Comutatividade

	Ilustração da comutatividade em operações binárias
Tipo	Propriedade
Campo	Álgebra
Enunciado	Uma operação binária é comutativa se a mudança da ordem dos operandos não altera o resultado.
Enunciado simbólico
	v; d; e;

Na matemática, uma operação binária é comutativa se a mudança da ordem dos operandos não altera o resultado. É uma propriedade fundamental de muitas operações binárias, e muitas demonstrações matemáticas dependem dela. Talvez mais familiar como uma propriedade da aritmética, ex. 3 + 4 = 4 + 3 ou 2 × 5 = 5 × 2, a propriedade também pode ser usada em cenários mais avançados. O nome é necessário porque existem operações, como a divisão e a subtração, que não a possuem (por exemplo, 3 − 5 ≠ 5 − 3); tais operações não são comutativas e, portanto, são referidas como operações não comutativas.

A ideia de que operações simples, como a multiplicação e a adição de números, são comutativas foi implicitamente assumida por muitos séculos. Assim, essa propriedade não foi nomeada até o século XIX, quando novas estruturas algébricas começaram a ser estudadas.

Definição

Uma operação binária $*$ num conjunto S é comutativa se $x*y=y*x$ para todos $x,y\in S$ . Uma operação que não é comutativa é dita não comutativa.

Diz-se que x comuta com y ou que x e y comutam sob $*$ se $x*y=y*x.$

Assim, uma operação é comutativa se todos os pares de elementos comutam. Uma operação é não comutativa se existirem dois elementos tais que $x*y\neq y*x.$ Isso não exclui a possibilidade de que alguns pares de elementos comutem.

Exemplos

Operações comutativas

A adição e a multiplicação são comutativas na maioria dos sistemas numéricos, e, em particular, entre números naturais, inteiros, racionais, reais e complexos. Isso também é verdadeiro em todo corpo.
A adição é comutativa em todo espaço vetorial e em toda álgebra sobre um corpo.
A união e a interseção são operações comutativas em conjuntos.
O "E lógico" e o "Ou lógico" são operações lógicas comutativas.

Operações não comutativas

A divisão é não comutativa, pois $1\div 2\neq 2\div 1$ . A subtração é não comutativa, pois $0-1\neq 1-0$ . No entanto, ela é classificada mais precisamente como anticomutativa, uma vez que $x-y=-(y-x)$ para todo $x$ e $y$ . A exponenciação é não comutativa, pois $2^{3}\neq 3^{2}$ .
Algumas funções de verdade são não comutativas, pois suas tabelas de verdade são diferentes quando se altera a ordem dos operandos. Por exemplo, as tabelas de verdade para (A ⇒ B) = (¬A ∨ B) e (B ⇒ A) = (A ∨ ¬B) são:

A	B	A ⇒ B	B ⇒ A
F	F	V	V
F	V	V	F
V	F	F	V
V	V	V	V

A composição de funções é geralmente não comutativa. Por exemplo, se $f(x)=2x+1$ e $g(x)=3x+7$ . Então $(f\circ g)(x)=f(g(x))=2(3x+7)+1=6x+15$ e $(g\circ f)(x)=g(f(x))=3(2x+1)+7=6x+10.$
A multiplicação de matrizes de matrizes quadradas de uma dada dimensão é uma operação não comutativa, exceto para matrizes $1\times 1$ . Por exemplo: ${\begin{bmatrix}0&2\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}\neq {\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}$
O produto vetorial (ou produto vetorial) de dois vetores em três dimensões é anticomutativo; ou seja, $\mathbf {b} \times \mathbf {a} =-(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )$ .

Estruturas comutativas

Alguns tipos de estruturas algébricas envolvem uma operação que não requer comutatividade. Se essa operação for comutativa para uma estrutura específica, diz-se frequentemente que a estrutura é comutativa. Então:

um semigrupo comutativo é um semigrupo cuja operação é comutativa;
um monoide comutativo é um monoide cuja operação é comutativa;
um grupo comutativo ou grupo abeliano é um grupo cuja operação é comutativa;
um anel comutativo é um anel cuja multiplicação é comutativa. (A adição num anel é sempre comutativa.)

No entanto, no caso de álgebras, a expressão "álgebra comutativa" (referindo-se à estrutura) aplica-se apenas a álgebras associativas que possuem uma multiplicação comutativa.

História e etimologia

Os registros do uso implícito da propriedade comutativa remontam à antiguidade. Os egípcios usaram a propriedade comutativa da multiplicação para simplificar o cálculo de produtos. Sabe-se que Euclides assumiu a propriedade comutativa da multiplicação em seu livro Elementos. Usos formais da propriedade comutativa surgiram no final do século XVIII e início do século XIX, quando os matemáticos começaram a trabalhar numa teoria de funções. Hoje em dia, a propriedade comutativa é uma propriedade básica e bem conhecida, usada na maioria dos ramos da matemática.

