Teorema de Ribet

O teorema de Ribet (anteriormente chamado de conjectura épsilon ou conjectura ε) faz parte da teoria dos números. Ele diz respeito a propriedades das representações de Galois associadas a formas modulares. Foi proposto por Jean-Pierre Serre e provado por Ken Ribet. A prova foi um passo significativo rumo à demonstração do Último Teorema de Fermat (UTF). Como mostrado por Serre e Ribet, a conjectura de Taniyama–Shimura (cujo status ainda não estava resolvido na época) e a conjectura épsilon juntas implicam que o UTF é verdadeiro.

Em termos matemáticos, o teorema de Ribet mostra que se a representação de Galois associada a uma curva elíptica possui certas propriedades, então essa curva não pode ser modular (no sentido de que não pode existir uma forma modular que dê origem à mesma representação).

Enunciado

Seja ${\displaystyle f}$ uma forma nova (newform) de peso 2 em ${\displaystyle \Gamma _{0}(qN)}$ — isto é, de nível ${\displaystyle qN}$ onde ${\displaystyle q}$ não divide ${\displaystyle N}$ — com uma representação de Galois mod ${\displaystyle p}$ bidimensional absolutamente irredutível ${\displaystyle \rho _{f,p}}$ não ramificada em ${\displaystyle q}$ se ${\displaystyle q\neq p}$ e finita e plana em ${\displaystyle q=p}$. Então existe uma forma nova ${\displaystyle g}$ de peso 2 de nível ${\displaystyle N}$ tal que

${\displaystyle \rho _{f,p}\simeq \rho _{g,p}.}$

Em particular, se ${\displaystyle E}$ é uma curva elíptica sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ com condutor ${\displaystyle qN}$, então o teorema da modularidade garante que existe uma forma nova ${\displaystyle f}$ de peso 2 de nível ${\displaystyle qN}$ tal que a representação de Galois mod ${\displaystyle p}$ bidimensional ${\displaystyle \rho _{f,p}}$ de ${\displaystyle f}$ é isomorfa à representação de Galois mod ${\displaystyle p}$ bidimensional ${\displaystyle \rho _{E,p}}$ de ${\displaystyle E}$. Para aplicar o Teorema de Ribet a ${\displaystyle \rho _{E,p}}$, basta verificar a irredutibilidade e a ramificação de ${\displaystyle \rho _{E,p}}$. Usando a teoria da curva de Tate, pode-se provar que ${\displaystyle \rho _{E,p}}$ é não ramificada em ${\displaystyle q\neq p}$ e finita e plana em ${\displaystyle q=p}$ se ${\displaystyle p}$ divide a potência com a qual ${\displaystyle q}$ aparece no discriminante minimal ${\displaystyle \Delta _{E}}$. Então, o teorema de Ribet implica que existe uma forma nova ${\displaystyle g}$ de peso 2 de nível ${\displaystyle N}$ tal que ${\displaystyle \rho _{g,p}\simeq \rho _{E,p}}$.

Redução de nível

O teorema de Ribet afirma que começar com uma curva elíptica ${\displaystyle E}$ de condutor ${\displaystyle qN}$ não garante a existência de uma curva elíptica ${\displaystyle E^{\prime }}$ de nível ${\displaystyle N}$ tal que ${\displaystyle \rho _{E,p}\simeq \rho _{E^{\prime },p}}$. A forma nova ${\displaystyle g}$ de nível ${\displaystyle N}$ pode não ter coeficientes de Fourier racionais e, portanto, pode estar associada a uma variedade abeliana de dimensão superior, e não a uma curva elíptica. Por exemplo, a curva elíptica 4171a1 no banco de dados de Cremona dada pela equação

${\displaystyle E:y^{2}+xy+y=x^{3}-663204x+206441595}$

com condutor ${\displaystyle 43\times 97}$ e discriminante ${\displaystyle 43^{7}\times 97^{3}}$ não sofre redução de nível mod 7 para uma curva elíptica de condutor 97. Em vez disso, a representação de Galois mod ${\displaystyle p}$ é isomorfa à representação de Galois mod ${\displaystyle p}$ de uma forma nova irracional ${\displaystyle g}$ de nível 97.

