N-esfera

Em matemática, uma $n$ -esfera ou hiperesfera é a generalização $n$ -dimensional do círculo unidimensional e da esfera bidimensional para qualquer número inteiro não negativo $n$ .

O círculo é considerado unidimensional e a esfera bidimensional porque um ponto em seus interiores possui um e dois graus de liberdade, respectivamente. No entanto, a imersão típica do círculo de dimensão 1 ocorre no espaço bidimensional, a esfera de dimensão 2 é usualmente representada imersa no espaço tridimensional, e uma $n$ -esfera geral é imersa em um espaço de dimensão $n + 1$ . O termo hiperesfera é comumente empregado para distinguir esferas de dimensão $n \geq 3$ , que se encontram imersas em espaços de dimensão $n + 1 \geq 4$ e, portanto, não podem ser visualizadas diretamente com facilidade. A $n$ -esfera constitui o objeto de estudo da geometria esférica $n$ -dimensional.

Sob o ponto de vista extrínseco, considerada como uma hipersuperfície imersa no espaço euclidiano $(n + 1)$ -dimensional, uma $n$ -esfera é o lugar geométrico dos pontos situados a uma distância constante (o raio) de um ponto fixado (o centro). O seu interior, composto por todos os pontos cuja distância ao centro é estritamente menor do que o raio, é uma bola $(n + 1)$ -dimensional. Em particular:

A 0-esfera é o par de pontos extremos de um segmento de reta (uma 1-bola).
A 1-esfera é uma circunferência, a fronteira de um disco (uma 2-bola) no plano euclidiano bidimensional.
A 2-esfera, frequentemente denominada apenas esfera, é a fronteira de uma 3-bola no espaço tridimensional.
A 3-esfera é a fronteira de uma 4-bola no espaço quadridimensional.
A $(n - 1)$ -esfera é a fronteira de uma $n$ -bola.

Fixado um sistema de coordenadas cartesianas, a $n$ -esfera unitária de raio 1 pode ser formalmente definida por: $S^{n}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:\left\|x\right\|=1\right\}.$

Sob a ótica intrínseca, quando $n \geq 1$ , a $n$ -esfera é uma variedade riemanniana orientável de curvatura constante positiva. As geodésicas da $n$ -esfera correspondem aos seus círculos máximos.

A projeção estereográfica estabelece um difeomorfismo entre a $n$ -esfera privada de um ponto e o espaço euclidiano $n$ -dimensional, associando a este um ponto no infinito; sob a métrica induzida, $\mathbb {R} ^{n}\cup \{\infty \}$ fornece um modelo conforme para a $n$ -esfera.

No contexto mais amplo da topologia, qualquer espaço topológico que seja homeomorfo à $n$ -esfera unitária é denominado uma $n$ -esfera. Sob a projeção estereográfica inversa, a $n$ -esfera equivale à compactificação de um ponto do espaço $ℝ n$ . As $n$ -esferas admitem diversas outras descrições topológicas: por exemplo, podem ser formadas colando-se dois espaços $n$ -dimensionais pelos seus bordos, identificando a fronteira de um hipercubo $n$ -dimensional a um único ponto ou, recursivamente, pela suspensão de uma $(n - 1)$ -esfera. Para $n \geq 2$ , a $n$ -esfera é um espaço simplesmente conexo; a 1-esfera (circunferência) possui grupo fundamental não trivial e, portanto, não é simplesmente conexa; a 0-esfera é desconexa, sendo formada por dois pontos discretos.

Descrição

Para qualquer número natural $n$ , uma $n$ -esfera de raio $r$ é definida como o conjunto dos pontos no espaço euclidiano $(n + 1)$ -dimensional situados à distância constante $r$ de um ponto fixo $c$ , em que $r$ é um número real positivo qualquer e $c$ é um ponto qualquer do espaço $(n + 1)$ -dimensional. Em particular:

Uma 0-esfera consiste em um par de pontos isolados $\{c-r,c+r\}$ , correspondendo à fronteira de um segmento de reta (uma 1-bola).
Uma 1-esfera é uma circunferência de raio $r$ com centro em $c$ , correspondendo à fronteira de um disco plano (uma 2-bola).
Uma 2-esfera é a esfera bidimensional ordinária no espaço euclidiano tridimensional, correspondendo à fronteira de uma bola sólida (uma 3-bola).
Uma 3-esfera é a esfera tridimensional imersa no espaço euclidiano quadridimensional.

