Velocidade angular

Partícula em duas dimensões

No caso mais simples de movimento circular de raio ${\displaystyle r}$, com a posição dada pelo deslocamento angular ${\displaystyle \phi (t)}$ medido a partir do eixo x, a velocidade angular orbital é a taxa de variação do ângulo no tempo:

${\displaystyle \omega ={\frac {d\phi }{dt}}.}$

Se ${\displaystyle \phi }$ é medido em radianos, o comprimento do arco entre o semieixo x positivo e a partícula é ${\displaystyle \ell =r\phi }$, e a velocidade linear é

${\displaystyle v(t)={\frac {d\ell }{dt}}=r\omega (t),}$

de onde

${\displaystyle \omega ={\frac {v}{r}}.}$

Para uma partícula que se move no plano, a velocidade angular orbital é a taxa com que o vetor posição em relação a uma origem escolhida varre um ângulo. O diagrama mostra o vetor posição ${\displaystyle \mathbf {r} }$ da origem ${\displaystyle O}$ até uma partícula ${\displaystyle P}$, com suas coordenadas polares ${\displaystyle (r,\phi )}$. Todas as variáveis são funções do tempo ${\displaystyle t}$. A velocidade linear divide-se em

${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {v} _{\parallel }+\mathbf {v} _{\perp },}$

com a componente radial ${\displaystyle \mathbf {v} _{\parallel }}$ paralela ao raio e a componente transversal ao raio, ou tangencial, ${\displaystyle \mathbf {v} _{\perp }}$ perpendicular ao raio. Sem componente radial, a partícula percorre uma circunferência em torno da origem. Sem componente transversal, ela se move em linha reta na direção radial. Como o movimento radial não altera o ângulo, apenas a componente transversal da velocidade linear participa da velocidade angular.

A velocidade angular ${\displaystyle \omega }$ é a taxa de variação da posição angular no tempo e pode ser calculada pela velocidade transversal:

${\displaystyle \omega ={\frac {d\phi }{dt}}={\frac {v_{\perp }}{r}}.}$

Aqui, ${\displaystyle v_{\perp }}$ é o valor com sinal da componente ${\displaystyle \mathbf {v} _{\perp }}$, positivo para movimento anti-horário e negativo para movimento horário. Se a velocidade linear ${\displaystyle \mathbf {v} }$ é escrita em coordenadas polares, com módulo ${\displaystyle v}$, a rapidez linear, e ângulo ${\displaystyle \theta }$ em relação ao vetor radial, então ${\displaystyle v_{\perp }=v\sin(\theta )}$. Logo:

${\displaystyle \omega ={\frac {v\sin(\theta )}{r}}.}$

Essas fórmulas também podem ser obtidas tomando

${\displaystyle \mathbf {r} =(r\cos(\varphi ),r\sin(\varphi )),}$

em que ${\displaystyle r}$ é a distância à origem como função do tempo e ${\displaystyle \varphi }$ é o ângulo entre o vetor e o eixo x. Então:

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=({\dot {r}}\cos(\varphi )-r{\dot {\varphi }}\sin(\varphi ),\ {\dot {r}}\sin(\varphi )+r{\dot {\varphi }}\cos(\varphi )),}$

o que equivale a:

${\displaystyle {\dot {r}}(\cos(\varphi ),\sin(\varphi ))+r{\dot {\varphi }}(-\sin(\varphi ),\cos(\varphi ))={\dot {r}}{\hat {r}}+r{\dot {\varphi }}{\hat {\varphi }}.}$

Veja também a construção de vetores unitários em coordenadas cilíndricas.

Como ${\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\mathbf {v} }$, a componente radial da velocidade é ${\displaystyle {\dot {r}}}$, pois ${\displaystyle {\hat {r}}}$ é o vetor unitário radial. A componente perpendicular é ${\displaystyle r{\dot {\varphi }}}$, pois ${\displaystyle {\hat {\varphi }}}$ é o vetor unitário perpendicular.

Em duas dimensões, a velocidade angular pode ser tratada como um número com sinal positivo ou negativo para indicar a orientação, sem apontar para uma direção espacial. Por convenção, o sinal é positivo quando o vetor radial gira em sentido anti-horário e negativo quando gira em sentido horário. A velocidade angular pode então ser chamada de pseudoescalar, uma quantidade numérica que muda de sinal sob uma inversão de paridade, como a inversão de um dos eixos ou a troca dos dois eixos.

