear. O operador momento é, na representação de posição, um exemplo de operador diferencial. Para o caso de uma partícula em uma dimensão espacial, a definição é:p̂=−iℏ∂∂xonde ħ é a constante de Planck reduzida, i a unidade imaginária, x é a coordenada espacial, e uma derivada parcial (denotada por ∂/∂x) é usada em vez de uma derivada total (d/dx) uma vez que a função de onda também é uma função do tempo. O "chapéu" indica um operador. A "aplicação" do operador sobre uma função de onda diferenciável é como segue: p̂ψ=−iℏ∂ψ∂x

Em uma base do espaço de Hilbert consistindo de autoestados de momento expressos na representação de momento, a ação do operador é simplesmente a multiplicação por p, isto é, é um operador de multiplicação, assim como o operador posição é um operador de multiplicação na representação de posição. Observe que a definição acima é o momento canônico, que não é invariante de gauge e não é uma grandeza física mensurável para partículas carregadas em um campo eletromagnético. Nesse caso, o momento canônico não é igual ao momento cinético.

Na época em que a mecânica quântica foi desenvolvida na década de 1920, o operador momento foi encontrado por muitos físicos teóricos, incluindo Niels Bohr, Arnold Sommerfeld, Erwin Schrödinger e Eugene Wigner. Sua existência e forma são às vezes tomadas como um dos postulados fundamentais da mecânica quântica.

Origem a partir das ondas planas de de Broglie

Os operadores de momento e energia podem ser construídos da seguinte maneira.

Uma dimensão

Começando em uma dimensão, usando a solução de onda plana para a equação de Schrödinger de uma única partícula livre,ψ(x,t)=eiℏ(px−Et),onde p é interpretado como momento na direção x e E é a energia da partícula. A derivada parcial de primeira ordem em relação ao espaço é∂ψ(x,t)∂x=ipℏeiℏ(px−Et)=ipℏψ.

Isso sugere a equivalência de operadoresp̂=−iℏ∂∂xde modo que o momento da partícula e o valor que é medido quando uma partícula está em um estado de onda plana é o autovalor (generalizado) do operador acima.

Como a derivada parcial é um operador linear, o operador momento também é linear e, como qualquer função de onda pode ser expressa como uma superposição de outros estados, quando esse operador momento age sobre toda a onda superposta, ele produz os autovalores de momento para cada componente de onda plana. Esses novos componentes então se superpõem para formar o novo estado, em geral não um múltiplo da antiga função de onda.

Três dimensões

A derivação em três dimensões é a mesma, exceto que o operador gradiente del é usado em vez de uma derivada parcial. Em três dimensões, a solução de onda plana para a equação de Schrödinger é:ψ=eiℏ(𝐩⋅𝐫−Et)e o gradiente é∇ψ=𝐞x∂ψ∂x+𝐞y∂ψ∂y+𝐞z∂ψ∂z=iℏ(px𝐞x+py𝐞y+pz𝐞z)ψ=iℏ𝐩ψonde ex, ey e ez são os vetores unitários para as três dimensões espaciais, portanto𝐩̂=−iℏ∇

Este operador momento está no espaço de posição porque as derivadas parciais foram tomadas em relação às variáveis espaciais.

Definição (espaço de posição)

Para uma única partícula sem carga elétrica e sem spin, o operador momento pode ser escrito na base de posição como:𝐩̂=−iℏ∇onde ∇ é o operador gradiente, ħ é a constante de Planck reduzida e i é a unidade imaginária.

Em uma dimensão espacial, isso se tornap̂=p̂x=−iℏ∂∂x.

Esta é a expressão para o momento canônico. Para uma partícula carregada q em um campo eletromagnético, durante uma transformação de gauge, a função de onda no espaço de posição sofre uma transformação de grupo U(1) local, e p̂ψ=−iℏ∂ψ∂x mudará seu valor. Portanto, o momento canônico não é invariante de gauge e, portanto, não é uma grandeza física mensurável.

O momento cinético, uma grandeza física invariante de gauge, pode ser expresso em termos do momento canônico, do potencial escalar φ e do potencial vetorial A:𝐏̂=−iℏ∇−q𝐀

A expressão acima é chamada de acoplamento mínimo. Para partículas eletricamente neutras, o momento canônico é igual ao momento cinético.

Propriedades

Hermiticidade

O operador momento pode ser descrito como um operador simétrico (isto é, Hermitiano), ilimitado, agindo sobre um subespaço denso do espaço de estados quânticos. Se o operador age sobre um estado quântico (normalizável), então o operador é autoadjunto. Em física, o termo Hermitiano frequentemente se refere tanto a operadores simétricos quanto autoadjuntos.