Coordenadas cartesianas

O conjunto de pontos no espaço $(n + 1)$ -dimensional, $(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n+1})$ , que define uma $n$ -esfera de raio $r$ , denotada por $S^{n}(r)$ , é expresso pela equação implícita: $r^{2}=\sum _{i=1}^{n+1}(x_{i}-c_{i})^{2},$ onde $\mathbf {c} =(c_{1},c_{2},\dotsc ,c_{n+1})$ representa o ponto central e $r$ o raio da esfera.

A $n$ -esfera reside no espaço euclidiano $(n + 1)$ -dimensional e constitui um exemplo de uma variedade de dimensão $n$ . A forma de volume diferencial $\omega$ de uma $n$ -esfera de raio $r$ é dada por: $\omega ={\frac {1}{r}}\sum _{j=1}^{n+1}(-1)^{j-1}x_{j}\,dx_{1}\wedge \dotsb \wedge dx_{j-1}\wedge dx_{j+1}\wedge \dotsb \wedge dx_{n+1}={\star }dr,$ onde ${\star }$ denota o operador estrela de Hodge; veja Flanders (1989, §6.1) para uma demonstração desta fórmula no caso unitário $r = 1$ . Consequentemente, tem-se: $dr\wedge \omega =dx_{1}\wedge \dotsb \wedge dx_{n+1}.$

n-bola

A região do espaço delimitada por uma $n$ -esfera é chamada de uma $(n + 1)$ -bola. Uma $(n + 1)$ -bola é dita fechada se incluir os pontos da $n$ -esfera que constituem sua fronteira, e aberta caso não os contenha.

Concretamente:

Uma 1-bola é um segmento de reta, correspondendo ao interior de uma 0-esfera.
Uma 2-bola é um disco, correspondendo ao interior de uma circunferência (1-esfera).
Uma 3-bola é uma bola sólida tridimensional, correspondendo ao interior de uma esfera (2-esfera).
Uma 4-bola é o interior de uma 3-esfera, e assim por diante.

Descrição topológica

Sob a ótica da topologia, uma $n$ -esfera pode ser obtida por meio da compactificação por um ponto do espaço euclidiano $n$ -dimensional. Em termos formais, a $n$ -esfera pode ser descrita como $S^{n}=\mathbb {R} ^{n}\cup \{\infty \}$ , que representa o espaço euclidiano $n$ -dimensional estendido por um ponto que simboliza o infinito em todas as direções. Em particular, se um único ponto qualquer for removido de uma $n$ -esfera, o espaço resultante é homeomorfo a $\mathbb {R} ^{n}$ . Essa propriedade constitui o fundamento geométrico da projeção estereográfica.

Volume e área

Denotando-se por $S_{n-1}$ a área superficial da $(n - 1)$ -esfera unitária (de raio 1) imersa no espaço euclidiano $n$ -dimensional, e por $V_{n}$ o volume de seu interior, a $n$ -bola unitária. A área de uma $(n - 1)$ -esfera de raio arbitrário $R$ varia proporcionalmente à $(n - 1)$ -ésima potência do raio, enquanto o volume da $n$ -bola correspondente varia proporcionalmente à $n$ -ésima potência do raio.

A 0-bola é por vezes definida como um único ponto isolado. A medida de Hausdorff 0-dimensional corresponde à cardinalidade de um conjunto. Logo: $V_{0}=1.$

Uma 1-bola unitária consiste em um segmento de reta centrado na origem cujos pontos possuem uma única coordenada restrita ao intervalo $[-1,1]$ de comprimento 2; a 0-esfera consiste em seus dois pontos extremos, de coordenadas $\{-1,1\}$ . Assim: $S_{0}=2,\quad V_{1}=2.$

A 1-esfera unitária é a circunferência unitária no plano euclidiano, e seu interior é o disco unitário (uma 2-bola): $S_{1}=2\pi ,\quad V_{2}=\pi .$

O interior de uma 2-esfera no espaço tridimensional é a 3-bola unitária: $S_{2}=4\pi ,\quad V_{3}={\tfrac {4}{3}}\pi .$

De maneira geral, $S_{n-1}$ e $V_{n}$ admitem as seguintes expressões analíticas fechadas: $S_{n-1}={\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma {\bigl (}{\frac {n}{2}}{\bigr )}}},\quad V_{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma {\bigl (}{\frac {n}{2}}+1{\bigr )}}},$ em que $\Gamma$ denota a função gama. Observe-se que os valores de $\Gamma$ calculados em argumentos semi-inteiros contêm um fator ${\sqrt {\pi }}$ que cancela as potências fracionárias presentes no numerador.

Quando $n$ tende ao infinito, o volume da $n$ -bola unitária (que estabelece a razão entre o volume de uma $n$ -bola de raio 1 e um hipercubo de aresta 1) converge a zero.

