Torre de Postnikov

Em teoria da homotopia, um ramo da topologia algébrica, um sistema de Postnikov (ou torre de Postnikov) é uma forma de decompor um espaço topológico filtrando seu tipo de homotopia. Para um espaço $X$ , trata-se de uma lista de espaços $\{X_{n}\}_{n\geq 0}$ onde

$\pi _{k}(X_{n})={\begin{cases}\pi _{k}(X)&{\text{ para }}k\leq n\\0&{\text{ para }}k>n\end{cases}}$

e uma série de mapas $\phi _{n}:X_{n}\to X_{n-1}$ que são fibrações com espaços de Eilenberg-MacLane $K(\pi _{n}(X),n)$ como fibras. Em suma, estamos decompondo o tipo de homotopia de $X$ usando um sistema inverso de espaços topológicos cujo tipo de homotopia no grau $k$ coincide com o tipo de homotopia truncado do espaço original $X$ . Os sistemas de Postnikov foram introduzidos por, e recebem o nome de, Mikhail Postnikov.

Existe uma construção semelhante chamada torre de Whitehead (definida abaixo) onde, em vez de ter espaços $X_{n}$ com o tipo de homotopia de $X$ para graus $\leq n$ , esses espaços têm grupos de homotopia nulos $\pi _{k}(X_{n})=0$ para $1<k<n$ .

Definição

Um sistema de Postnikov de um espaço conexo por caminhos $X$ é um sistema inverso de espaços

\cdots \to X_{n}\xrightarrow {p_{n}} X_{n-1}\xrightarrow {p_{n-1}} \cdots \xrightarrow {p_{3}} X_{2}\xrightarrow {p_{2}} X_{1}\xrightarrow {p_{1}} *

com uma sequência de mapas $\phi _{n}:X\to X_{n}$ compatíveis com o sistema inverso tais que

O mapa $\phi _{n}:X\to X_{n}$ induz um isomorfismo $\pi _{i}(X)\to \pi _{i}(X_{n})$ para todo $i\leq n$ .
$\pi _{i}(X_{n})=0$ para $i>n$ .^:410
Cada mapa $p_{n}:X_{n}\to X_{n-1}$ é uma fibração e, portanto, a fibra $F_{n}$ é um espaço de Eilenberg–MacLane, $K(\pi _{n}(X),n)$ .

As duas primeiras condições implicam que $X_{1}$ é também um espaço $K(\pi _{1}(X),1)$ . Mais geralmente, se $X$ é $(n-1)$ -conexo, então $X_{n}$ é um espaço $K(\pi _{n}(X),n)$ e todos os $X_{i}$ para $i<n$ são contrácteis. Observe que a terceira condição é incluída apenas opcionalmente por alguns autores.

Existência

Os sistemas de Postnikov existem em complexos CW conexos,^:354 e há uma equivalência fraca de homotopia entre $X$ e seu limite inverso, de modo que

X\simeq \varprojlim {}X_{n}

,

mostrando que $X$ é uma aproximação CW de seu limite inverso. Eles podem ser construídos em um complexo CW matando iterativamente grupos de homotopia. Se tivermos um mapa $f:S^{n}\to X$ representando uma classe de homotopia $[f]\in \pi _{n}(X)$ , podemos tomar o pushout ao longo do mapa de bordo $S^{n}\to e_{n+1}$ , matando a classe de homotopia. Para $X_{m}$ , este processo pode ser repetido para todos $n>m$ , dando um espaço que tem grupos de homotopia $\pi _{n}(X_{m})$ evanescentes. Usando o fato de que $X_{n-1}$ pode ser construído a partir de $X_{n}$ matando todos os mapas de homotopia $S^{n}\to X_{n}$ , obtemos um mapa $X_{n}\to X_{n-1}$ .

Propriedade principal

Uma das principais propriedades da torre de Postnikov, que a torna tão poderosa para estudar enquanto se calcula cohomologia, é o fato de que os espaços $X_{n}$ são homotópicos a um complexo CW ${\mathfrak {X}}_{n}$ que difere de $X$ apenas por células de dimensão $\geq n+2$ .