O primeiro uso registrado do termo comutativo foi em um livro de memórias por François-Joseph Servois em 1814, que usou a palavra commutatives ao descrever funções que têm o que agora é chamado de propriedade comutativa. Commutative é a forma feminina do adjetivo francês commutatif, que é derivado do substantivo francês commutation e do verbo francês commuter, que significa "trocar" ou "alternar". O termo então apareceu em inglês em 1838 no artigo de Duncan Gregory intitulado "On the real nature of symbolical algebra", publicado em 1840 na Transactions of the Royal Society of Edinburgh.

Ver também

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Propriedade anticomutativa
Relação de comutação canônica (na mecânica quântica)
Centralizador e normalizador (também chamado de comutante)
Diagrama comutativo
Comutador
Estatística de partículas (para comutatividade na física)
Propriedade quase-comutativa
Monoide de traços

Notas

↑ Rice 2011, p. 4.
1 2 Saracino 2008, p. 11.
1 2 Hall 1966, pp. 262–263.
1 2 Lovett 2022, p. 12.
↑ Rosen 2013, Veja o Apêndice I.
↑ Sterling 2009, p. 248.
↑ Johnson 2003, p. 642.
↑ O'Regan 2008, p. 33.
↑ Posamentier et al. 2013, p. 71.
↑ Medina et al. 2004, p. 617.
↑ Tarasov 2008, p. 56.
↑ Cooke 2014, p. 7.
↑ Haghighi, Kumar & Mishev 2024, p. 118.
↑ Grillet 2001, pp. 1–2.
↑ Grillet 2001, p. 3.
↑ Gallian 2006, p. 34.
↑ Gallian 2006, p. 236.
↑ Tuset 2025, p. 99.
↑ Gay & Shute 1987, p. 16‐17.
↑ Barbeau 1968, p. 183. Veja Livro VII, Proposição 5, na edição online dos Elementos de Euclides por David E. Joyce
↑ Allaire & Bradley 2002.
↑ Rice 2011, p. 4; Gregory 1840.

Referências

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[FOOTNOTESaracino2008[https://books.google.com/books?id=GW4fAAAAQBAJ&pg=PA11_11]-2] 1 2 Saracino 2008, p. 11.

[FOOTNOTEHall1966[https://books.google.com/books?id=qqs8AAAAIAAJ&pg=PA262_262–263]-3] 1 2 Hall 1966, pp. 262–263.

[FOOTNOTELovett2022[http://books.google.com/books?id=vp0IEQAAQBAJ&pg=PA12_12]-4] 1 2 Lovett 2022, p. 12.

[FOOTNOTERosen2013Veja_o_[https://books.google.com/books?id=-oVvEAAAQBAJ&pg=SL1-PA1_Apêndice_I]-5] Rosen 2013, Veja o Apêndice I.

[FOOTNOTESterling2009[https://books.google.com/books?id=PsNJ1alC-bsC&pg=PA248_248]-6] Sterling 2009, p. 248.

[FOOTNOTEJohnson2003[http://books.google.com/books?id=-pZX2KS2KqMC&pg=PA642_642]-7] Johnson 2003, p. 642.

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[FOOTNOTEMedinaOjeda-AciegoValverdeVojtáš2004[https://books.google.com/books?id=yAH6BwAAQBAJ&pg=PA617_617]-10] Medina et al. 2004, p. 617.

[FOOTNOTETarasov2008[http://books.google.com/books?id=pHK11tfdE3QC&pg=PA56_56]-11] Tarasov 2008, p. 56.

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[FOOTNOTEHaghighiKumarMishev2024[http://books.google.com/books?id=D2b8EAAAQBAJ&pg=PA118_118]-13] Haghighi, Kumar & Mishev 2024, p. 118.

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[FOOTNOTEGrillet20013-15] Grillet 2001, p. 3.

[FOOTNOTEGallian200634-16] Gallian 2006, p. 34.

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[FOOTNOTETuset2025[https://books.google.com/books?id=1RE1EQAAQBAJ&pg=PA99_99]-18] Tuset 2025, p. 99.

[FOOTNOTEGayShute1987[https://archive.org/details/rhindmathematica0000robi_h8l4/page/16_16&dash;17]-19] Gay & Shute 1987, p. 16‐17.

[20] Barbeau 1968, p. 183. Veja Livro VII, Proposição 5, na edição online dos Elementos de Euclides por David E. Joyce

[FOOTNOTEAllaireBradley2002-21] Allaire & Bradley 2002.

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