Relações de recorrência

A área superficial, ou rigorosamente o volume $n$ -dimensional, da $n$ -esfera situada na fronteira da $(n + 1)$ -bola de raio $R$ relaciona-se com o volume da bola por meio da equação diferencial: $S_{n}R^{n}={\frac {d(V_{n+1}R^{n+1})}{dR}}=(n+1)V_{n+1}R^{n}.$

De forma equivalente, integrando a $n$ -bola unitária como uma união concêntrica de cascas esféricas de dimensão $n - 1$ : $V_{n+1}=\int _{0}^{1}S_{n}r^{n}\,dr={\frac {1}{n+1}}S_{n}.$

Pode-se também representar a $(n + 2)$ -esfera unitária como uma união de produtos entre um círculo (uma 1-esfera) e uma $n$ -esfera. Tem-se então que $S_{n+2}=2\pi V_{n+1}$ . Como $S_{1}=2\pi V_{0}$ , a relação $S_{n+1}=2\pi V_{n}$ é válida para todo $n$ . Juntamente com os casos-base $S_{0}=2$ e $V_{1}=2$ , essas relações recursivas permitem obter indutivamente a área superficial de qualquer esfera ou o volume de qualquer bola.

Coordenadas esféricas

Pode-se definir um sistema de coordenadas no espaço euclidiano $n$ -dimensional análogo ao sistema de coordenadas esféricas tridimensional, constituído por uma coordenada radial $r$ e $n - 1$ coordenadas angulares $\varphi _{1},\varphi _{2},\dotsc ,\varphi _{n-1}$ , onde os ângulos $\varphi _{1},\varphi _{2},\dotsc ,\varphi _{n-2}$ variam no intervalo $[0,\pi ]$ radianos (ou $[0,180^{\circ }]$ ) e $\varphi _{n-1}$ percorre o intervalo $[0,2\pi )$ radianos (ou $[0,360^{\circ })$ ). Sendo $x_{i}$ as coordenadas cartesianas usuais, as variáveis $x_{1},\dotsc ,x_{n}$ são obtidas a partir de $r,\varphi _{1},\dotsc ,\varphi _{n-1}$ pelas relações: ${\begin{aligned}x_{1}&=r\cos(\varphi _{1}),\\[5mu]x_{2}&=r\sin(\varphi _{1})\cos(\varphi _{2}),\\[5mu]x_{3}&=r\sin(\varphi _{1})\sin(\varphi _{2})\cos(\varphi _{3}),\\&\qquad \vdots \\x_{n-1}&=r\sin(\varphi _{1})\dotsm \sin(\varphi _{n-2})\cos(\varphi _{n-1}),\\[5mu]x_{n}&=r\sin(\varphi _{1})\dotsm \sin(\varphi _{n-2})\sin(\varphi _{n-1}).\end{aligned}}$

Com exceção de configurações singulares degeneradas descritas abaixo, a transformação inversa é bijetora e dada por: ${\begin{aligned}r&={\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\dotsb +{x_{2}}^{2}+{x_{1}}^{2}}},\\[5mu]\varphi _{1}&=\operatorname {atan2} \left({\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\dotsb +{x_{2}}^{2}}},x_{1}\right),\\[5mu]\varphi _{2}&=\operatorname {atan2} \left({\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\dotsb +{x_{3}}^{2}}},x_{2}\right),\\&\qquad \vdots \\\varphi _{n-2}&=\operatorname {atan2} \left({\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}}},x_{n-2}\right),\\[5mu]\varphi _{n-1}&=\operatorname {atan2} \left(x_{n},x_{n-1}\right),\end{aligned}}$ onde $\operatorname {atan2}$ denota a função arco-tangente de dois argumentos.

Nos pontos onde múltiplos $x_{k},x_{k+1},\dotsc ,x_{n}$ anulam-se simultaneamente, o ângulo correspondente $\varphi _{k}$ torna-se indeterminado; por convenção, adota-se $\varphi _{k}=0$ nesses casos. (Na 2-esfera comum, por exemplo, quando o ângulo polar é 0 ou $\pi$ , o ponto situa-se em um dos polos, e a coordenada azimutal torna-se arbitrária).

