Traçado de raio

Cálculo de raios para uma viewport retangular

Como entrada temos (nos cálculos utilizamos a normalização vetorial e o produto vetorial):

• ${\displaystyle E\in \mathbb {R^{3}} }$: posição do olho (câmera)
• ${\displaystyle T\in \mathbb {R^{3}} }$: posição do alvo (target)
• ${\displaystyle \theta \in [0,\pi ]}$: campo de visão (field of view) — para humanos, podemos assumir ${\displaystyle \approx \pi /2{\text{ rad}}=90^{\circ }}$
• ${\displaystyle m,k\in \mathbb {N} }$: número de pixels quadrados nas direções vertical e horizontal da viewport
• ${\displaystyle i,j\in \mathbb {N} ,1\leq i\leq k\land 1\leq j\leq m}$: índices do pixel correspondente
• ${\displaystyle {\vec {v}}\in \mathbb {R^{3}} }$: vetor vertical que indica a orientação de cima e baixo, usualmente ${\displaystyle {\vec {v}}=[0,1,0]}$ — componente de rolamento (roll) que determina a rotação da viewport em torno do ponto C (onde o eixo de rotação é o segmento ET)

A ideia consiste em encontrar a posição do centro de cada pixel da viewport ${\displaystyle P_{ij}}$, o que nos permite traçar a reta que parte do olho ${\displaystyle E}$ através desse pixel e finalmente obter o raio descrito pelo ponto ${\displaystyle E}$ e pelo vetor ${\displaystyle {\vec {R}}_{ij}=P_{ij}-E}$ (ou sua normalização ${\displaystyle {\vec {r}}_{ij}}$). Primeiro precisamos encontrar as coordenadas do pixel inferior esquerdo da viewport ${\displaystyle P_{1m}}$ e obter o próximo pixel efetuando um deslocamento ao longo de direções paralelas à viewport (vetores ${\displaystyle {\vec {b}}_{n}}$ , ${\displaystyle {\vec {v}}_{n}}$) multiplicados pelo tamanho do pixel. Abaixo apresentamos as fórmulas que incluem a distância ${\displaystyle d}$ entre o olho e a viewport. Contudo, esse valor será cancelado durante a normalização do raio ${\displaystyle {\vec {r}}_{ij}}$ (de modo que se pode assumir ${\displaystyle d=1}$ e suprimi-lo dos cálculos).

Pré-cálculos: determinamos e normalizamos o vetor ${\displaystyle {\vec {t}}}$ e os vetores ${\displaystyle {\vec {b}},{\vec {v}}}$ paralelos à viewport (todos representados na figura acima):

${\displaystyle {\vec {t}}=T-E,\qquad {\vec {b}}={\vec {t}}\times {\vec {v}}}$

${\displaystyle {\vec {t}}_{n}={\frac {\vec {t}}{||{\vec {t}}||}},\qquad {\vec {b}}_{n}={\frac {\vec {b}}{||{\vec {b}}||}},\qquad {\vec {v}}_{n}={\vec {t}}_{n}\times {\vec {b}}_{n}}$

Note-se que o centro da viewport é ${\displaystyle C=E+{\vec {t}}_{n}d}$; a seguir, calculamos as dimensões da viewport ${\displaystyle h_{x},h_{y}}$ divididas por 2, incluindo a proporção de aspecto inversa ${\displaystyle {\frac {m-1}{k-1}}}$:

${\displaystyle g_{x}={\frac {h_{x}}{2}}=d\tan {\frac {\theta }{2}},\qquad g_{y}={\frac {h_{y}}{2}}=g_{x}{\frac {m-1}{k-1}}}$

e calculamos em seguida os vetores de deslocamento entre pixels vizinhos ${\displaystyle q_{x},q_{y}}$ ao longo de direções paralelas à viewport (${\displaystyle {\vec {b}},{\vec {v}}}$), e o centro do pixel inferior esquerdo ${\displaystyle p_{1m}}$:

${\displaystyle {\vec {q}}_{x}={\frac {2g_{x}}{k-1}}{\vec {b}}_{n},\qquad {\vec {q}}_{y}={\frac {2g_{y}}{m-1}}{\vec {v}}_{n},\qquad {\vec {p}}_{1m}={\vec {t}}_{n}d-g_{x}{\vec {b}}_{n}-g_{y}{\vec {v}}_{n}}$