Classificação homotópica de fibrações

A sequência de fibrações $p_{n}:X_{n}\to X_{n-1}$ tem invariantes definidos homotopicamente, ou seja, as classes de homotopia dos mapas $p_{n}$ fornecem um tipo de homotopia bem definido $[X]\in \operatorname {Ob} (hTop)$ . A classe de homotopia de $p_{n}$ vem da análise da classe de homotopia do mapa classificante para a fibra $K(\pi _{n}(X),n)$ . O mapa classificante associado é

X_{n-1}\to B(K(\pi _{n}(X),n))\simeq K(\pi _{n}(X),n+1)

,

portanto, a classe de homotopia $[p_{n}]$ é classificada por uma classe de homotopia

[p_{n}]\in [X_{n-1},K(\pi _{n}(X),n+1)]\cong H^{n+1}(X_{n-1},\pi _{n}(X))

chamada de n-ésimo invariante de Postnikov de $X$ , uma vez que as classes de homotopia de mapas para espaços de Eilenberg-Maclane fornecem cohomologia com coeficientes no grupo abeliano associado.

Sequência de fibra para espaços com dois grupos de homotopia não triviais

Um dos casos especiais da classificação homotópica é a classe de homotopia de espaços $X$ tais que existe uma fibração

K(A,n)\to X\to \pi _{1}(X)

fornecendo um tipo de homotopia com dois grupos de homotopia não triviais, $\pi _{1}(X)=G$ e $\pi _{n}(X)=A$ . Então, da discussão anterior, o mapa de fibração $BG\to K(A,n+1)$ fornece uma classe de cohomologia em

H^{n+1}(BG,A)

,

que também pode ser interpretada como uma classe de cohomologia de grupos. Este espaço $X$ pode ser considerado um sistema local superior.

Exemplos de torres de Postnikov

Torre de Postnikov de um K(G, n)

Um dos casos conceitualmente mais simples de uma torre de Postnikov é o do espaço de Eilenberg–Maclane $K(G,n)$ . Isso fornece uma torre com

{\begin{matrix}X_{i}\simeq *&{\text{para }}i<n\\X_{i}\simeq K(G,n)&{\text{para }}i\geq n\end{matrix}}

Torre de Postnikov de S²

A torre de Postnikov para a esfera $S^{2}$ é um caso especial cujos primeiros termos podem ser entendidos explicitamente. Como temos os primeiros grupos de homotopia da simples conexidade de $S^{2}$ , teoria do grau de esferas e a fibração de Hopf, fornecendo $\pi _{k}(S^{2})\simeq \pi _{k}(S^{3})$ para $k\geq 3$ , portanto

{\begin{matrix}\pi _{1}(S^{2})=&0\\\pi _{2}(S^{2})=&\mathbb {Z} \\\pi _{3}(S^{2})=&\mathbb {Z} \\\pi _{4}(S^{2})=&\mathbb {Z} /2.\end{matrix}}

Então, $X_{2}=S_{2}^{2}=K(\mathbb {Z} ,2)$ , e $X_{3}$ vem de uma sequência de pullback

{\begin{matrix}X_{3}&\to &*\\\downarrow &&\downarrow \\X_{2}&\to &K(\mathbb {Z} ,4),\end{matrix}}

que é um elemento em

[p_{3}]\in [K(\mathbb {Z} ,2),K(\mathbb {Z} ,4)]\cong H^{4}(\mathbb {CP} ^{\infty })=\mathbb {Z}

.

Se isso fosse trivial, implicaria $X_{3}\simeq K(\mathbb {Z} ,2)\times K(\mathbb {Z} ,3)$ . Mas este não é o caso! Na verdade, isso é responsável por que strict infinity groupoids não modelam tipos de homotopia. Calcular este invariante requer mais trabalho, mas pode ser explicitamente encontrado. Esta é a forma quadrática $x\mapsto x^{2}$ em $\mathbb {Z} \to \mathbb {Z}$ proveniente da fibração de Hopf $S^{3}\to S^{2}$ . Observe que cada elemento em $H^{4}(\mathbb {CP} ^{\infty })$ fornece um 3-tipo de homotopia diferente.

Grupos de homotopia de esferas

Uma aplicação da torre de Postnikov é o cálculo de grupos de homotopia de esferas. Para uma $n$ -esfera $S^{n}$ , podemos usar o teorema de Hurewicz para mostrar que cada $S_{i}^{n}$ é contrátil para $i<n$ , uma vez que o teorema implica que os grupos de homotopia inferiores são triviais. Lembre-se de que há uma sequência espectral para qualquer fibração de Serre, como a fibração

K(\pi _{n+1}(X),n+1)\simeq F_{n+1}\to S_{n+1}^{n}\to S_{n}^{n}\simeq K(\mathbb {Z} ,n)

.

