Radical de Bring

Forma quíntica principal

A quíntica geral pode ser reduzida àquilo que é conhecido como forma quíntica principal, com os termos quártico e cúbico removidos: $${\displaystyle y^{5}+c_{2}y^{2}+c_{1}y+c_{0}=0\,}$$

Se as raízes de uma quíntica geral e de uma quíntica principal estiverem relacionadas por uma transformação de Tschirnhaus quadrática $${\displaystyle y_{k}=x_{k}^{2}+\alpha x_{k}+\beta \,,}$$ os coeficientes ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle \beta }$ podem ser determinados usando o resultante, ou por meio da soma das potências das raízes e as identidades de Newton. Isso nos conduz a um sistema de equações em ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle \beta }$ consistindo em uma equação quadrática e uma equação linear, e qualquer um dos dois conjuntos de soluções pode ser usado para obter os correspondentes três coeficientes da forma quíntica principal.

Esta forma é usada pela solução de Felix Klein para a quíntica.

Forma normal de Bring-Jerrard

É possível simplificar a quíntica ainda mais e eliminar o termo quadrático, produzindo a forma normal de Bring-Jerrard: $${\displaystyle v^{5}+d_{1}v+d_{0}=0.}$$ Usar novamente as fórmulas de soma de potências com uma transformação cúbica, como tentou Tschirnhaus, não funciona, uma vez que o sistema de equações resultante leva a uma equação do sexto grau. Porém, em 1796, Bring encontrou uma maneira de contornar esse problema usando uma transformação de Tschirnhaus quártica para relacionar as raízes de uma quíntica principal com as de uma quíntica de Bring-Jerrard: $${\displaystyle v_{k}=y_{k}^{4}+\alpha y_{k}^{3}+\beta y_{k}^{2}+\gamma y_{k}+\delta \,.}$$

O parâmetro extra fornecido por esta transformação de quarta ordem permitiu que Bring diminuísse os graus dos outros parâmetros. Isto leva a um sistema de cinco equações com seis incógnitas, o qual exige então a solução de uma equação cúbica e de uma equação quadrática. Este método também foi descoberto por Jerrard em 1852, mas é provável que ele desconhecesse o trabalho prévio de Bring nesta área.^: A transformação completa pode ser prontamente realizada usando um pacote de álgebra computacional, como o Mathematica ou o Maple. Como seria de esperar da complexidade de tais transformações, as expressões resultantes podem ser imensas, de modo especial quando comparadas com as soluções em radicais para equações de grau inferior, ocupando muitos megabytes de armazenamento para uma quíntica geral com coeficientes simbólicos.

Consideradas como uma função algébrica, as soluções para $${\displaystyle v^{5}+d_{1}v+d_{0}=0}$$ envolvem duas variáveis, d₁ e d₀; todavia, a redução é na verdade para uma função algébrica de uma única variável, muito análoga a uma solução em radicais, visto que podemos reduzir ainda mais a forma de Bring-Jerrard. Se nós, por exemplo, definirmos $${\displaystyle z={v \over {\sqrt[{4}]{-d_{1}}}}}$$ então reduzimos a equação para a forma $${\displaystyle z^{5}-z+a=0\,,}$$ que envolve z como uma função algébrica de uma única variável ${\displaystyle a}$, onde ${\displaystyle a=d_{0}(-d_{1})^{-5/4}}$. Esta forma é requerida pelo método de Hermite-Kronecker-Brioschi, pelo método de Glasser e pelo método dos resolventes diferenciais de Cockle-Harley descritos abaixo.

Uma forma alternativa é obtida definindo ${\displaystyle u={v \over {\sqrt[{4}]{d_{1}}}}}$ de modo que ${\displaystyle u^{5}+u+b=0\,,}$ onde ${\displaystyle b=d_{0}(d_{1})^{-5/4}}$. Esta forma é usada para definir o radical de Bring abaixo.