Cálculos: observe que ${\displaystyle P_{ij}=E+{\vec {p}}_{ij}}$ e o raio é ${\displaystyle {\vec {R}}_{ij}=P_{ij}-E={\vec {p}}_{ij}}$, logo:

${\displaystyle {\vec {p}}_{ij}={\vec {p}}_{1m}+{\vec {q}}_{x}(i-1)+{\vec {q}}_{y}(j-1)}$

${\displaystyle {\vec {r}}_{ij}={\frac {{\vec {R}}_{ij}}{||{\vec {R}}_{ij}||}}={\frac {{\vec {p}}_{ij}}{||{\vec {p}}_{ij}||}}}$

O que acontece na natureza (simplificado)

Na natureza, uma fonte luminosa emite um raio de luz que se propaga até atingir uma superfície que interrompe sua trajetória. Pode-se conceber esse raio como um feixe contínuo de fótons percorrendo o mesmo caminho. Em vácuo perfeito, esse raio constituirá uma linha reta (desconsiderando efeitos relativísticos). Qualquer combinação de quatro fenômenos fundamentais pode ocorrer com esse raio de luz: absorção, reflexão, refração e fluorescência. Uma superfície pode absorver parte do raio luminoso, resultando em perda de intensidade da luz refletida e/ou refratada. Pode também refletir toda ou parte da radiação em uma ou mais direções. Se a superfície possuir propriedades transparentes ou translúcidas, ela refrata uma fração do feixe luminoso em seu interior em uma direção distinta, enquanto absorve parte (ou a totalidade) do espectro visível (alterando potencialmente a cor resultante). Menos frequentemente, uma superfície pode absorver uma fração da luz e reemiti-la por fluorescência em um comprimento de onda maior e em direção aleatória, embora esse fenômeno seja suficientemente raro para poder ser desconsiderado na maioria das aplicações de renderização. Somando absorção, reflexão, refração e fluorescência, toda a luz incidente deve ser rigorosamente contabilizada, sem excedente: uma superfície não pode, por exemplo, refletir 66% de um raio de luz incidente e refratar 50%, pois a soma totalizaria 116%. A partir desse ponto, os raios refletidos e/ou refratados podem incidir sobre outras superfícies, onde suas propriedades de absorção, refração, reflexão e fluorescência voltam a atuar sobre os raios incidentes. Alguns desses raios percorrem caminhos tais que acabam atingindo nossos olhos, permitindo-nos visualizar a cena e compondo, assim, a imagem renderizada final.

Algoritmo de ray casting

A ideia por trás do ray casting, o antecessor do traçado de raios recursivo, consiste em lançar raios a partir do ponto de vista do observador (um por pixel) e encontrar o objeto mais próximo que bloqueia a trajetória desse raio. Pode-se visualizar a imagem como uma tela aramada, onde cada quadrículo corresponde a um pixel: o objeto interceptado é aquilo que o olho visualiza através daquele pixel específico. Utilizando as propriedades do material e os parâmetros das fontes luminosas na cena, o algoritmo consegue calcular o sombreamento desse objeto. Adota-se a premissa simplificadora de que, se uma superfície estiver voltada para uma fonte de luz, a radiação a alcançará sem bloqueios ou sombras intermediárias. O sombreamento da superfície é então processado mediante modelos tradicionais de sombreamento da computação gráfica 3D. Uma vantagem marcante que o ray casting oferecia em relação aos antigos algoritmos de varredura era sua capacidade de lidar facilmente com sólidos e superfícies não planares, como cones e esferas. Se uma superfície matemática puder ser interceptada analiticamente por uma reta, ela poderá ser renderizada por ray casting. Objetos elaborados podem ser concebidos mediante técnicas de modelagem sólida e prontamente renderizados.

Algoritmo de volume ray casting

No método de volume ray casting (traçado de raios volumétrico), cada raio é traçado de modo que a cor e/ou a densidade possam ser amostradas continuamente ao longo do trajeto do raio e, em seguida, compostas na cor final do pixel. Esse procedimento é comumente empregado quando os elementos não podem ser adequadamente representados por superfícies explícitas (como malhas poligonais triangulares), como ocorre na renderização de nuvens, fumaça ou exames de tomografia computadorizada 3D na medicina.

