Diffeomorfi

Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2025-06) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.

Inom differentialgeometri är en diffeomorfi en form av isomorfi mellan differentierbara mångfalder. En funktion ${\displaystyle f:M\rightarrow N}$ är en diffeomorfi om den är glatt, d.v.s. oändligt differentierbar, och det finns en funktion ${\displaystyle g:N\rightarrow M}$ som också är glatt så att ${\displaystyle f\circ g=id_{M}}$ och ${\displaystyle g\circ f=id_{N}}$.

Exempel

• För varje differentierbar mångfald M är identitetsfunktionen en diffeomorfi från M till M.
• Funktionen ${\displaystyle x\rightarrow x^{3}}$ på R har en invers ${\displaystyle x\rightarrow x^{\frac {1}{3}}}$, men är inte en diffeomorfi eftersom inversen inte är glatt.
• Funktionen ${\displaystyle x\rightarrow {\frac {1}{x}}}$ är en diffeomorfi mellan (0,1) och ${\displaystyle R^{+}}$

Diffeomorfier i ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$

Givet öppna mängder ${\displaystyle U\subseteq R^{n}}$ och ${\displaystyle V\subseteq R^{m}}$ och en funktion ${\displaystyle f:U\rightarrow V}$ är ${\displaystyle f}$ en diffeomorfi omm:

1. ${\displaystyle f}$ är bijektiv,
2. Jacobimatrisen för ${\displaystyle f}$ är skild från noll i varje punkt.

Villkor 2 medför att det inte finns några diffeomorfier mellan U och V om n är skilt från m.

Externa länkar

• Wikimedia Commons har media som rör diffeomorfi.