Forma normal de Brioschi

Existe outra forma normal de um parâmetro para a equação quíntica, conhecida como forma normal de Brioschi $${\displaystyle w^{5}-10Cw^{3}+45C^{2}w-C^{2}=0,}$$ a qual pode ser derivada utilizando a transformação racional de Tschirnhaus $${\displaystyle w_{k}={\frac {\lambda +\mu x_{k}}{{\frac {x_{k}^{2}}{C}}-3}}}$$ para relacionar as raízes de uma quíntica geral a uma quíntica de Brioschi. Os valores dos parâmetros ${\displaystyle \lambda }$ e ${\displaystyle \mu }$ podem ser derivados usando funções poliédricas sobre a esfera de Riemann, e estão relacionados à partição de um objeto de simetria icosaédrica em cinco objetos de simetria tetraédrica.

Esta transformação de Tschirnhaus é um tanto mais simples do que a transformação complexa usada para transformar uma quíntica principal na forma de Bring-Jerrard. Esta forma normal é usada pelo método de iteração de Doyle-McMullen e pelo método de Kiepert.

A caracterização de Hermite-Kronecker-Brioschi

Em 1858, Charles Hermite publicou a primeira solução conhecida para a equação quíntica geral em termos de "transcendentes elípticas", e quase na mesma época Francesco Brioschi e Leopold Kronecker chegaram a soluções equivalentes. Hermite chegou a esta solução através da generalização da conhecida solução para a equação cúbica em termos de funções trigonométricas e encontrou a solução para uma quíntica na forma de Bring-Jerrard: $${\displaystyle x^{5}-x+a=0}$$

à qual qualquer equação quíntica pode ser reduzida por meio de transformações de Tschirnhaus. Ele observou que as funções elípticas desempenhavam um papel análogo na resolução da quíntica de Bring-Jerrard ao que as funções trigonométricas desempenhavam para a cúbica. Para ${\displaystyle K}$ e ${\displaystyle K',}$ escreva-as como as integrais elípticas completas do primeiro tipo: $${\displaystyle K(k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}}}$$ $${\displaystyle K'(k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\varphi }{\sqrt {1-k'^{2}\sin ^{2}\varphi }}}}$$ onde $${\displaystyle k^{2}+k'^{2}=1.}$$ Defina as duas "transcendentes elípticas": $${\displaystyle \varphi (\tau )=\prod _{j=1}^{\infty }\tanh {\frac {(2j-1)\pi i}{2\tau }}={\sqrt {2}}e^{\pi i\tau /8}\prod _{j=1}^{\infty }{\frac {1+e^{2j\pi i\tau }}{1+e^{(2j-1)\pi i\tau }}},\quad \operatorname {Im} \tau >0}$$ $${\displaystyle \psi (\tau )=\prod _{j=1}^{\infty }\tanh {\frac {(2j-1)\pi \tau }{2i}},\quad \operatorname {Im} \tau >0}$$ Elas podem ser definidas equivalentemente por séries infinitas: $${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (\tau )&={\sqrt {2}}e^{\pi i\tau /8}{\frac {\sum _{j\in \mathbb {Z} }e^{(2j^{2}+j)\pi i\tau }}{\sum _{j\in \mathbb {Z} }e^{j^{2}\pi i\tau }}}\\&={\sqrt {2}}e^{\pi i\tau /8}(1-e^{\pi i\tau }+2e^{2\pi i\tau }-3e^{3\pi i\tau }+4e^{4\pi i\tau }-6e^{5\pi i\tau }+9e^{6\pi i\tau }-\cdots ),\quad \operatorname {Im} \tau >0\\\psi (\tau )&={\frac {\sum _{j\in \mathbb {Z} }(-1)^{j}e^{2j^{2}\pi i\tau }}{\sum _{j\in \mathbb {Z} }e^{j^{2}\pi i\tau }}}\\&=1-2e^{\pi i\tau }+2e^{2\pi i\tau }-4e^{3\pi i\tau }+6e^{4\pi i\tau }-8e^{5\pi i\tau }+12e^{6\pi i\tau }-\cdots ,\quad \operatorname {Im} \tau >0\end{aligned}}}$$

Se n for um número primo, podemos definir dois valores ${\displaystyle u}$ e ${\displaystyle v}$ da seguinte maneira: $${\displaystyle u=\varphi (n\tau )}$$ e $${\displaystyle v=\varphi (\tau )}$$