No entanto, para um ${\displaystyle p}$ grande o suficiente em comparação com o nível ${\displaystyle N}$ da forma nova de nível reduzido, uma forma nova racional (por exemplo, uma curva elíptica) deve reduzir de nível para outra forma nova racional (por exemplo, uma curva elíptica). Em particular para ${\displaystyle p\gg N^{N^{1+\varepsilon }}}$, a representação de Galois mod ${\displaystyle p}$ de uma forma nova racional não pode ser isomorfa a uma forma nova irracional de nível ${\displaystyle N}$.

De maneira semelhante, a conjectura de Frey-Mazur prevê que para um ${\displaystyle p}$ grande o suficiente (independente do condutor ${\displaystyle N}$), curvas elípticas com representações de Galois mod ${\displaystyle p}$ isomorfas são, de fato, isógenas e, portanto, têm o mesmo condutor. Assim, prevê-se que a redução de nível não trivial entre formas novas racionais não ocorra para valores grandes de ${\displaystyle p}$ (${\displaystyle p>17}$).

História

Em sua tese, Yves Hellegouarch teve a ideia original de associar as soluções (${\displaystyle a,b,c}$) da equação de Fermat a um objeto matemático diferente: uma curva elíptica. Se ${\displaystyle p}$ é um primo ímpar e ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, e ${\displaystyle c}$ são números inteiros positivos tais que

${\displaystyle a^{p}+b^{p}=c^{p},}$

então uma curva de Frey correspondente é uma curva algébrica dada pela equação

${\displaystyle y^{2}=x(x-a^{p})(x+b^{p}).}$

Esta é uma curva algébrica não singular de gênero um definida sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, e o seu completamento projetivo é uma curva elíptica sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

Em 1982, Gerhard Frey chamou a atenção para as propriedades incomuns da mesma curva, agora chamada de curva de Frey. Isso forneceu uma ponte entre Fermat e Taniyama, ao mostrar que um contraexemplo para o UTF criaria uma curva que não seria modular. A conjectura atraiu considerável interesse quando Frey sugeriu que a conjectura de Taniyama-Shimura implicava o UTF. Contudo, seu argumento não estava completo. Em 1985, Jean-Pierre Serre propôs que uma curva de Frey não poderia ser modular e forneceu uma prova parcial. Isso demonstrou que uma prova do caso semiestável da conjectura de Taniyama-Shimura implicaria o UTF. Serre não apresentou uma prova completa e a parte que faltava ficou conhecida como a conjectura épsilon ou conjectura ${\displaystyle \varepsilon }$. No verão de 1986, Kenneth Ribet provou a conjectura épsilon, provando assim que o Teorema da modularidade implicava o UTF.

A origem do nome vem da parte ${\displaystyle \varepsilon }$ de "conjectura de Taniyama-Shimura + ${\displaystyle \varepsilon \Rightarrow }$ último teorema de Fermat".

Implicações

Suponha que a equação de Fermat com expoente ${\displaystyle p\geq 5}$ tivesse uma solução em inteiros não nulos ${\displaystyle a,b,c}$. A curva de Frey correspondente ${\displaystyle E_{a^{p},b^{p},c^{p}}}$ é uma curva elíptica cujo discriminante minimal ${\displaystyle \Delta }$ é igual a ${\displaystyle 2^{-8}(abc)^{2p}}$ e cujo condutor ${\displaystyle N}$ é o radical de ${\displaystyle abc}$, isto é, o produto de todos os primos distintos que dividem ${\displaystyle abc}$. Uma análise elementar da equação ${\displaystyle a^{p}+b^{p}=c^{p}}$ deixa claro que um entre ${\displaystyle a,b,c}$ é par e, portanto, ${\displaystyle N}$ também é. Pela conjectura de Taniyama-Shimura, ${\displaystyle E}$ é uma curva elíptica modular. Uma vez que todos os primos ímpares que dividem ${\displaystyle a,b,c}$ em ${\displaystyle N}$ aparecem elevados a uma potência ${\displaystyle p}$ no discriminante minimal ${\displaystyle \Delta }$, pelo teorema de Ribet a descida repetitiva de nível módulo ${\displaystyle p}$ remove todos os primos ímpares do condutor. No entanto, nenhuma forma nova de nível 2 permanece porque o gênero da curva modular ${\displaystyle X_{0}(2)}$ é zero (e as formas novas de nível ${\displaystyle N}$ são diferenciais em ${\displaystyle X_{0}(N)}$).