Elementos esféricos de volume e de área

O elemento de comprimento de arco métrico é: $ds^{2}=dr^{2}+\sum _{k=1}^{n-1}r^{2}\left(\prod _{m=1}^{k-1}\sin ^{2}\left(\varphi _{m}\right)\right)d\varphi _{k}^{2}.$ Para expressar o elemento de volume do espaço euclidiano $n$ -dimensional sob coordenadas esféricas, definindo-se $s_{k}=\sin \varphi _{k}$ e $c_{k}=\cos \varphi _{k}$ , a matriz jacobiana da transformação assume a forma: $J_{n}={\begin{pmatrix}c_{1}&-rs_{1}&0&0&\cdots &0\\s_{1}c_{2}&rc_{1}c_{2}&-rs_{1}s_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &&\ddots &\vdots \\&&&&&0\\s_{1}\dotsm s_{n-2}c_{n-1}&\cdots &\cdots &&&-rs_{1}\dotsm s_{n-2}s_{n-1}\\s_{1}\dotsm s_{n-2}s_{n-1}&rc_{1}\dotsm s_{n-1}&\cdots &&&{\phantom {-}}rs_{1}\dotsm s_{n-2}c_{n-1}\end{pmatrix}}.$

O determinante dessa matriz pode ser calculado por indução matemática. Para $n = 2$ , uma verificação direta mostra que o determinante é $r$ . Para ordens superiores, observa-se que $J_{n}$ pode ser particionada em função de $J_{n-1}$ . Com exceção da última coluna, as linhas $n-1$ e $n$ de $J_{n}$ reproduzem a linha $n-1$ de $J_{n-1}$ multiplicada por $\cos \varphi _{n-1}$ e $\sin \varphi _{n-1}$ , respectivamente. Aplicando a expansão de Laplace na coluna final: ${\begin{aligned}|J_{n}|&=(-1)^{(n-1)+n}(-rs_{1}\dotsm s_{n-2}s_{n-1})(s_{n-1}|J_{n-1}|)\\[2pt]&\qquad {}+(-1)^{n+n}(rs_{1}\dotsm s_{n-2}c_{n-1})(c_{n-1}|J_{n-1}|)\\[4pt]&=(rs_{1}\dotsm s_{n-2}|J_{n-1}|)(s_{n-1}^{2}+c_{n-1}^{2})\\[4pt]&=(rs_{1}\dotsm s_{n-2})|J_{n-1}|.\end{aligned}}$

Por indução finita, obtém-se a expressão analítica do elemento de volume em coordenadas esféricas: ${\begin{aligned}d^{n}V&=\left|\det {\frac {\partial (x_{i})}{\partial \left(r,\varphi _{j}\right)}}\right|dr\,d\varphi _{1}\,d\varphi _{2}\dotsm d\varphi _{n-1}\\[2pt]&=r^{n-1}\sin ^{n-2}(\varphi _{1})\sin ^{n-3}(\varphi _{2})\dotsm \sin(\varphi _{n-2})\,dr\,d\varphi _{1}\,d\varphi _{2}\dotsm d\varphi _{n-1}.\end{aligned}}$ A fórmula fechada para o volume da $n$ -bola é deduzida diretamente pela integração dessa expressão.

De forma análoga, o elemento de área superficial da $(n - 1)$ -esfera de raio $R$ é dado por: $d_{S^{n-1}}V=R^{n-1}\sin ^{n-2}(\varphi _{1})\sin ^{n-3}(\varphi _{2})\dotsm \sin(\varphi _{n-2})\,d\varphi _{1}\,d\varphi _{2}\dotsm d\varphi _{n-1}.$

Uma base ortogonal sobre as coordenadas angulares é expressa pelo produto de polinômios de Gegenbauer (ou ultrasféricos): $\int _{0}^{\pi }\sin ^{n-j-1}\left(\varphi _{j}\right)C_{s}^{\left({\frac {n-j-1}{2}}\right)}(\cos \varphi _{j})C_{s'}^{\left({\frac {n-j-1}{2}}\right)}(\cos \varphi _{j})\,d\varphi _{j}={\frac {2^{3-n+j}\pi \Gamma (s+n-j-1)}{s!(2s+n-j-1)\Gamma ^{2}\left({\frac {n-j-1}{2}}\right)}}\delta _{s,s'}$ para $j=1,2,\dotsc ,n-2$ , associados às exponenciais complexas $e^{is\varphi _{n-1}}$ para o ângulo azimutal $\varphi _{n-1}$ , em correspondência direta com os harmônicos esféricos.