Quando n for um primo ímpar, os parâmetros ${\displaystyle u}$ e ${\displaystyle v}$ estão vinculados por uma equação de grau n + 1 em ${\displaystyle u}$, ${\displaystyle \Omega _{n}(u,v)=0}$, conhecida como a equação modular, cujas ${\displaystyle n+1}$ raízes em ${\displaystyle u}$ são dadas por: $${\displaystyle u=\varphi (n\tau )}$$ e $${\displaystyle u=\varepsilon (n)\varphi \left({\frac {\tau +16m}{n}}\right)}$$ onde ${\displaystyle \varepsilon (n)}$ é 1 ou −1 dependendo de 2 ser ou não um resíduo quadrático módulo n, respectivamente, e ${\displaystyle m\in \{0,1,\ldots ,n-1\}}$. Para n = 5, temos a equação modular: $${\displaystyle \Omega _{5}(u,v)=0\iff u^{6}-v^{6}+5u^{2}v^{2}(u^{2}-v^{2})+4uv(1-u^{4}v^{4})=0}$$ com seis raízes em ${\displaystyle u}$ como exposto acima.

A equação modular com ${\displaystyle n=5}$ pode ser relacionada à quíntica de Bring-Jerrard pela seguinte função das seis raízes da equação modular (no artigo de Hermite Sur la théorie des équations modulaires et la résolution de l'équation du cinquième degré, o primeiro fator é indicado de forma incorreta como ${\displaystyle [\varphi (5\tau )+\varphi (\tau /5)]}$):

$${\displaystyle \Phi (\tau )=\left[-\varphi (5\tau )-\varphi \left({\frac {\tau }{5}}\right)\right]\left[\varphi \left({\frac {\tau +16}{5}}\right)-\varphi \left({\frac {\tau +64}{5}}\right)\right]\left[\varphi \left({\frac {\tau +32}{5}}\right)-\varphi \left({\frac {\tau +48}{5}}\right)\right]}$$

Alternativamente, a fórmula $${\displaystyle \Phi (\tau )=2{\sqrt {10}}e^{3\pi i\tau /40}(1+e^{\pi i\tau /5}-e^{2\pi i\tau /5}+e^{3\pi i\tau /5}-8e^{\pi i\tau }-9e^{6\pi i\tau /5}+8e^{7\pi i\tau /5}-9e^{8\pi i\tau /5}+\cdots )}$$ é útil para a avaliação numérica de ${\displaystyle \Phi (\tau )}$. Segundo Hermite, o coeficiente de ${\displaystyle e^{n\pi i\tau /5}}$ na expansão é zero para todo ${\displaystyle n\equiv 4\,(\operatorname {mod} 5)}$.

As cinco grandezas ${\displaystyle \Phi (\tau )}$, ${\displaystyle \Phi (\tau +16)}$, ${\displaystyle \Phi (\tau +32)}$, ${\displaystyle \Phi (\tau +48)}$, ${\displaystyle \Phi (\tau +64)}$ são as raízes de uma equação quíntica com coeficientes racionais em ${\displaystyle \varphi (\tau )}$: $${\displaystyle \Phi ^{5}-2000\varphi ^{4}(\tau )\psi ^{16}(\tau )\Phi -64{\sqrt {5^{5}}}\varphi ^{3}(\tau )\psi ^{16}(\tau )\left[1+\varphi ^{8}(\tau )\right]=0}$$ que pode ser prontamente convertida para a forma de Bring-Jerrard através da substituição: $${\displaystyle \Phi =2{\sqrt[{4}]{125}}\varphi (\tau )\psi ^{4}(\tau )x}$$ levando à quíntica de Bring-Jerrard: $${\displaystyle x^{5}-x+a=0}$$ onde

$${\displaystyle a=-{\frac {2[1+\varphi ^{8}(\tau )]}{{\sqrt[{4}]{5^{5}}}\varphi ^{2}(\tau )\psi ^{4}(\tau )}}}$$

(*)

O método de Hermite-Kronecker-Brioschi resume-se então a achar um valor para ${\displaystyle \tau }$ que corresponda ao valor de ${\displaystyle a}$, e depois usar este valor de ${\displaystyle \tau }$ para obter as raízes da equação modular correspondente. Nós podemos utilizar algoritmos de busca de raízes para encontrar ${\displaystyle \tau }$ a partir da equação (*) (ou seja, calcular uma inversa parcial de ${\displaystyle a}$). Elevar (*) ao quadrado produz uma quártica baseada unicamente em ${\displaystyle \varphi ^{4}(\tau )}$ (usando ${\displaystyle \varphi ^{8}(\tau )+\psi ^{8}(\tau )=1}$). Toda solução (em ${\displaystyle \tau }$) de (*) é uma solução da quártica, porém nem toda solução da quártica é uma solução de (*).

