Teorema de Maschke

Em matemática, o teorema de Maschke, assim chamado em homenagem a Heinrich Maschke, é um teorema da teoria das representações de grupos que trata da decomposição de representações de um grupo finito em partes irredutíveis. O teorema de Maschke permite tirar conclusões gerais sobre representações de um grupo finito G sem realmente calculá-las. Ele reduz a tarefa de classificar todas as representações a uma tarefa mais administrável de classificar representações irredutíveis, pois quando o teorema se aplica, qualquer representação é uma soma direta de partes irredutíveis (constituintes). Além disso, segue-se do teorema de Jordan–Hölder que, embora a decomposição em uma soma direta de subrepresentações irredutíveis possa não ser única, as partes irredutíveis têm multiplicidades bem definidas. Em particular, uma representação de um grupo finito sobre um corpo de característica zero é determinada a menos de isomorfismo por seu caractere.

Formulações

O teorema de Maschke aborda a questão: quando uma representação geral (de dimensão finita) é construída a partir de subrepresentações irredutíveis usando a operação de soma direta? Esta questão (e sua resposta) são formuladas de maneira diferente para diferentes perspectivas sobre a teoria das representações de grupos.

Teoria de grupos

O teorema de Maschke é comumente formulado como um corolário do seguinte resultado:

Teorema — Seja $V$ uma representação de um grupo finito $G$ sobre um corpo $\mathbb {F}$ com característica não dividindo a ordem de $G$ . Se $V$ tem uma subrepresentação $W$ , então ela tem outra subrepresentação $U$ tal que $V=W\oplus U$ .

Então o corolário é

Corolário (teorema de Maschke) — Toda representação de um grupo finito $G$ sobre um corpo $\mathbb {F}$ com característica não dividindo a ordem de $G$ é uma soma direta de representações irredutíveis.

O espaço vetorial de funções de classe de valor complexo de um grupo $G$ tem uma estrutura natural de produto interno $G$ -invariante, descrita no artigo relações de ortogonalidade de Schur. O teorema de Maschke foi originalmente provado para o caso de representações sobre $\mathbb {C}$ construindo $U$ como o complemento ortogonal de $W$ sob este produto interno.

Teoria de módulos

Uma das abordagens para representações de grupos finitos é através da teoria de módulos. Representações de um grupo $G$ são substituídas por módulos sobre sua álgebra de grupo $K[G]$ (para ser preciso, há um isomorfismo de categorias entre $K[G]{\text{-Mod}}$ e $\operatorname {Rep} _{G}$ , a categoria de representações de $G$ ). Representações irredutíveis correspondem a módulos simples. Na linguagem da teoria de módulos, o teorema de Maschke pergunta: um módulo arbitrário é semissimples? Neste contexto, o teorema pode ser reformulado da seguinte forma:

Teorema de Maschke — Seja $G$ um grupo finito e $K$ um corpo cuja característica não divide a ordem de $G$ . Então $K[G]$ , a álgebra de grupo de $G$ , é semissimples.

A importância deste resultado decorre da teoria bem desenvolvida de anéis semissimples, em particular, sua classificação dada pelo teorema de Wedderburn–Artin. Quando $K$ é o corpo dos números complexos, isso mostra que a álgebra $K[G]$ é um produto de várias cópias de álgebras de matrizes complexas, uma para cada representação irredutível. Se o corpo $K$ tem característica zero, mas não é algebricamente fechado, por exemplo, se $K$ é o corpo dos números reais ou racionais, então uma afirmação um pouco mais complicada é válida: a álgebra de grupo $K[G]$ é um produto de álgebras de matrizes sobre anéis de divisão sobre $K$ . As parcelas correspondem a representações irredutíveis de $G$ sobre $K$ .

Teoria das categorias

Reformulado na linguagem das categorias semissimples, o teorema de Maschke afirma

Teorema de Maschke — Se G é um grupo e F é um corpo com característica não dividindo a ordem de G, então a categoria de representações de G sobre F é semissimples.

Provas

Teoria de grupos

Seja U um subespaço de V complementar de W. Seja $p_{0}:V\to W$ a função projeção, i.e., $p_{0}(w+u)=w$ para quaisquer $u\in U,w\in W$ .

Defina ${\textstyle p(x)={\frac {1}{\#G}}\sum _{g\in G}g\cdot p_{0}\cdot g^{-1}(x)}$ , onde $g\cdot p_{0}\cdot g^{-1}$ é uma abreviatura de $\rho _{W}{g}\cdot p_{0}\cdot \rho _{V}{g^{-1}}$ , com $\rho _{W}{g},\rho _{V}{g^{-1}}$ sendo a representação de G em W e V. Então, $\ker p$ é preservado por G sob a representação $\rho _{V}$ : para quaisquer $w'\in \ker p,h\in G$ , ${\begin{aligned}p(hw')&=h\cdot h^{-1}{\frac {1}{\#G}}\sum _{g\in G}g\cdot p_{0}\cdot g^{-1}(hw')\\&=h\cdot {\frac {1}{\#G}}\sum _{g\in G}(h^{-1}\cdot g)\cdot p_{0}\cdot (g^{-1}h)w'\\&=h\cdot {\frac {1}{\#G}}\sum _{g\in G}g\cdot p_{0}\cdot g^{-1}w'\\&=h\cdot p(w')\\&=0\end{aligned}}$

portanto, $w'\in \ker p$ implica que $hw'\in \ker p$ . Logo, a restrição de $\rho _{V}$ a $\ker p$ também é uma representação.