Podemos então formar uma sequência espectral homológica com termos $E^{2}$

E_{p,q}^{2}=H_{p}\left(K(\mathbb {Z} ,n),H_{q}\left(K\left(\pi _{n+1}\left(S^{n}\right),n+1\right)\right)\right)

.

E o primeiro mapa não trivial para $\pi _{n+1}\left(S^{n}\right)$ ,

d_{0,n+1}^{n+1}:H_{n+2}(K(\mathbb {Z} ,n))\to H_{0}\left(K(\mathbb {Z} ,n),H_{n+1}\left(K\left(\pi _{n+1}\left(S^{n}\right),n+1\right)\right)\right)

,

escrito equivalentemente como

d_{0,n+1}^{n+1}:H_{n+2}(K(\mathbb {Z} ,n))\to \pi _{n+1}\left(S^{n}\right)

.

Se for fácil calcular $H_{n+1}\left(S_{n+1}^{n}\right)$ e $H_{n+2}\left(S_{n+2}^{n}\right)$ , então podemos obter informações sobre como esse mapa se parece. Em particular, se for um isomorfismo, obtemos um cálculo de $\pi _{n+1}\left(S^{n}\right)$ . Para o caso $n=3$ , isso pode ser calculado explicitamente usando a fibração de caminhos para $K(\mathbb {Z} ,3)$ , a propriedade principal da torre de Postnikov para ${\mathfrak {X}}_{4}\simeq S^{3}\cup \{{\text{células de dimensão}}\geq 6\}$ (fornecendo $H_{4}(X_{4})=H_{5}(X_{4})=0$ ), e o teorema do coeficiente universal fornecendo $\pi _{4}\left(S^{3}\right)=\mathbb {Z} /2$ . Além disso, devido ao teorema da suspensão de Freudenthal, isso na verdade fornece o grupo de homotopia estável $\pi _{1}^{\mathbb {S} }$ , uma vez que $\pi _{n+k}\left(S^{n}\right)$ é estável para $n\geq k+2$ .

Observe que técnicas semelhantes podem ser aplicadas usando a torre de Whitehead (abaixo) para calcular $\pi _{4}\left(S^{3}\right)$ e $\pi _{5}\left(S^{3}\right)$ , fornecendo os primeiros dois grupos de homotopia estáveis não triviais de esferas.

Torres de Postnikov de espectros

Além da torre de Postnikov clássica, há uma noção de torres de Postnikov em teoria da homotopia estável construídas em espectros^{págs 85-86}.

Definição

Para um espectro $E$ , uma torre de Postnikov de $E$ é um diagrama na categoria de homotopia de espectros, ${\text{Ho}}({\textbf {Spectra}})$ , dado por

\cdots \to E_{(2)}\xrightarrow {p_{2}} E_{(1)}\xrightarrow {p_{1}} E_{(0)}

,

com mapas

\tau _{n}:E\to E_{(n)}

comutando com os mapas $p_{n}$ . Então, esta torre é uma torre de Postnikov se as duas condições a seguir forem satisfeitas:

$\pi _{i}^{\mathbb {S} }\left(E_{(n)}\right)=0$ para $i>n$ ,
$\left(\tau _{n}\right)_{*}:\pi _{i}^{\mathbb {S} }(E)\to \pi _{i}^{\mathbb {S} }\left(E_{(n)}\right)$ é um isomorfismo para $i\leq n$ ,

onde $\pi _{i}^{\mathbb {S} }$ são grupos de homotopia estáveis de um espectro. Acontece que todo espectro tem uma torre de Postnikov e essa torre pode ser construída usando um tipo semelhante de procedimento indutivo ao dado acima.

Torre de Whitehead

Dado um complexo CW $X$ , existe uma construção dual à torre de Postnikov chamada torre de Whitehead. Em vez de matar todos os grupos de homotopia superiores, a torre de Whitehead mata iterativamente grupos de homotopia inferiores. Isso é dado por uma torre de complexos CW,

\cdots \to X_{3}\to X_{2}\to X_{1}\to X

,

onde

Os grupos de homotopia inferiores são zero, então $\pi _{i}(X_{n})=0$ para $i\leq n$ .
O mapa induzido $\pi _{i}:\pi _{i}(X_{n})\to \pi _{i}(X)$ é um isomorfismo para $i>n$ .
Os mapas $X_{n}\to X_{n-1}$ são fibrações com fibra $K(\pi _{n}(X),n-1)$ .