As raízes da quíntica de Bring-Jerrard são então dadas por: $${\displaystyle x_{r}={\frac {\Phi (\tau +16r)}{2{\sqrt[{4}]{125}}\varphi (\tau )\psi ^{4}(\tau )}}}$$ para ${\displaystyle r=0,\ldots ,4}$.

Uma abordagem "integral" alternativa é a seguinte:

Considere ${\displaystyle x^{5}-x+a=0}$ onde ${\displaystyle a\in \mathbb {C} \setminus \{0\}.}$ Então $${\displaystyle \tau =i{\frac {K'(k)}{K(k)}}}$$ é uma solução de $${\displaystyle a=s{\frac {2[1+\varphi ^{8}(\tau )]}{{\sqrt[{4}]{5^{5}}}\varphi ^{2}(\tau )\psi ^{4}(\tau )}}}$$ onde $${\displaystyle s={\begin{cases}-\operatorname {sgn} \operatorname {Im} a&{\text{ se }}\operatorname {Re} a=0\\\operatorname {sgn} \operatorname {Re} a&{\text{ se }}\operatorname {Re} a\neq 0,\end{cases}}}$$

$${\displaystyle k^{4}+A^{2}k^{3}+2k^{2}-A^{2}k+1=0,}$$

(**)

$${\displaystyle A={\frac {a{\sqrt[{4}]{5^{5}}}}{2}}.}$$

As raízes da equação (**) são: $${\displaystyle k=\tan {\frac {\alpha }{4}},\tan {\frac {\alpha +2\pi }{4}},\tan {\frac {\pi -\alpha }{4}},\tan {\frac {3\pi -\alpha }{4}}}$$ onde ${\displaystyle \sin \alpha =4/A^{2}}$ (note que algumas referências importantes apresentam isso erroneamente como ${\displaystyle \sin \alpha =1/(4A^{2})}$). Qualquer uma destas raízes pode ser usada como o módulo elíptico ${\displaystyle k}$.

As raízes da quíntica de Bring-Jerrard são então dadas por: $${\displaystyle x_{r}=-s{\frac {\Phi (\tau +16r)}{2{\sqrt[{4}]{125}}\varphi (\tau )\psi ^{4}(\tau )}}}$$ para ${\displaystyle r=0,\ldots ,4}$.

Pode-se observar que este processo utiliza uma generalização da raiz n-ésima, a qual pode ser expressa como: $${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}=\exp \left({{\frac {1}{n}}\ln x}\right)}$$ ou, de forma mais exata, como $${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}=\exp \left({\frac {1}{n}}\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}\right)=\exp \left({\frac {1}{n}}\exp ^{-1}x\right).}$$ O método de Hermite-Kronecker-Brioschi essencialmente substitui a exponencial por uma "transcendente elíptica", e a integral ${\textstyle \int _{1}^{x}dt/t}$ (ou a inversa de ${\displaystyle \exp }$ na reta real) por uma integral elíptica (ou por uma inversa parcial de uma "transcendente elíptica"). Kronecker pensou que essa generalização era um caso especial de um teorema ainda mais amplo, que seria aplicável a equações de grau arbitrariamente alto. Este teorema, conhecido como a Fórmula de Thomae, foi plenamente expresso por Hiroshi Umemura em 1984, o qual utilizou formas modulares de Siegel no lugar de transcendentes exponenciais/elípticas, e substituiu a integral por uma integral hiperelíptica.

