Blockmatris

Inom matematiken är en blockmatris en uppdelning av en matris i mindre matriser. Den ursprungliga matrisen kan då skrivas som en samling mindre matriser. Uppdelningen av en matris i block måste vara konsistent, man kan se det som att man inför vertikala och horisontella linjer som går genom hela matrisen.

Exempel

Matrisen:

A = (\begin{matrix} 1 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \\ 4 & 4 & 5 & 5 \\ 4 & 4 & 5 & 5 \end{matrix})

Kan delas upp i fyra 2x2-matriser:

P_{11} = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}), P_{12} = (\begin{matrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{matrix}), P_{21} = (\begin{matrix} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{matrix}), P_{22} = (\begin{matrix} 5 & 5 \\ 5 & 5 \end{matrix})

Så att $A$ då kan skrivas:

A = (\begin{matrix} P_{11} & P_{12} \\ P_{21} & P_{22} \end{matrix})

Blockdiagonala matriser

En blockdiagonal matris är en kvadratisk matris som har kvadratiska matriser i diagonalen, men alla andra element är noll. Om $A$ är blockdiagonal kan den skrivas på formen:

A = (\begin{matrix} A_{1} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & A_{2} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & A_{n} \end{matrix})

Där $A_{k}$ är en kvadratisk matris. Matrisen $A$ kan då skrivas som en direkt summa, $A = A_{1} \oplus A_{2} \oplus ... \oplus A_{n}$ . Det finns även samband för determinanten och spåret:

det A = det A_{1} det A_{2} ... det A_{n}

tr A = tr A_{1} + tr A_{2} + ... + tr A_{n}

Blockmatrismultiplikation

Given två blockmatriser matriserna $A$ och $B$ där $A$ har format $m \times p$ och $B$ har format $p \times n$ , med blockindelning:

A = (\begin{matrix} A_{11} & A_{12} & \dots & A_{1 s} \\ A_{21} & A_{22} & \dots & A_{2 s} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ A_{q 1} & A_{q 2} & \dots & A_{q s} \end{matrix})

B = (\begin{matrix} B_{11} & B_{12} & \dots & B_{1 r} \\ B_{21} & B_{22} & \dots & B_{2 r} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ B_{s 1} & B_{s 2} & \dots & B_{s r} \end{matrix})

Dvs, $A$ har $s$ kolonnupdelningar och $q$ raduppdelningar. $B$ har $r$ kolonnupdelningar och $s$ raduppdelningar.

Man kan då räkna ut matrisprodukten $C = A B$ med format $m \times n$ , med $q$ raduppdelningar och $r$ kolonnupdelningar med:

C_{x y} = \sum_{k = 1}^{s} A_{x k} B_{k y}