Pela definição de $p$ , para qualquer $w\in W$ , $p(w)=w$ , então $W\cap \ker \ p=\{0\}$ , e para qualquer $v\in V$ , $p(p(v))=p(v)$ . Assim, $p(v-p(v))=0$ , e $v-p(v)\in \ker p$ . Portanto, $V=W\oplus \ker p$ .

Teoria de módulos

Seja V um K[G]-submódulo. Provaremos que V é uma parcela direta. Seja π uma projeção K-linear qualquer de K[G] sobre V. Considere o mapa ${\begin{cases}\varphi :K[G]\to V\\\varphi :x\mapsto {\frac {1}{\#G}}\sum _{s\in G}s\cdot \pi (s^{-1}\cdot x)\end{cases}}$

Então φ é novamente uma projeção: é claramente K-linear, mapeia K[G] em V e induz a identidade em V (portanto, mapeia K[G] sobre V). Além disso, temos

${\begin{aligned}\varphi (t\cdot x)&={\frac {1}{\#G}}\sum _{s\in G}s\cdot \pi (s^{-1}\cdot t\cdot x)\\&={\frac {1}{\#G}}\sum _{u\in G}t\cdot u\cdot \pi (u^{-1}\cdot x)\\&=t\cdot \varphi (x),\end{aligned}}$

portanto, φ é de fato K[G]-linear. Pelo lema do splitting, $K[G]=V\oplus \ker \varphi$ . Isso prova que todo submódulo é uma parcela direta, ou seja, K[G] é semissimples.

Afirmação recíproca

A prova acima depende do fato de que #G é invertível em K. Isso pode levar alguém a perguntar se a recíproca do teorema de Maschke também é válida: se a característica de K divide a ordem de G, segue-se que K[G] não é semissimples? A resposta é sim.

Prova. Para ${\textstyle x=\sum \lambda _{g}g\in K[G]}$ defina ${\textstyle \epsilon (x)=\sum \lambda _{g}}$ . Seja $I=\ker \epsilon$ . Então I é um K[G]-submódulo. Provaremos que para todo submódulo não trivial V de K[G], $I\cap V\neq 0$ . Seja V dado, e seja ${\textstyle v=\sum \mu _{g}g}$ um elemento não nulo qualquer de V. Se $\epsilon (v)=0$ , a afirmação é imediata. Caso contrário, seja ${\textstyle s=\sum 1g}$ . Então $\epsilon (s)=\#G\cdot 1=0$ então $s\in I$ e $sv=\left(\sum 1g\right)\!\left(\sum \mu _{g}g\right)=\sum \epsilon (v)g=\epsilon (v)s$

de modo que $sv$ é um elemento não nulo tanto de I quanto de V. Isso prova que V não é um complemento direto de I para todo V, portanto K[G] não é semissimples.

Não exemplos

O teorema não pode ser aplicado ao caso em que G é infinito, ou quando o corpo K tem características dividindo #G. Por exemplo,

Considere o grupo infinito $\mathbb {Z}$ e a representação ${\displaystyle \rho$ definida por $\rho (n)={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}^{n}={\begin{bmatrix}1&n\\0&1\end{bmatrix}}$ . Seja $W=\mathbb {C} \cdot {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}$ , um subespaço 1-dimensional de $\mathbb {C} ^{2}$ gerado por ${\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}$ . Então a restrição de $\rho$ a W é uma subrepresentação trivial de $\mathbb {Z}$ . No entanto, não existe U tal que tanto W quanto U sejam subrepresentações de $\mathbb {Z}$ e $\mathbb {C} ^{2}=W\oplus U$ : qualquer tal U precisa ser 1-dimensional, mas qualquer subespaço 1-dimensional preservado por $\rho$ tem que ser gerado por um autovetor para ${\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}$ , e o único autovetor para essa matriz é ${\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}$ .
Considere um primo p, e o grupo $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ , corpo $K=\mathbb {F} _{p}$ , e a representação ${\displaystyle \rho$ definida por $\rho (n)={\begin{bmatrix}1&n\\0&1\end{bmatrix}}$ . Cálculos simples mostram que há apenas um autovetor para ${\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}$ aqui, portanto, pelo mesmo argumento, a subrepresentação 1-dimensional de $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ é única, e $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ não pode ser decomposta na soma direta de duas subrepresentações 1-dimensionais.