Derivação de Glasser

Esta derivação devida a M. Lawrence Glasser generaliza o método em série apresentado anteriormente neste artigo para encontrar uma solução para qualquer equação trinomial da forma: $${\displaystyle x^{N}-x+t=0}$$

Em particular, a equação quíntica pode ser reduzida a esta forma pelo uso das transformações de Tschirnhaus conforme demonstrado acima. Fazendo com que ${\displaystyle x=\zeta ^{-{\frac {1}{N-1}}}\,}$, a forma geral torna-se: $${\displaystyle \zeta =e^{2\pi i}+t\phi (\zeta )}$$ onde $${\displaystyle \phi (\zeta )=\zeta ^{\frac {N}{N-1}}}$$

Uma fórmula devida a Lagrange afirma que para qualquer função analítica ${\displaystyle f\,}$, na vizinhança de uma raiz da equação geral transformada em termos de ${\displaystyle \zeta \,}$, a expressão acima pode ser expressa como uma série infinita: $${\displaystyle f(\zeta )=f(e^{2\pi i})+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}{\frac {d^{n-1}}{da^{n-1}}}[f'(a)|\phi (a)|^{n}]_{a=e^{2\pi i}}}$$

Se fizermos ${\displaystyle f(\zeta )=\zeta ^{-{\frac {1}{N-1}}}\,}$ nesta fórmula, podemos chegar à seguinte raiz: $${\displaystyle x_{k}=e^{-{\frac {2k\pi i}{N-1}}}-{\frac {t}{N-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(te^{\frac {2k\pi i}{N-1}})^{n}}{\Gamma (n+2)}}\cdot {\frac {\Gamma \left({\frac {Nn}{N-1}}+1\right)}{\Gamma \left({\frac {n}{N-1}}+1\right)}}}$$ $${\displaystyle k=1,2,3,\dots ,N-1\,}$$

Pelo uso do teorema de multiplicação de Gauss, a série infinita acima pode ser desmembrada em uma série finita de funções hipergeométricas: $${\displaystyle \psi _{n}(q)=\left({\frac {e^{\frac {2n\pi i}{N-1}}t}{N-1}}\right)^{q}N^{\frac {qN}{N-1}}{\frac {\prod _{k=0}^{N-1}\Gamma \left({\frac {q}{N-1}}+{\frac {1+k}{N}}\right)}{\Gamma \left({\frac {q}{N-1}}+1\right)\prod _{k=0}^{N-2}\Gamma \left({\frac {q+k+2}{N-1}}\right)}}=\left({\frac {te^{\frac {2n\pi i}{N-1}}}{N-1}}\right)^{q}N^{\frac {qN}{N-1}}\prod _{k=2}^{N}{\frac {\Gamma \left({\frac {q}{N-1}}+{\frac {k-1}{N}}\right)}{\Gamma \left({\frac {q+k}{N-1}}\right)}}}$$

$${\displaystyle x_{n}=e^{-{\frac {2n\pi i}{N-1}}}-{\frac {t}{(N-1)^{2}}}{\sqrt {\frac {N}{2\pi (N-1)}}}\sum _{q=0}^{N-2}\psi _{n}(q)_{(N+1)}F_{N}{\begin{bmatrix}{\frac {qN+N-1}{N(N-1)}},\ldots ,{\frac {q+N-1}{N-1}},1;\\[8pt]{\frac {q+2}{N-1}},\ldots ,{\frac {q+N}{N-1}},{\frac {q+N-1}{N-1}};\\[8pt]\left({\frac {te^{\frac {2n\pi i}{N-1}}}{N-1}}\right)^{N-1}N^{N}\end{bmatrix}},\quad n=1,2,3,\dots ,N-1}$$

$${\displaystyle x_{N}=\sum _{m=1}^{N-1}{\frac {t}{(N-1)^{2}}}{\sqrt {\frac {N}{2\pi (N-1)}}}\sum _{q=0}^{N-2}\psi _{m}(q)_{(N+1)}F_{N}{\begin{bmatrix}{\frac {qN+N-1}{N(N-1)}},\ldots ,{\frac {q+N-1}{N-1}},1;\\[8pt]{\frac {q+2}{N-1}},\ldots ,{\frac {q+N}{N-1}},{\frac {q+N-1}{N-1}};\\[8pt]\left({\frac {te^{\frac {2m\pi i}{N-1}}}{N-1}}\right)^{N-1}N^{N}\end{bmatrix}}}$$

