Tupla

Tuplas como funções

A ${\displaystyle 0}$-tupla pode ser identificada como a função vazia. Para ${\displaystyle n\geq 1,}$ a ${\displaystyle n}$-tupla ${\displaystyle \left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)}$ pode ser identificada com a função sobrejetiva

${\displaystyle F~:~\left\{1,\ldots ,n\right\}~\to ~\left\{a_{1},\ldots ,a_{n}\right\}}$

com domínio

${\displaystyle \operatorname {dom} F=\left\{1,\ldots ,n\right\}=\left\{i\in \mathbb {N} :1\leq i\leq n\right\}}$

e com contradomínio

${\displaystyle \operatorname {codom} F=\left\{a_{1},\ldots ,a_{n}\right\},}$

que é definida em ${\displaystyle i\in \operatorname {dom} F=\left\{1,\ldots ,n\right\}}$ por

${\displaystyle F(i):=a_{i}.}$

Isto é, ${\displaystyle F}$ é a função definida por

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}1\;&\mapsto &&\;a_{1}\\\;&\;\;\vdots &&\;\\n\;&\mapsto &&\;a_{n}\\\end{alignedat}}}$

em cujo caso a igualdade

${\displaystyle \left(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\right)=\left(F(1),F(2),\dots ,F(n)\right)}$

necessariamente se mantém.

Tuplas como conjuntos de pares ordenados

Funções são comumente identificadas com seus gráficos, que é um certo conjunto de pares ordenados. De fato, muitos autores usam gráficos como a definição de função. Usando esta definição de "função", a função acima ${\displaystyle F}$ pode ser definida como:

${\displaystyle F~:=~\left\{\left(1,a_{1}\right),\ldots ,\left(n,a_{n}\right)\right\}.}$

Tuplas como pares ordenados aninhados

Outra forma de modelar tuplas em teoria dos conjuntos é como pares ordenados aninhados. Esta abordagem assume que a noção de par ordenado já foi definida.

1. A 0-tupla (isto é, a tupla vazia) é representada pelo conjunto vazio ${\displaystyle \emptyset }$.
2. Uma n-tupla, com n > 0, pode ser definida como um par ordenado de sua primeira entrada e uma (n − 1)-tupla (que contém as entradas restantes quando n > 1):

   ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n})=(a_{1},(a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}))}$

Esta definição pode ser aplicada recursivamente à (n − 1)-tupla:

${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n})=(a_{1},(a_{2},(a_{3},(\ldots ,(a_{n},\emptyset )\ldots ))))}$

Assim, por exemplo:

${\displaystyle {\begin{aligned}(1,2,3)&=(1,(2,(3,\emptyset )))\\(1,2,3,4)&=(1,(2,(3,(4,\emptyset ))))\\\end{aligned}}}$

Uma variante desta definição começa "retirando" elementos da outra extremidade:

1. A 0-tupla é o conjunto vazio ${\displaystyle \emptyset }$.
2. Para n > 0:

   ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n})=((a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n-1}),a_{n})}$

Esta definição pode ser aplicada recursivamente:

${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n})=((\ldots (((\emptyset ,a_{1}),a_{2}),a_{3}),\ldots ),a_{n})}$

Assim, por exemplo:

${\displaystyle {\begin{aligned}(1,2,3)&=(((\emptyset ,1),2),3)\\(1,2,3,4)&=((((\emptyset ,1),2),3),4)\\\end{aligned}}}$

Tuplas como conjuntos aninhados

Usando a representação de Kuratowski para um par ordenado, a segunda definição acima pode ser reformulada em termos de teoria dos conjuntos pura:

1. A 0-tupla (isto é, a tupla vazia) é representada pelo conjunto vazio ${\displaystyle \emptyset }$;
2. Seja ${\displaystyle x}$ uma n-tupla ${\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})}$, e seja ${\displaystyle x\rightarrow b\equiv (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},b)}$. Então, ${\displaystyle x\rightarrow b\equiv \{\{x\},\{x,b\}\}}$. (A seta para a direita, ${\displaystyle \rightarrow }$, pode ser lida como "anexado com".)

Nesta formulação:

${\displaystyle {\begin{array}{lclcl}()&&&=&\emptyset \\&&&&\\(1)&=&()\rightarrow 1&=&\{\{()\},\{(),1\}\}\\&&&=&\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\}\\&&&&\\(1,2)&=&(1)\rightarrow 2&=&\{\{(1)\},\{(1),2\}\}\\&&&=&\{\{\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\}\},\\&&&&\{\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\},2\}\}\\&&&&\\(1,2,3)&=&(1,2)\rightarrow 3&=&\{\{(1,2)\},\{(1,2),3\}\}\\&&&=&\{\{\{\{\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\}\},\\&&&&\{\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\},2\}\}\},\\&&&&\{\{\{\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\}\},\\&&&&\{\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\},2\}\},3\}\}\\\end{array}}}$