Algoritmo de SDF ray marching

No SDF ray marching (marcha de raios por SDF), ou sphere tracing, cada raio avança em passos múltiplos para aproximar o ponto de intersecção entre o raio e uma superfície definida por uma função de distância com sinal (SDF). A SDF é avaliada a cada iteração a fim de permitir passos tão longos quanto possível sem ultrapassar ou perder nenhuma porção da superfície. Um limiar de tolerância é estipulado para interromper as iterações quando se atinge um ponto suficientemente próximo da superfície. Esse método é frequentemente empregado na renderização de fractais tridimensionais.

Algoritmo de ray tracing recursivo

Os algoritmos primitivos traçavam raios do olho em direção à cena até atingirem um objeto, mas determinavam a cor do ponto sem traçar novos raios recursivamente. O traçado de raios recursivo expande esse processo: quando um raio atinge uma superfície, raios adicionais podem ser lançados devido a fenômenos de reflexão, refração e sombra:

• Um raio de reflexão é traçado na direção da reflexão especular. O objeto mais próximo interceptado por esse raio secundário será o que aparecerá refletido na superfície.
• Um raio de refração que atravessa materiais transparentes opera de maneira similar, com a particularidade de que o raio refratado pode estar ingressando no material ou saindo dele. Turner Whitted expandiu a lógica matemática para raios que atravessam sólidos transparentes, incorporando os efeitos da refração.
• Um raio de sombra é traçado diretamente em direção a cada fonte de luz presente na cena. Se algum corpo opaco for detectado entre o ponto na superfície e a fonte luminosa, a superfície estará na sombra dessa luz e não receberá iluminação direta dela.

Esses raios recursivos conferem expressivo realismo às imagens geradas por traçado de raios.

Vantagens sobre outros métodos de renderização

A popularidade da renderização fundamentada em traçado de raios decorre de sua fidelidade na simulação física do transporte de luz, em contraposição a outros métodos, como a rasterização, que se concentram primariamente na projeção da geometria. Efeitos como reflexões especulares perfeitas e sombras nítidas ou suaves, que demandam aproximações complexas em outros algoritmos, constituem desdobramentos naturais do traçado de raios. A independência computacional de cada raio torna o processo favorável a níveis básicos de paralelização, embora a divergência das trajetórias dos raios no espaço tridimensional torne difícil alcançar alta taxa de ocupação em processadores fortemente paralelos na prática.

Desvantagens

Uma desvantagem histórica considerável do traçado de raios reside em seu custo computacional, embora ele possa, teoricamente, ser mais rápido do que a renderização tradicional por linhas de varredura dependendo da complexidade da cena versus o número de pixels a exibir. Até o final dos anos 2010, o traçado de raios em tempo real para cenas complexas era geralmente considerado inviável em hardwares de consumo. Algoritmos de varredura aproveitam a coerência espacial para compartilhar cálculos entre pixels adjacentes, enquanto o traçado de raios normalmente inicia o processo de forma independente para cada raio que parte do olho. Não obstante, essa dissociação propicia vantagens notáveis, como a possibilidade de lançar raios adicionais sob demanda para realizar anti-aliasing espacial e refinar a qualidade visual onde for necessário.

O algoritmo recursivo clássico no estilo de Whitted calcula inter-reflexões e refrações, mas não atinge por si só o fotorrealismo integral. Um realismo aprimorado é obtido quando a equação de renderização é calculada plenamente, já que ela contempla formalmente todos os fenômenos físicos do fluxo luminoso. Todavia, a avaliação analítica exata é inviável perante os recursos computacionais disponíveis e as limitações na modelagem de materiais. O path tracing avalia numericamente essa equação mediante métodos de Monte Carlo, oferecendo simulações de alta fidelidade da iluminação no mundo real.