Coordenadas poliesféricas

O sistema padrão de coordenadas esféricas provém da decomposição do espaço euclidiano como o produto $\mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n-1}$ . Esses fatores podem ser parametrizados por meio de coordenadas polares. Para cada vetor $\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}$ , as coordenadas cartesianas usuais $\mathbf {x} =(x_{1},\dotsc ,x_{n})=(y_{1},z_{1},\dotsc ,z_{n-1})=(y_{1},\mathbf {z} )$ podem ser convertidas em um sistema misto polar-cartesiano: $\mathbf {x} ={\bigl (}r\sin \theta ,(r\cos \theta ){\hat {\mathbf {z} }}{\bigr )}.$ Isso estabelece que os pontos em $\mathbb {R} ^{n}$ podem ser descritos considerando-se o raio que parte da origem passando pelo vetor unitário ${\hat {\mathbf {z} }}=\mathbf {z} /\lVert \mathbf {z} \rVert \in S^{n-2}$ , rotacionando-o em direção ao vetor canônico $(1,0,\dotsc ,0)$ por um ângulo $\theta =\operatorname {arcsen} (y_{1}/r)$ e percorrendo a distância radial $r=\lVert \mathbf {x} \rVert$ . A iteração recursiva dessa decomposição gera o sistema canônico de coordenadas esféricas.

As coordenadas poliesféricas derivam de uma generalização estrutural dessa construção. O espaço $\mathbb {R} ^{n}$ é decomposto no produto de dois subespaços euclidianos de dimensões menores, sem a exigência de que um deles seja uma reta unidimensional. Sejam $p$ e $q$ inteiros positivos tais que $n=p+q$ . Tem-se $\mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} ^{p}\times \mathbb {R} ^{q}$ . Um ponto $\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}$ escreve-se como: $\mathbf {x} =(x_{1},\dotsc ,x_{n})=(y_{1},\dotsc ,y_{p},z_{1},\dotsc ,z_{q})=(\mathbf {y} ,\mathbf {z} ).$ Essa representação pode ser expressa em coordenadas polares generalizadas por: $\mathbf {x} ={\bigl (}(r\sin \theta ){\hat {\mathbf {y} }},(r\cos \theta ){\hat {\mathbf {z} }}{\bigr )},$ onde ${\hat {\mathbf {y} }}=\mathbf {y} /\lVert \mathbf {y} \rVert \in S^{p-1}$ e ${\hat {\mathbf {z} }}=\mathbf {z} /\lVert \mathbf {z} \rVert \in S^{q-1}$ são vetores unitários, com $r=\lVert \mathbf {x} \rVert \geq 0$ e ângulo de mistura $\theta$ . Demonstra-se que o domínio angular de $\theta$ é $[0,2\pi )$ caso $p=q=1$ ; $[0,\pi ]$ caso exatamente um dentre $p$ ou $q$ seja igual a 1; e $[0,\pi /2]$ caso ambos sejam estritamente maiores que 1. A transformação inversa é dada por: ${\begin{aligned}r&=\lVert \mathbf {x} \rVert ,\\\theta &=\operatorname {arcsen} {\frac {\lVert \mathbf {y} \rVert }{\lVert \mathbf {x} \rVert }}=\operatorname {arccos} {\frac {\lVert \mathbf {z} \rVert }{\lVert \mathbf {x} \rVert }}=\operatorname {arctan} {\frac {\lVert \mathbf {y} \rVert }{\lVert \mathbf {z} \rVert }}.\end{aligned}}$

Essas decomposições podem ser repetidas enquanto os fatores obtidos possuírem dimensão maior ou igual a dois. Um sistema de coordenadas poliesféricas é o resultado da repetição sucessiva de tais subdivisões até que não restem coordenadas cartesianas lineares. As ramificações associadas correspondem a árvores binárias com $n$ folhas. Cada vértice interno da árvore representa uma partição e define uma coordenada angular. Por exemplo, a raiz representa o espaço original $\mathbb {R} ^{n}$ , e seus nós filhos imediatos representam a partição primária em $\mathbb {R} ^{p}$ e $\mathbb {R} ^{q}$ . As folhas da árvore correspondem às coordenadas cartesianas finais sobre $S^{n-1}$ .

Sob a teoria de grupos, uma decomposição $\mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} ^{p}\times \mathbb {R} ^{q}$ define um subgrupo de simetria do grupo ortogonal especial: $\operatorname {SO} _{p}(\mathbb {R} )\times \operatorname {SO} _{q}(\mathbb {R} )\subseteq \operatorname {SO} _{n}(\mathbb {R} ).$ Esse subgrupo preserva invariantes as variedades esféricas $S^{p-1}\times S^{q-1}\subseteq S^{n-1}$ .