e o trinômio da forma tem as raízes $${\displaystyle ax^{N}+bx^{2}+c=0,N\equiv 1{\pmod {2}}}$$ $${\displaystyle x_{N}=-{\frac {a}{2b}}{\sqrt {\left({\frac {c}{b}}\right)^{N-1}}}{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}{\frac {N+1}{2N}},{\frac {N+3}{2N}},\cdots ,{\frac {N-2}{N}},{\frac {N-1}{N}},{\frac {N+1}{N}},{\frac {N+2}{N}},\cdots ,{\frac {3N-3}{2N}},{\frac {3N-1}{2N}};\\[8pt]{\frac {N+1}{2N-4}},{\frac {N+3}{2N-4}},\cdots ,{\frac {N-4}{N-2}},{\frac {N-3}{N-2}},{\frac {N-1}{N-2}},{\frac {N}{N-2}},\cdots ,{\frac {3N-5}{2N-4}},{\frac {3}{2}};\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}}+{\sqrt {\frac {c}{b}}}i{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{2N}},{\frac {3}{2N}},\cdots ,{\frac {N-4}{2N}},{\frac {N-2}{2N}},{\frac {N+2}{2N}},{\frac {N+4}{2N}},\cdots ,{\frac {2N-3}{2N}},{\frac {2N-1}{2N}};\\[8pt]{\frac {3}{2N-4}},{\frac {5}{2N-4}},\cdots ,{\frac {2N-3}{2N-4}};\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle x_{N-1}=-{\frac {a}{2b}}{\sqrt {\left({\frac {c}{b}}\right)^{N-1}}}{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}{\frac {N+1}{2N}},{\frac {N+3}{2N}},\cdots ,{\frac {N-2}{N}},{\frac {N-1}{N}},{\frac {N+1}{N}},{\frac {N+2}{N}},\cdots ,{\frac {3N-3}{2N}},{\frac {3N-1}{2N}};\\[8pt]{\frac {N+1}{2N-4}},{\frac {N+3}{2N-4}},\cdots ,{\frac {N-4}{N-2}},{\frac {N-3}{N-2}},{\frac {N-1}{N-2}},{\frac {N}{N-2}},\cdots ,{\frac {3N-5}{2N-4}},{\frac {3}{2}};\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}}-{\sqrt {\frac {c}{b}}}i{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{2N}},{\frac {3}{2N}},\cdots ,{\frac {N-4}{2N}},{\frac {N-2}{2N}},{\frac {N+2}{2N}},{\frac {N+4}{2N}},\cdots ,{\frac {2N-3}{2N}},{\frac {2N-1}{2N}};\\[8pt]{\frac {3}{2N-4}},{\frac {5}{2N-4}},\cdots ,{\frac {2N-3}{2N-4}};\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{n}={}&-e^{\frac {2n\pi i}{N-2}}{\sqrt[{N-2}]{\frac {b}{a}}}{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}},-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {1}{N}},-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {2}{N}},\cdots ,-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {1}{N}},{\frac {N-5}{2N}},-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N-3}{2N}},-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N+1}{2N}},-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N+3}{2N}},\cdots ,-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N-1}{N}},;\\[8pt]{\frac {1}{N-2}},{\frac {2}{N-2}},\cdots ,{\frac {2N-5}{2N-4}},;\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}}+\\&+{\sqrt[{N-2}]{\frac {b}{a}}}\sum _{q=1}^{N-3}{\frac {\Gamma \left({\frac {2q-1}{N-2}}+q\right)}{\Gamma \left({\frac {2q-1}{N-2}}+1\right)}}\cdot \left(-{\frac {c}{b}}{\sqrt[{N-2}]{\frac {a^{2}}{b^{2}}}}\right)^{q}\cdot {\frac {e^{{\frac {2n\left(1-2q\right)}{N-2}}\pi i}}{q!}}{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}},{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {1}{N}},{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {2}{N}},\cdots ,{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N-3}{2N}},{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N+1}{2N}},\cdots ,{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N-1}{N}};\\[8pt]{\frac {q+1}{N-2}},{\frac {q+2}{N-2}},\cdots ,{\frac {N-4}{N-2}},{\frac {N-3}{N-2}},{\frac {N-1}{N-2}},{\frac {N}{N-2}},\cdots ,{\frac {q+N-2}{N-2}},{\frac {2q+2N-5}{2N-4}};\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}},n=1,2,\cdots ,N-2\end{aligned}}}$$