Implicações

Observe que $X_{1}\to X$ é o recobrimento universal de $X$ , uma vez que é um espaço de recobrimento com um recobrimento simplesmente conexo. Além disso, cada $X_{n}\to X$ é o recobrimento $n$ -conexo universal de $X$ .

Construção

Os espaços $X_{n}$ na torre de Whitehead são construídos indutivamente. Se construirmos um $K\left(\pi _{n+1}(X),n+1\right)$ matando os grupos de homotopia superiores em $X_{n}$ , obtemos uma imersão $X_{n}\to K(\pi _{n+1}(X),n+1)$ . Se definirmos

X_{n+1}=\left\{f\colon I\to K\left(\pi _{n+1}(X),n+1\right):f(0)=p{\text{ e }}f(1)\in X_{n}\right\}

para algum ponto base fixo $p$ , então o mapa induzido $X_{n+1}\to X_{n}$ é um fibrado com fibra homeomorfa a

\Omega K\left(\pi _{n+1}(X),n+1\right)\simeq K\left(\pi _{n+1}(X),n\right)

,

e assim temos uma fibração de Serre

K\left(\pi _{n+1}(X),n\right)\to X_{n}\to X_{n-1}

.

Usando a longa sequência exata em teoria da homotopia, temos que $\pi _{i}(X_{n})=\pi _{i}\left(X_{n-1}\right)$ para $i\geq n+1$ , $\pi _{i}(X_{n})=\pi _{i}(X_{n-1})=0$ para $i<n-1$ , e finalmente, há uma sequência exata

0\to \pi _{n+1}\left(X_{n+1}\right)\to \pi _{n+1}\left(X_{n}\right)\mathrel {\overset {\partial }{\rightarrow }} \pi _{n}K\left(\pi _{n+1}(X),n\right)\to \pi _{n}\left(X_{n+1}\right)\to 0

,

onde se o morfismo do meio for um isomorfismo, os outros dois grupos são zero. Isso pode ser verificado observando a inclusão $X_{n}\to K(\pi _{n+1}(X),n+1)$ e notando que o espaço de Eilenberg–Maclane tem uma decomposição celular

X_{n-1}\cup \{{\text{células de dimensão}}\geq n+2\}

; assim,

\pi _{n+1}\left(X_{n}\right)\cong \pi _{n+1}\left(K\left(\pi _{n+1}(X),n+1\right)\right)\cong \pi _{n}\left(K\left(\pi _{n+1}(X),n\right)\right)

,

fornecendo o resultado desejado.

Como uma fibra de homotopia

Outra forma de ver os componentes na torre de Whitehead é como uma fibra de homotopia. Se tomarmos

{\text{Hofiber}}(\phi _{n}:X\to X_{n})

da torre de Postnikov, obtemos um espaço $X^{n}$ que tem

\pi _{k}(X^{n})={\begin{cases}\pi _{k}(X)&k>n\\0&k\leq n\end{cases}}

Torre de Whitehead de espectros

A noção dual da torre de Whitehead pode ser definida de maneira semelhante usando fibras de homotopia na categoria de espectros. Se definirmos

E\langle n\rangle =\operatorname {Hofiber} \left(\tau _{n}:E\to E_{(n)}\right)

então isso pode ser organizado em uma torre fornecendo recobrimentos conexos de um espectro. Esta é uma construção amplamente utilizada na teoria de bordismo porque os recobrimentos do espectro de cobordismo não orientado $M{\text{O}}$ fornecem outras teorias de bordismo

{\begin{aligned}M{\text{String}}&=M{\text{O}}\langle 8\rangle \\M{\text{Spin}}&=M{\text{O}}\langle 4\rangle \\M{\text{SO}}&=M{\text{O}}\langle 2\rangle \end{aligned}}

tais como o bordismo string.