Em coordenadas poliesféricas, a medida de volume em $\mathbb {R} ^{n}$ e a medida de área em $S^{n-1}$ fatoram-se em produtos de medidas unidimensionais. A medida de área sobre a hipersuperfície assume a forma: $dA_{n-1}=\prod _{i=1}^{n-1}F_{i}(\theta _{i})\,d\theta _{i},$ onde cada fator diferencial $F_{i}$ é governado pela estrutura topológica da árvore binária. Analogamente, o elemento de volume euclidiano total decompõe-se como: $dV_{n}=r^{n-1}\,dr\,\prod _{i=1}^{n-1}F_{i}(\theta _{i})\,d\theta _{i}.$

Dado um nó correspondente à partição $\mathbb {R} ^{n_{1}+n_{2}}=\mathbb {R} ^{n_{1}}\times \mathbb {R} ^{n_{2}}$ com coordenada angular $\theta$ , o termo $F(\theta )$ (normalizado para que a área total da esfera seja unitária) assume as seguintes formas em função de $n_{1}$ e $n_{2}$ :

Se $n_{1}=n_{2}=1$ :

$F(\theta )={\frac {d\theta }{2\pi }}.$

Se $n_{1}>1$ e $n_{2}=1$ , sendo $\mathrm {B}$ a função beta:

$F(\theta )={\frac {\sin ^{n_{1}-1}\theta }{\mathrm {B} {\bigl (}{\frac {n_{1}}{2}},{\frac {1}{2}}{\bigr )}}}\,d\theta .$

Se $n_{1}=1$ e $n_{2}>1$ :

$F(\theta )={\frac {\cos ^{n_{2}-1}\theta }{\mathrm {B} {\bigl (}{\frac {1}{2}},{\frac {n_{2}}{2}}{\bigr )}}}\,d\theta .$

Se simultaneamente $n_{1}>1$ e $n_{2}>1$ :

$F(\theta )={\frac {(\sin ^{n_{1}-1}\theta )(\cos ^{n_{2}-1}\theta )}{{\frac {1}{2}}\mathrm {B} {\bigl (}{\frac {n_{1}}{2}},{\frac {n_{2}}{2}}{\bigr )}}}\,d\theta .$

Projeção estereográfica

Da mesma forma que uma 2-esfera imersa no espaço tridimensional pode ser projetada sobre um plano bidimensional por meio da projeção estereográfica, uma $n$ -esfera pode ser mapeada sobre um hiperplano $n$ -dimensional. Por exemplo, o ponto $[x,y,z]$ pertencente à 2-esfera unitária é projetado no plano $xy$ no ponto: $[x,y,z]\mapsto \left[{\frac {x}{1-z}},{\frac {y}{1-z}}\right].$

Generalizando para dimensões superiores, a projeção estereográfica de uma $n$ -esfera unitária $S^{n}\subset \mathbb {R} ^{n+1}$ sobre o hiperplano $n$ -dimensional perpendicular ao eixo $x_{n+1}$ assume a forma: $[x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n+1}]\mapsto \left[{\frac {x_{1}}{1-x_{n+1}}},{\frac {x_{2}}{1-x_{n+1}}},\dotsc ,{\frac {x_{n}}{1-x_{n+1}}}\right].$

Distribuições de probabilidade

Amostragem uniforme sobre a esfera

Para gerar pontos aleatórios com distribuição uniforme sobre a $(n - 1)$ -esfera unitária (isto é, sobre a fronteira da $n$ -bola unitária), Marsaglia (1972) estabeleceu o seguinte algoritmo baseado em variáveis normais:

Gera-se um vetor $n$ -dimensional de variáveis aleatórias independentes com distribuição normal padrão $N(0,1)$ , dado por $\mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})$ . Em seguida, calcula-se a norma euclidiana: $r={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\dotsb +x_{n}^{2}}}.$

O vetor normalizado: $\mathbf {x} _{\text{esfera}}={\frac {1}{r}}\mathbf {x}$ possui distribuição estritamente uniforme sobre a hipersuperfície da $(n - 1)$ -esfera unitária.

Um método alternativo consiste em selecionar aleatoriamente pontos com distribuição uniforme no interior de um hipercubo unitário $[-1,1]^{n}$ e descartar aqueles que caem fora da bola (amostragem por rejeição). Contudo, essa técnica torna-se computacionalmente inviável em dimensões elevadas: como o volume da bola unitária diminui exponencialmente em relação ao do hipercubo envolvente, a fração de pontos aceitos converge rapidamente a zero. Em dimensão 10, a esfera ocupa menos de 2% do cubo envolvente; em dimensão 70, essa proporção cai para menos de $10^{-24}$ , inviabilizando qualquer aplicação prática da amostragem por rejeição ingênua.

Amostragem uniforme dentro da bola

Obtido um ponto $\mathbf {x}$ amostrado uniformemente sobre a $(n - 1)$ -esfera unitária pelo método anterior, a amostragem uniforme no interior da $n$ -bola unitária requer apenas a atribuição de uma coordenada radial apropriada. Se $u$ for uma variável aleatória com distribuição uniforme contínua no intervalo $[0,1]$ , então: $\mathbf {x} _{\text{bola}}=u^{1/n}\mathbf {x}$ distribui-se uniformemente no interior da $n$ -bola unitária sólida.