Uma raiz da equação pode, portanto, ser expressa como a soma de no máximo ${\displaystyle N-1}$ funções hipergeométricas. Aplicando este método à quíntica reduzida de Bring-Jerrard, defina as seguintes funções: $${\displaystyle {\begin{aligned}F_{1}(t)&=\,_{4}F_{3}\left(-{\frac {1}{20}},{\frac {3}{20}},{\frac {7}{20}},{\frac {11}{20}};{\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}};{\frac {3125t^{4}}{256}}\right)\\[6pt]F_{2}(t)&=\,_{4}F_{3}\left({\frac {1}{5}},{\frac {2}{5}},{\frac {3}{5}},{\frac {4}{5}};{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}},{\frac {5}{4}};{\frac {3125t^{4}}{256}}\right)\\[6pt]F_{3}(t)&=\,_{4}F_{3}\left({\frac {9}{20}},{\frac {13}{20}},{\frac {17}{20}},{\frac {21}{20}};{\frac {3}{4}},{\frac {5}{4}},{\frac {3}{2}};{\frac {3125t^{4}}{256}}\right)\\[6pt]F_{4}(t)&=\,_{4}F_{3}\left({\frac {7}{10}},{\frac {9}{10}},{\frac {11}{10}},{\frac {13}{10}};{\frac {5}{4}},{\frac {3}{2}},{\frac {7}{4}};{\frac {3125t^{4}}{256}}\right)\end{aligned}}}$$ que são as funções hipergeométricas que aparecem na fórmula da série acima. As raízes da quíntica são, assim: $${\displaystyle {\begin{array}{rcrcccccc}x_{1}&=&{}-tF_{2}(t)\\[1ex]x_{2}&=&{}-F_{1}(t)&+&{\frac {1}{4}}tF_{2}(t)&+&{\frac {5}{32}}t^{2}F_{3}(t)&+&{\frac {5}{32}}t^{3}F_{4}(t)\\[1ex]x_{3}&=&F_{1}(t)&+&{\frac {1}{4}}tF_{2}(t)&-&{\frac {5}{32}}t^{2}F_{3}(t)&+&{\frac {5}{32}}t^{3}F_{4}(t)\\[1ex]x_{4}&=&{}-iF_{1}(t)&+&{\frac {1}{4}}tF_{2}(t)&-&{\frac {5}{32}}it^{2}F_{3}(t)&-&{\frac {5}{32}}t^{3}F_{4}(t)\\[1ex]x_{5}&=&iF_{1}(t)&+&{\frac {1}{4}}tF_{2}(t)&+&{\frac {5}{32}}it^{2}F_{3}(t)&-&{\frac {5}{32}}t^{3}F_{4}(t)\\\end{array}}}$$

Este é essencialmente o mesmo resultado daquele obtido pelo seguinte método.

O método de resolventes diferenciais

James Cockle e Robert Harley desenvolveram, em 1860, um método para resolver a quíntica por meio de equações diferenciais. Eles consideram as raízes como sendo funções dos coeficientes, e calculam um resolvente diferencial com base nestas equações. A quíntica de Bring-Jerrard é expressa como uma função: $${\displaystyle f(x)=x^{5}-x+a}$$ e uma função ${\displaystyle \,\phi (a)\,}$ deve ser determinada de tal modo que: $${\displaystyle f[\phi (a)]=0}$$

A função ${\displaystyle \phi }$ também deve satisfazer as seguintes quatro equações diferenciais: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {df[\phi (a)]}{da}}=0\\[6pt]{\frac {d^{2}f[\phi (a)]}{da^{2}}}=0\\[6pt]{\frac {d^{3}f[\phi (a)]}{da^{3}}}=0\\[6pt]{\frac {d^{4}f[\phi (a)]}{da^{4}}}=0\end{aligned}}}$$

Ao expandir estas equações e combiná-las, obtém-se o resolvente diferencial: $${\displaystyle {\frac {(256-3125a^{4})}{1155}}{\frac {d^{4}\phi }{da^{4}}}-{\frac {6250a^{3}}{231}}{\frac {d^{3}\phi }{da^{3}}}-{\frac {4875a^{2}}{77}}{\frac {d^{2}\phi }{da^{2}}}-{\frac {2125a}{77}}{\frac {d\phi }{da}}+\phi =0}$$

A solução do resolvente diferencial, sendo uma equação diferencial ordinária de quarta ordem, depende de quatro constantes de integração, que devem ser escolhidas de modo a satisfazer a quíntica original. Esta é uma equação diferencial ordinária Fuchsiana do tipo hipergeométrico, cuja solução se revela ser idêntica à série de funções hipergeométricas que surgiu na derivação de Glasser acima.