Inversão da direção de percurso da cena pelos raios

O procedimento de disparar raios a partir do olho em direção à fonte de luz para renderizar uma imagem é por vezes chamado de traçado de raios reverso (backwards ray tracing), visto que segue a direção oposta à percorrida pelos fótons na natureza. Todavia, essa terminologia gera ambiguidade. Os pioneiros da área sempre traçaram os raios a partir do ponto de observação, e autores como James Arvo empregavam a expressão backwards ray tracing para designar o disparo de raios a partir das fontes luminosas e a subsequente coleta dos dados. Assim, mostra-se mais preciso distinguir o traçado de raios baseado no olho (eye-based) daquele baseado na luz (light-based).

Enquanto a iluminação direta é amostrada com mais eficiência por raios partindo da câmera, determinados efeitos de iluminação indireta beneficiam-se do lançamento de raios originados nas lâmpadas. Cáusticas são padrões luminosos concentrados gerados pela reflexão ou refração da luz em regiões curvas sobre superfícies difusas. Um algoritmo que projeta raios diretamente das fontes sobre corpos refletores ou refratores, acompanhando sua trajetória até o olho, registrará esse fenômeno com precisão superior. A integração das abordagens baseadas no olho e na luz é formalizada no path tracing bidirecional, no qual trajetórias são traçadas simultaneamente a partir da câmera e das fontes de luz, unindo-se por um segmento conector intermediário.

O mapeamento de fótons é outro método que conjuga ambas as estratégias: em uma primeira etapa, pacotes de fótons energéticos são disparados a partir das fontes luminosas para compilar uma estimativa tridimensional do fluxo radiante acumulado no espaço (o mapa de fótons propriamente dito). Na etapa seguinte, raios são projetados a partir da câmera para determinar a visibilidade primária das superfícies, empregando-se o mapa de fótons para interpolar a iluminação incidente. A vantagem do mapeamento de fótons em relação ao traçado bidirecional reside na capacidade de reutilizar as informações de iluminação para múltiplos pixels vizinhos, atenuando o tempo de processamento em troca da introdução de um viés estatístico sutil.

Dificuldades suplementares surgem quando a luz precisa transpor aberturas minúsculas para iluminar um recinto (como uma fresta em uma porta comunicando uma sala escura a um cômodo iluminado), ou em configurações espaciais onde grande parte das superfícies carece de linha de visada direta com as luminárias. Nessas conjunturas, apenas uma fração ínfima das trajetórias transportará energia; o algoritmo de transporte de luz de Metropolis inicia com uma busca estocástica no espaço de caminhos e, ao detectar trajetórias energéticas, reutiliza essas informações explorando o espaço vetorial de raios vizinhos.

À direita ilustra-se um exemplo de trajetória de raios gerados recursivamente a partir da câmera (ou olho) até a fonte de luz. Uma superfície difusa reflete a luz incidente em todas as direções.

Primeiramente, um raio parte da posição da câmera, atravessa um pixel do plano de projeção e penetra na cena, interceptando uma superfície difusa. A partir desse ponto, o algoritmo gera recursivamente um raio de reflexão que avança pelo espaço até colidir com uma segunda superfície difusa. Dali, um novo raio secundário é lançado e atinge a fonte luminosa, onde é absorvido. A cor final do pixel dependerá dos pigmentos de reflectância da primeira e da segunda superfície difusa, bem como da intensidade e matiz da luz emitida pela fonte. Se, por exemplo, a lâmpada irradiar luz branca e ambas as superfícies possuírem tonalidade azul, a cor resultante computada para o pixel será azul.

Exemplo

Como demonstração prática dos princípios matemáticos do traçado de raios, considere-se o cálculo da intersecção analítica entre uma reta e uma esfera tridimensional. Trata-se da geometria subjacente à intersecção reta-esfera e à conseguinte determinação cromática do pixel correspondente.