Alternativamente, pontos uniformemente distribuídos no interior da $n$ -bola unitária podem ser obtidos a partir da $(n + 1)$ -esfera unitária: se $(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n+2})$ for um ponto uniforme em $S^{n+1}$ , a simples projeção ortogonal eliminando duas coordenadas, $(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})$ , resulta em uma distribuição estritamente uniforme no interior da $n$ -bola.

À medida que a dimensão $n$ cresce, a maior fração do volume total da $n$ -bola concentra-se em uma casca infinitesimal adjacente à sua superfície externa. Esse fenômeno geométrico constitui uma das manifestações diretas da maldição da dimensionalidade na teoria das probabilidades e na análise numérica.

Distribuição da primeira coordenada

Sendo $y=x_{1}^{2}$ o quadrado da primeira coordenada de um ponto selecionado uniformemente sobre a $(n - 1)$ -esfera unitária, sua função densidade de probabilidade no intervalo $y\in [0,1]$ é expressa por: $\rho (y)={\frac {\Gamma {\bigl (}{\frac {n}{2}}{\bigr )}}{{\sqrt {\pi }}\;\Gamma {\bigl (}{\frac {n-1}{2}}{\bigr )}}}(1-y)^{(n-3)/2}y^{-1/2}.$

Definindo-se a variável reescalonada $z=ny$ , no limite assintótico $n\to \infty$ , a densidade de probabilidade converge para a distribuição de Porter–Thomas: $f(z)={\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{-z/2}.$

Esferas específicas

0-esfera: O par de pontos discretos $\{\pm R\}$ munido da topologia discreta para algum $R>0$ . É a única esfera que não é conexa por caminhos. É uma variedade paralelizável.
1-esfera: Comumente chamada de circunferência. Possui grupo fundamental isomorfo a $\mathbb {Z}$ . Admite estrutura de grupo de Lie abeliano correspondente a $\operatorname {U} (1)$ (o grupo circular). É homeomorfa à reta projetiva real. É paralelizável.
2-esfera: A esfera ordinária bidimensional. Admite estrutura de variedade analítica complexa denominada esfera de Riemann. É homeomorfa à reta projetiva complexa $\mathbf {CP} ^{1}$ .
3-esfera: Variedade tridimensional paralelizável. Constitui um feixe principal de fibra $\operatorname {U} (1)$ sobre a 2-esfera por meio da fibração de Hopf. Admite estrutura de grupo de Lie correspondente aos quatérnions unitários, isomorfo a $\operatorname {Sp} (1)\cong \operatorname {SU} (2)$ .
4-esfera: Homeomorfa à reta projetiva quaterniônica $\mathbf {HP} ^{1}$ . Admite a representação como espaço homogêneo $\operatorname {SO} (5)/\operatorname {SO} (4)$ .
5-esfera: Feixe principal de fibra $\operatorname {U} (1)$ sobre o espaço projetivo complexo $\mathbf {CP} ^{2}$ . Representada por $\operatorname {SO} (6)/\operatorname {SO} (5)\cong \operatorname {SU} (3)/\operatorname {SU} (2)$ . Pelo teorema de Markov, é um problema indecidível determinar se uma variedade arbitrária de dimensão $n \geq 5$ é homeomorfa a $S^{n}$ .
6-esfera: Possui uma estrutura quase-complexa natural induzida pela multiplicação dos octônios unitários puros. Admite a representação homogênea $\operatorname {SO} (7)/\operatorname {SO} (6)\cong G_{2}/\operatorname {SU} (3)$ . A questão sobre a existência de uma estrutura complexa integrável em $S^{6}$ constitui o célebre problema de Hopf.
7-esfera: Possui estrutura de quasigrupo topológico herdada dos octônios unitários. É um feixe principal com fibra $\operatorname {SU} (2)$ sobre $S^{4}$ . É paralelizável. Admite as descrições homogêneas $\operatorname {SO} (8)/\operatorname {SO} (7)\cong \operatorname {SU} (4)/\operatorname {SU} (3)\cong \operatorname {Sp} (2)/\operatorname {Sp} (1)\cong \operatorname {Spin} (7)/G_{2}\cong \operatorname {Spin} (6)/\operatorname {SU} (3)$ . Na dimensão 7, John Milnor descobriu as primeiras esferas exóticas (variedades diferenciáveis homeomorfas, mas não difeomorfas, à esfera euclidiana padrão).
8-esfera: Homeomorfa à reta projetiva octoniônica $\mathbf {OP} ^{1}$ .
23-esfera: Permite a configuração do mais denso empacotamento de esferas conhecido em 24 dimensões, fundamentado nas propriedades de simetria do reticulado de Leech.