Partícula em três dimensões

No espaço tridimensional, considera-se novamente o vetor posição ${\displaystyle \mathbf {r} }$ de uma partícula em movimento. A velocidade angular orbital é um pseudovetor cujo módulo é a taxa com que ${\displaystyle \mathbf {r} }$ varre um ângulo, em radianos por unidade de tempo, e cuja direção é perpendicular ao plano instantâneo no qual ${\displaystyle \mathbf {r} }$ varre esse ângulo, isto é, ao plano gerado por ${\displaystyle \mathbf {r} }$ e ${\displaystyle \mathbf {v} }$. Como há duas direções perpendiculares a qualquer plano, é necessária uma convenção adicional para definir o sentido do vetor. Usa-se a regra da mão direita.

Seja ${\displaystyle \mathbf {u} }$ o pseudovetor unitário perpendicular ao plano gerado por ${\displaystyle \mathbf {r} }$ e ${\displaystyle \mathbf {v} }$, orientado pela regra da mão direita, de modo que o deslocamento angular instantâneo seja anti-horário para um observador situado no lado para o qual ${\displaystyle \mathbf {u} }$ aponta. Tomando as coordenadas polares ${\displaystyle (r,\phi )}$ nesse plano, como no caso bidimensional, define-se o vetor velocidade angular orbital por:

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\omega \mathbf {u} ={\frac {d\phi }{dt}}\mathbf {u} ={\frac {v\sin(\theta )}{r}}\mathbf {u} ,}$

onde ${\displaystyle \theta }$ é o ângulo entre ${\displaystyle \mathbf {r} }$ e ${\displaystyle \mathbf {v} }$. Usando o produto vetorial, obtém-se:

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}}}.}$

Da equação anterior, recupera-se a velocidade tangencial:

${\displaystyle \mathbf {v} _{\perp }={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} .}$

Componentes a partir dos vetores de base de um referencial fixo ao corpo

Considere um corpo rígido que gira em torno de um ponto fixo O. Construa no corpo um referencial formado pelo conjunto ortonormal de vetores ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}}$, fixos ao corpo e com origem comum em O. A velocidade angular de rotação do referencial e do corpo em torno de O é:

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=({\dot {\mathbf {e} }}_{1}\cdot \mathbf {e} _{2})\mathbf {e} _{3}+({\dot {\mathbf {e} }}_{2}\cdot \mathbf {e} _{3})\mathbf {e} _{1}+({\dot {\mathbf {e} }}_{3}\cdot \mathbf {e} _{1})\mathbf {e} _{2},}$

onde

${\displaystyle {\dot {\mathbf {e} }}_{i}={\frac {d\mathbf {e} _{i}}{dt}}}$

é a taxa temporal de variação do vetor ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$, com ${\displaystyle i=1,2,3}$, causada pela rotação.

Essa fórmula não é intercambiável com a expressão da velocidade angular orbital

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {{\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {v}}}{r^{2}}},}$

pois esta última define a velocidade angular de um único ponto em relação a O, enquanto a fórmula desta seção vale para um referencial ou corpo rígido. Num corpo rígido, um único ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ deve corresponder ao movimento de todas as partículas do corpo.

Componentes a partir dos ângulos de Euler

As componentes do pseudovetor de velocidade angular de rotação foram calculadas por Leonhard Euler a partir de seus ângulos de Euler e de um referencial intermediário:

• um eixo do referencial de referência, o eixo de precessão;
• a linha dos nodos do referencial móvel em relação ao referencial de referência, o eixo de nutação;
• um eixo do referencial móvel, o eixo de rotação intrínseca.

Euler provou que a projeção do pseudovetor de velocidade angular sobre cada um desses eixos é a derivada do ângulo correspondente. Isso equivale a decompor a rotação instantânea em três rotações instantâneas de Euler. Logo:

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\dot {\alpha }}\mathbf {u} _{1}+{\dot {\beta }}\mathbf {u} _{2}+{\dot {\gamma }}\mathbf {u} _{3}.}$

Essa base não é ortonormal, o que dificulta seu uso, mas o vetor velocidade pode ser expresso no referencial fixo ou no referencial móvel por uma mudança de base. No referencial móvel, por exemplo:

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=({\dot {\alpha }}\sin \beta \sin \gamma +{\dot {\beta }}\cos \gamma ){\hat {\mathbf {i} }}+({\dot {\alpha }}\sin \beta \cos \gamma -{\dot {\beta }}\sin \gamma ){\hat {\mathbf {j} }}+({\dot {\alpha }}\cos \beta +{\dot {\gamma }}){\hat {\mathbf {k} }}.}$

Aqui, ${\displaystyle {\hat {\mathbf {i} }}}$, ${\displaystyle {\hat {\mathbf {j} }}}$ e ${\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}}$ são vetores unitários do referencial fixo ao corpo móvel. O exemplo usa a convenção Z-X-Z para os ângulos de Euler.