Ver também

• Conjectura abc
• Demonstração de Wiles do Último Teorema de Fermat

Referências

1. ↑ «The Proof of Fermat's Last Theorem». 10 de dezembro de 2008. Cópia arquivada em 10 de dezembro de 2008 
2. ↑ Silliman, Jesse; Vogt, Isabel (2015). «Powers in Lucas Sequences via Galois Representations». Proceedings of the American Mathematical Society. 143 (3): 1027–1041. CiteSeerX 10.1.1.742.7591. MR 3293720. arXiv:1307.5078. doi:10.1090/S0002-9939-2014-12316-1 
3. ↑ Hellegouarch, Yves (1972). «Courbes elliptiques et equation de Fermat». Doctoral Dissertation. Predefinição:BNF 
4. ↑ Frey, Gerhard (1982). «Rationale Punkte auf Fermatkurven e getwisteten Modulkurven» [Rational points on Fermat curves and twisted modular curves]. J. Reine Angew. Math. (em alemão). 1982 (331): 185–191. MR 0647382. doi:10.1515/crll.1982.331.185 
5. ↑ Frey, Gerhard (1986). «Links between stable elliptic curves and certain Diophantine equations». Annales Universitatis Saraviensis. Series Mathematicae. 1 (1): iv+40. ISSN 0933-8268. MR 853387 
6. ↑ Serre, J.-P. (1987). «Lettre à J.-F. Mestre [Letter to J.-F. Mestre]». Current trends in arithmetical algebraic geometry (Arcata, Calif., 1985). Col: Contemporary Mathematics (em francês). 67. Providence, RI: American Mathematical Society. pp. 263–268. ISBN 9780821850749. MR 902597. doi:10.1090/conm/067/902597 
7. ↑ Serre, Jean-Pierre (1987). «Sur les représentations modulaires de degré 2 de Gal(Q/Q)». Duke Mathematical Journal. 54 (1): 179–230. ISSN 0012-7094. MR 885783. doi:10.1215/S0012-7094-87-05413-5 
8. 1 2 Ribet, Ken (1990). «On modular representations of Gal(Q/Q) arising from modular forms» (PDF). Inventiones Mathematicae. 100 (2): 431–476. Bibcode:1990InMat.100..431R. MR 1047143. doi:10.1007/BF01231195 

Bibliografias

• Kenneth Ribet, From the Taniyama-Shimura conjecture to Fermat's last theorem. Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse Sér. 5, 11 no. 1 (1990), p. 116–139.
• Andrew Wiles (maio de 1995). «Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem» (PDF). Annals of Mathematics. 141 (3): 443–551. CiteSeerX 10.1.1.169.9076. JSTOR 2118559. doi:10.2307/2118559. Consultado em 22 de maio de 2006. Cópia arquivada (PDF) em 10 de maio de 2011 
• Richard Taylor e Andrew Wiles (maio de 1995). «Ring-theoretic properties of certain Hecke algebras» (PDF). Annals of Mathematics. 141 (3): 553–572. CiteSeerX 10.1.1.128.531. ISSN 0003-486X. JSTOR 2118560. OCLC 37032255. Zbl 0823.11030. doi:10.2307/2118560. Consultado em 8 de setembro de 2011. Cópia arquivada (PDF) em 9 de março de 2017 
• Curva de Frey e Teorema de Ribet no MathWorld.

Ligações externas

• Ken Ribet and Fermat's Last Theorem por Kevin Buzzard, 28 de junho de 2008