Esfera octaédrica

A $n$ -esfera octaédrica é definida de forma análoga à $n$ -esfera tradicional, porém adotando-se a norma $l$ ₁ em lugar da métrica euclidiana: $S_{1}^{n}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:\left\|x\right\|_{1}=1\right\}.$ Geometricamente, assume a configuração de um politopo cruzado (hiperoctaedro).

A 1-esfera octaédrica é o contorno de um quadrado rotacionado. A 2-esfera octaédrica corresponde à casca de um octaedro regular tridimensional. Topologicamente, uma $n$ -esfera octaédrica é homeomorfa à $n$ -esfera euclidiana e equivale à junção topológica de $n + 1$ pares de pontos antipodais isolados.

Ver também

Notas

↑ A rigor, esta expansão linha a linha requer $n > 3$ . Para $n = 3$ , a linha com $x_{3}$ intermediária não ocorre, e para $n = 2$ recai-se nas coordenadas polares. O caso $n = 1$ reduz-se a $x = r$ . Utilizando o produtório, uma formulação fechada para todo $n \geq 2$ é dada por ${\textstyle \textstyle x_{n}=r\prod _{i=1}^{n-1}\sin \varphi _{i}}$ e ${\textstyle \textstyle x_{k}=r\cos \varphi _{k}\prod _{i=1}^{k-1}\sin \varphi _{i}}$ para $k = 1, ..., n - 1$ .

Referências

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Bibliografia

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Ligações externas

Weisstein, Eric W. «Hypersphere». MathWorld (em inglês)

[4] A rigor, esta expansão linha a linha requer $n > 3$ . Para $n = 3$ , a linha com $x_{3}$ intermediária não ocorre, e para $n = 2$ recai-se nas coordenadas polares. O caso $n = 1$ reduz-se a $x = r$ . Utilizando o produtório, uma formulação fechada para todo $n \geq 2$ é dada por ${\textstyle \textstyle x_{n}=r\prod _{i=1}^{n-1}\sin \varphi _{i}}$ e ${\textstyle \textstyle x_{k}=r\cos \varphi _{k}\prod _{i=1}^{k-1}\sin \varphi _{i}}$ para $k = 1, ..., n - 1$ .

[1] James W. Vick (1994). Homology theory, p. 60. Springer.

[jst-2] David J. Smith; Mavina K. Vamanamurthy (1989). «How Small Is a Unit Ball?». Mathematics Magazine (em inglês). 62 (2): 101–107. JSTOR 2690391. doi:10.1080/0025570X.1989.11977419

[3] L. E. Blumenson (1960). «A Derivation of n-Dimensional Spherical Coordinates». The American Mathematical Monthly (em inglês). 67 (1): 63–66. JSTOR 2308932. doi:10.2307/2308932

[5] N. Ja. Vilenkin e A. U. Klimyk, Representation of Lie groups and special functions, Vol. 2: Class I representations, special functions, and integral transforms, traduzido do russo por V. A. Groza e A. A. Groza, Math. Appl., vol. 74, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1992, ISBN 0-7923-1492-1, pp. 223–226.

[6] Aaron R. Voelker; Jan Gosmann; Terrence C. Stewart (2017). Efficiently sampling vectors and coordinates from the n-sphere and n-ball (Relatório) (em inglês). Centre for Theoretical Neuroscience. doi:10.13140/RG.2.2.15829.01767/1

[7] Giacomo Livan; Marcel Novaes; Pierpaolo Vivo (2018). «One Pager on Eigenvectors». Introduction to Random Matrices: Theory and Practice. Col: SpringerBriefs in Mathematical Physics (em inglês). [S.l.]: Springer. pp. 65–66. ISBN 978-3-319-70885-0. doi:10.1007/978-3-319-70885-0_9

[8] John Stillwell (1993). Classical Topology and Combinatorial Group Theory. Col: Graduate Texts in Mathematics (em inglês). 72. [S.l.]: Springer. p. 247. ISBN 978-0-387-97970-0

[9] Ilka Agricola; Giovanni Bazzoni; Oliver Goertsches; Panagiotis Konstantis; Sönke Rollenske (2018). «On the history of the Hopf problem». Differential Geometry and Its Applications (em inglês). 57: 1–9. arXiv:1708.01068. doi:10.1016/j.difgeo.2017.10.014

[:7-10] Roy Meshulam (1 de janeiro de 2001). «The Clique Complex and Hypergraph Matching». Combinatorica (em inglês). 21 (1): 89–94. ISSN 1439-6912. doi:10.1007/s004930170006