(Em certas situações artificiais, como os estados quânticos no intervalo semi-infinito 0, ∞, não há maneira de tornar o operador momento Hermitiano. Isso está intimamente relacionado ao fato de que um intervalo semi-infinito não pode ter simetria translacional — mais especificamente, ele não tem operadores unitários de translação. Ver abaixo.)

Relação de comutação canônica

Aplicando o comutador a um estado arbitrário na base de posição ou de momento, pode-se facilmente mostrar que:[x̂,p̂]=x̂p̂−p̂x̂=iℏ𝕀,onde 𝕀 é o operador unitário. O princípio da incerteza de Heisenberg define limites sobre quão precisamente o momento e a posição de um único sistema observável podem ser conhecidos ao mesmo tempo. Na mecânica quântica, posição e momento são variáveis conjugadas.

Transformada de Fourier

A discussão a seguir usa a notação bra-ket. Pode-se escreverψ(x)=⟨x|ψ⟩=∫dp ⟨x|p⟩⟨p|ψ⟩=∫dp eixp/ℏψ~(p)2πℏ, de modo que o til representa a transformada de Fourier, ao converter do espaço de coordenadas para o espaço de momento. Vale então quep̂=∫dp |p⟩p⟨p|=−iℏ∫dx |x⟩ddx⟨x| ,isto é, o momento agindo no espaço de coordenadas corresponde à frequência espacial,⟨x|p̂|ψ⟩=−iℏddxψ(x).

Um resultado análogo se aplica ao operador posição na base de momento,⟨p|x̂|ψ⟩=iℏddpψ(p),levando a outras relações úteis,⟨p|x̂|p′⟩=iℏddpδ(p−p′),⟨x|p̂|x′⟩=−iℏddxδ(x−x′),onde δ representa a função delta de Dirac.

Derivação a partir de translações infinitesimais

O operador de translação é denotado T(ε), onde ε representa o comprimento da translação. Ele satisfaz a seguinte identidade:T(ε)|ψ⟩=∫dxT(ε)|x⟩⟨x|ψ⟩que se torna∫dx|x+ε⟩⟨x|ψ⟩=∫dx|x⟩⟨x−ε|ψ⟩=∫dx|x⟩ψ(x−ε)

Assumindo que a função ψ seja analítica (isto é, diferenciável em algum domínio do plano complexo), pode-se expandir em uma série de Taylor em torno de x:ψ(x−ε)=ψ(x)−εdψdxde modo que para valores infinitesimais de ε:T(ε)=1−εddx=1−iℏε(−iℏddx)

Como é sabido da mecânica clássica, o momento é o gerador da translação, então a relação entre os operadores de translação e de momento é:[mais explicações necessárias]T(ε)=1−iℏεp̂portantop̂=−iℏddx.

Operador 4-momento

Inserindo o operador momento 3d acima e o operador energia no 4-momento (como uma 1-forma com assinatura métrica (+ − − −)):Pμ=(Ec,−𝐩)obtém-se o operador 4-momento:P̂μ=(1cÊ,−𝐩̂)=iℏ(1c∂∂t,∇)=iℏ∂μonde ∂μ é o 4-gradiente, e o −iħ  se torna +iħ  precedendo o operador 3-momento. Este operador ocorre na teoria quântica de campos relativística, como a equação de Dirac e outras equações de onda relativísticas, uma vez que energia e momento se combinam no vetor 4-momento acima, os operadores de momento e energia correspondem a derivadas espaciais e temporais, e elas precisam ser derivadas parciais de primeira ordem para a covariância de Lorentz.

O operador de Dirac e a barra de Dirac do 4-momento é dado pela contração com as matrizes gama:γμP̂μ=iℏγμ∂μ=P̂=iℏ∂/

Se a assinatura fosse (− + + +), o operador seria P̂μ=(−1cÊ,𝐩̂)=−iℏ(1c∂∂t,∇)=−iℏ∂μem vez disso.

Ver também

Referências

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  4. ↑ Na representação de coordenadas de posição, isto é, −iℏ∫dx|x⟩∂x⟨x|.
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  7. ↑ Ver Lecture notes 1 by Robert Littlejohn Arquivado em 2012-06-17 no Wayback Machine para uma discussão matemática específica e prova para o caso de uma única partícula sem carga e de spin zero. Ver Lecture notes 4 by Robert Littlejohn para o caso geral.
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