Torre de Whitehead e teoria das cordas

Em geometria spin, o grupo $\operatorname {Spin} (n)$ é construído como o recobrimento universal do grupo ortogonal especial $\operatorname {SO} (n)$ , portanto $\mathbb {Z} /2\to \operatorname {Spin} (n)\to SO(n)$ é uma fibração, dando o primeiro termo na torre de Whitehead. Existem interpretações fisicamente relevantes para as partes superiores desta torre, que podem ser lidas como

$\cdots \to \operatorname {Fivebrane} (n)\to \operatorname {String} (n)\to \operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n)$

onde $\operatorname {String} (n)$ é o recobrimento $3$ -conexo de $\operatorname {SO} (n)$ chamado de grupo string, e $\operatorname {Fivebrane} (n)$ é o recobrimento $7$ -conexo chamado de grupo fivebrane.

Ver também

Espaço Eilenberg-MacLane

Referências

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↑ «at.algebraic topology – What do Whitehead towers have to do with physics?». MathOverflow. Consultado em 16 de fevereiro de 2020

Bibliografia

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Determination of the Second Homology and Cohomology Groups of a Space by Means of Homotopy Invariants - fornece exemplos acessíveis de invariantes de Postnikov
Hatcher, Allen (2002). Algebraic topology. [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-79540-1
Zhang. «Postnikov towers, Whitehead towers and their applications (handwritten notes)» (PDF). www.math.purdue.edu. Cópia arquivada (PDF) em 13 de fevereiro de 2020

[Hatcher-1] 1 2 Hatcher, Allen. Algebraic Topology (PDF). [S.l.: s.n.]

[2] Kahn, Donald W. (1 de março de 1963). «Induced maps for Postnikov systems» (PDF). Transactions of the American Mathematical Society. 107 (3): 432–450. ISSN 0002-9947. doi:10.1090/s0002-9947-1963-0150777-x

[3] Simpson, Carlos (9 de outubro de 1998). «Homotopy types of strict 3-groupoids». arXiv:math/9810059

[4] Eilenberg, Samuel; MacLane, Saunders (1954). «On the Groups $H(\Pi ,n)$ , III: Operations and Obstructions». Annals of Mathematics. 60 (3): 513–557. ISSN 0003-486X. JSTOR 1969849. doi:10.2307/1969849

[5] Laurențiu-George, Maxim. «Spectral sequences and homotopy groups of spheres» (PDF). Cópia arquivada (PDF) em 19 de maio de 2017

[6] On Thom Spectra, Orientability, and Cobordism. Col: Springer Monographs in Mathematics (em inglês). Berlim, Heidelberg: Springer. 1998. ISBN 978-3-540-62043-3. doi:10.1007/978-3-540-77751-9

[7] Maxim, Laurențiu. «Lecture Notes on Homotopy Theory and Applications» (PDF). p. 66. Cópia arquivada (PDF) em 16 de fevereiro de 2020

[8] Hill, Michael A. (2009). «The string bordism of BE₈ and BE₈ × BE₈ through dimension 14». Illinois Journal of Mathematics (em inglês). 53 (1): 183–196. ISSN 0019-2082. doi:10.1215/ijm/1264170845

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[:0-10] 1 2 Szymik, Markus (2019). «String bordism and chromatic characteristics». In: Daniel G. Davis; Hans-Werner Henn; J. F. Jardine; Mark W. Johnson; Charles Rezk. Homotopy Theory: Tools and Applications. Col: Contemporary Mathematics. 729. [S.l.: s.n.] pp. 239–254. ISBN 9781470442446. arXiv:1312.4658. doi:10.1090/conm/729/14698

[11] «Mathematical physics – Physical application of Postnikov tower, String(n) and Fivebrane(n)». Physics Stack Exchange. Consultado em 16 de fevereiro de 2020

[12] «at.algebraic topology – What do Whitehead towers have to do with physics?». MathOverflow. Consultado em 16 de fevereiro de 2020

Torre de Postnikov

Definição

Existência

Propriedade principal

Classificação homotópica de fibrações

Sequência de fibra para espaços com dois grupos de homotopia não triviais

Exemplos de torres de Postnikov

Torre de Postnikov de um K(G, n)

Torre de Postnikov de S2

Grupos de homotopia de esferas

Torres de Postnikov de espectros

Definição

Torre de Whitehead

Implicações

Construção

Como uma fibra de homotopia

Torre de Whitehead de espectros

Torre de Whitehead e teoria das cordas

Ver também

Referências

Bibliografia

Torre de Postnikov de S²