Differentierbarhet

Differentierbarhet är inom matematisk analys en lokal egenskap hos en funktion som generaliserar begreppet deriverbarhet till flera dimensioner. Ur differentierbarhet följer kontinuitet och kedjeregeln.

Definition

Funktionen $f : ℝ^{n} \to ℝ$ säges vara differentierbar i punkten $𝐚 \in ℝ^{n}$ om och endast om det existerar en punkt $𝐀$ i $ℝ^{n}$ och en funktion $ρ : ℝ^{n} \to ℝ$ sådana att

f (𝐚 + 𝐡) - f (𝐚) = 𝐀 \cdot 𝐡 + | 𝐡 | ρ (𝐡)

och

lim_{𝐡 \to 𝟎} ρ (𝐡) = 0

En funktion säges vara differentierbar på en mängd M om funktionen är differentierbar i alla punkter i M.

Det kan observeras att definitionen av differentierbarhet är ekvivalent med definitionen för deriverbarhet om f är en funktion av bara en variabel. För vektorvärda funktioner betraktas komponentfunktionernas differentierbarhet.

Man kan visa $A_{i} = \frac{\partial f (𝐱)}{\partial x_{i}}$ i punkten $𝐱 = 𝐚$ liksom att existensen av kontinuerliga partiella derivator för en funktion implicerar differentierbarhet.

Liksom ekvationen för tangenten till funktionen kan utläsas ur definitionen av deriverbarhet beskriver högerledet i definitionen ovan tangentplanet till funktionen i punkten $𝐚$ .

Att en funktion är differentierbar innebär att den är deriverbar i alla riktningar. Grafiskt tolkat betyder det att tangentplanet ligger nära funktionsytan. Alla kontinuerliga funktioner är således inte differentierbara.