Este método pode também ser generalizado para equações de grau arbitrariamente alto, com resolventes diferenciais que são equações diferenciais parciais, cujas soluções envolvem funções hipergeométricas de diversas variáveis. Uma fórmula geral para resolventes diferenciais de polinômios univariados arbitrários é dada pela Fórmula da soma de potências de Nahay.

Iteração de Doyle-McMullen

Em 1989, Peter Doyle e Curt McMullen derivaram um método de iteração que resolve uma quíntica na forma normal de Brioschi: $${\displaystyle x^{5}-10Cx^{3}+45C^{2}x-C^{2}=0.}$$ O algoritmo de iteração prossegue da seguinte forma:

1. Defina ${\displaystyle Z=1-1728C}$
2. Calcule a função racional $${\displaystyle T_{Z}(w)=w-12{\frac {g(Z,w)}{g'(Z,w)}}}$$ onde ${\displaystyle g(Z,w)}$ é uma função polinomial dada abaixo, e ${\displaystyle g'}$ é a derivada de ${\displaystyle g(Z,w)}$ em relação a ${\displaystyle w}$.
3. Itere ${\displaystyle T_{Z}[T_{Z}(w)]}$ sobre um palpite inicial aleatório até que convirja. Chame o ponto limite de ${\displaystyle w_{1}}$ e seja ${\displaystyle w_{2}=T_{Z}(w_{1})\,}$.
4. Calcule $${\displaystyle \mu _{i}={\frac {100Z(Z-1)h(Z,w_{i})}{g(Z,w_{i})}}}$$ onde ${\displaystyle h(Z,w)}$ é uma função polinomial dada abaixo. Faça isso tanto para ${\displaystyle w_{1}\,}$ quanto para ${\displaystyle w_{2}=T_{Z}(w_{1})\,}$.
5. Finalmente, calcule $${\displaystyle x_{i}={\frac {(9+{\sqrt {15}}i)\mu _{i}+(9-{\sqrt {15}}i)\mu _{3-i}}{90}}}$$ para i = 1, 2. Estas são duas das raízes da quíntica de Brioschi.

As duas funções polinomiais ${\displaystyle g(Z,w)\,}$ e ${\displaystyle h(Z,w)\,}$ são as seguintes: $${\displaystyle {\begin{aligned}g(Z,w)={}&91125Z^{6}\\&{}+(-133650w^{2}+61560w-193536)Z^{5}\\&{}+(-66825w^{4}+142560w^{3}+133056w^{2}-61140w+102400)Z^{4}\\&{}+(5940w^{6}+4752w^{5}+63360w^{4}-140800w^{3})Z^{3}\\&{}+(-1485w^{8}+3168w^{7}-10560w^{6})Z^{2}\\&{}+(-66w^{10}+440w^{9})Z\\&{}+w^{12}\\[8pt]h(Z,w)={}&(1215w-648)Z^{4}\\&{}+(-540w^{3}-216w^{2}-1152w+640)Z^{3}\\&{}+(378w^{5}-504w^{4}+960w^{3})Z^{2}\\&{}+(36w^{7}-168w^{6})Z\\&{}+w^{9}\end{aligned}}}$$

Este método de iteração produz duas raízes da quíntica. As três raízes restantes podem ser obtidas utilizando a divisão sintética para fatorar e remover as duas raízes, produzindo assim uma equação cúbica. Devido à forma como a iteração é formulada, este método parece sempre encontrar duas raízes complexo-conjugadas da quíntica, mesmo quando todos os coeficientes da quíntica são reais e o palpite inicial é real. Este método de iteração é derivado das simetrias do icosaedro e está intimamente relacionado ao método que Felix Klein descreve em seu livro.

Notas

Outras