Na notação vetorial, a equação de uma esfera de centro ${\displaystyle \mathbf {c} }$ e raio ${\displaystyle r}$ expressa-se por:

${\displaystyle \left\Vert \mathbf {x} -\mathbf {c} \right\Vert ^{2}=r^{2}.}$

Qualquer ponto situado ao longo de um raio que parte do ponto de origem ${\displaystyle \mathbf {s} }$ com vetor de direção ${\displaystyle \mathbf {d} }$ (sendo ${\displaystyle \mathbf {d} }$ um vetor unitário) pode ser parametrizado como:

${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {s} +t\mathbf {d} ,}$

onde ${\displaystyle t}$ quantifica a distância escalar entre ${\displaystyle \mathbf {x} }$ e ${\displaystyle \mathbf {s} }$. Em nosso problema, são conhecidos ${\displaystyle \mathbf {c} }$, ${\displaystyle r}$, ${\displaystyle \mathbf {s} }$ e ${\displaystyle \mathbf {d} }$, cabendo determinar o parâmetro ${\displaystyle t}$. Substituindo ${\displaystyle \mathbf {x} }$ na equação da esfera:

${\displaystyle \left\Vert \mathbf {s} +t\mathbf {d} -\mathbf {c} \right\Vert ^{2}=r^{2}.}$

Definindo ${\displaystyle \mathbf {v} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathbf {s} -\mathbf {c} }$ para simplificação:

${\displaystyle \left\Vert \mathbf {v} +t\mathbf {d} \right\Vert ^{2}=r^{2}}$

${\displaystyle \mathbf {v} ^{2}+t^{2}\mathbf {d} ^{2}+2\mathbf {v} \cdot t\mathbf {d} =r^{2}}$

${\displaystyle (\mathbf {d} ^{2})t^{2}+(2\mathbf {v} \cdot \mathbf {d} )t+(\mathbf {v} ^{2}-r^{2})=0.}$

Como ${\displaystyle \mathbf {d} }$ é um vetor unitário (${\displaystyle \mathbf {d} ^{2}=1}$), obtém-se:

${\displaystyle t^{2}+(2\mathbf {v} \cdot \mathbf {d} )t+(\mathbf {v} ^{2}-r^{2})=0.}$

Esta equação do segundo grau fornece as soluções:

${\displaystyle t={\frac {-(2\mathbf {v} \cdot \mathbf {d} )\pm {\sqrt {(2\mathbf {v} \cdot \mathbf {d} )^{2}-4(\mathbf {v} ^{2}-r^{2})}}}{2}}=-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {d} )\pm {\sqrt {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {d} )^{2}-(\mathbf {v} ^{2}-r^{2})}}.}$

Os valores reais calculados para ${\displaystyle t}$ determinam os pontos ${\displaystyle \mathbf {s} +t\mathbf {d} }$ onde o raio atravessa a fronteira da esfera.

Qualquer valor negativo para ${\displaystyle t}$ indica que a intersecção situa-se atrás da origem do raio (na semirreta oposta).

Se o valor sob o radical (o discriminante) for negativo, o raio não intercepta a esfera.

Assumindo a existência de soluções reais positivas, toma-se o menor valor de ${\displaystyle t}$, que representa o impacto mais próximo. Supondo que a esfera seja o corpo mais próximo do ponto de observação e que seu material seja reflexivo, calcula-se a trajetória do raio refletido. A lei da reflexão estabelece que o ângulo de reflexão é igual e simétrico ao ângulo de incidência em relação ao vetor normal no ponto de impacto.

O vetor normal unitário à esfera no ponto de contato é expresso por:

${\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\mathbf {y} -\mathbf {c} }{\left\Vert \mathbf {y} -\mathbf {c} \right\Vert }},}$

onde ${\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {s} +t\mathbf {d} }$ é a coordenada de impacto. A direção do raio refletido ${\displaystyle \mathbf {r} }$ é obtida pela reflexão vetorial de ${\displaystyle \mathbf {d} }$ em relação a ${\displaystyle \mathbf {n} }$:

${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {d} -2(\mathbf {n} \cdot \mathbf {d} )\mathbf {n} .}$

Assim, o raio refletido é parametrizado como:

${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {y} +u\mathbf {r} .\,}$

Calcula-se então a intersecção desse novo raio com as demais superfícies e fontes luminosas da cena. Por fim, a cor apurada nessa cadeia recursiva é combinada com os coeficientes de cor da esfera para definir o tom cromático exibido no pixel correspondente.

Middleware

• GPUOpen
• Nvidia GameWorks

APIs gráficas

• Metal (API)
• Vulkan
• DirectX (DirectX Raytracing)