Dirichlets delarproblem

Inom talteori är Dirichlets delarproblem ett klassiskt problem om tillväxten av summafunktionen av delarantalet.

Delarfunktionens summafunktion definieras som

${\displaystyle D(x)=\sum _{n\leq x}d(n)}$

där

${\displaystyle \!\ d(n)=\sum _{d|n}1}$

är antalet delare av n.

Att hitta en sluten formel för denna funktion är ett extremt svårt problem, men det går att härleda goda approximationer. Peter Gustav Lejeune Dirichlet bevisade att

${\displaystyle D(x)=x\log x+x(2\gamma -1)+\Delta (x)\ }$

där ${\displaystyle \gamma }$ är Eulers konstant där

${\displaystyle \Delta (x)={\mathcal {O}}\left({\sqrt {x}}\right).}$

Dirichlets delarproblem frågar följande: vad är infimum för alla tal ${\displaystyle \theta }$ förvilkar which

${\displaystyle \Delta (x)={\mathcal {O}}\left(x^{\theta +\epsilon }\right)}$

gäller för alla ${\displaystyle \epsilon >0}$. Många av metoderna inom detta problem kan användas inom Gauss cirkelproblem som är ett relaterat problem med en annan aritmetisk funktion

• 1904 bevisade G. Voronoi att feltermen kan förbättras till ${\displaystyle {\mathcal {O}}(x^{1/3}\log x).}$
• 1916 bevisade G.H. Hardy att ${\displaystyle \inf \theta \geq 1/4}$. Han bevisade att för någon konmstant ${\displaystyle K}$ finns det värden på x så att ${\displaystyle \Delta (x)>Kx^{1/4}}$ och värden x så att${\displaystyle \Delta (x)<-Kx^{1/4}}$.
• 1922 förbättrade J. van der Corput Dirichlets resultat till ${\displaystyle \inf \theta \leq 33/100.}$
• 1928 förbättrade han sitt resultat något till ${\displaystyle \inf \theta \leq 27/82.}$
• 1950 bevisade Chih Tsung-tao och oberoende av Chih H. E. Richert 1953 att ${\displaystyle \inf \theta \leq 15/46.}$
• 1969 bevisade Grigori Kolesnik att ${\displaystyle \inf \theta \leq 12/37}$.
• 1973 bevisade han att ${\displaystyle \inf \theta \leq 346/1067}$.
• 1982 förbättrade han sitt resultat något till ${\displaystyle \inf \theta \leq 35/108}$.
• 1988 bevisade H. Iwaniec och C. J. Mozzochi att ${\displaystyle \inf \theta \leq 7/22.}$
• 2003 förbättrade M.N. Huxley detta till ${\displaystyle \inf \theta \leq 131/416.}$

Så det äkta värdet av ${\displaystyle \inf \theta }$ är någonstans mellan 1/4 och 131/416 (approximativt 0.3149); det har förmodats att den är precis lika med 1/4. Direkt beräkning av ${\displaystyle \Delta (x)}$ stöder det, då ${\displaystyle \Delta (x)/x^{1/4}}$ verkar vara approximativt normalt fördelat med standarddevitation 1 för x ända upp till minst 10¹⁶. Värdet 1/4 skulle även följa av en förmodan om exponentpar.

Piltzs delarproblem

Definiera

${\displaystyle D_{k}(x)=\sum _{n\leq x}d_{k}(n)=\sum _{mn\leq x}d_{k-1}(n).}$

Då är

${\displaystyle D_{k}(x)=xP_{k}(\log x)+\Delta _{k}(x)\,}$

där ${\displaystyle P_{k}}$ är ett polynom av grad ${\displaystyle k-1}$. Med simpla metoder kan man visa att

${\displaystyle \Delta _{k}(x)={\mathcal {O}}\left(x^{1-1/k}\log ^{k-2}x\right)}$

för heltal ${\displaystyle k\geq 2}$. Såsom i fallet ${\displaystyle k=2}$ känner man inte till infimat för något värde på ${\displaystyle k}$. Att hitta dessa infimum är känt som Piltzs delarproblem, efter den tyska matematikern Adolf Piltz. Genom att definiera ${\displaystyle \alpha _{k}}$ som det infimat på värden med which ${\displaystyle \Delta _{k}(x)={\mathcal {O}}\left(x^{\alpha _{k}+\varepsilon }\right)}$ gäller för all ${\displaystyle \varepsilon >0}$ följande resultat (notera att that ${\displaystyle \alpha _{2}}$ är ${\displaystyle \theta }$ från förra sektionen):

${\displaystyle \alpha _{2}\leq {\frac {131}{416}}\ }$

${\displaystyle \alpha _{3}\leq {\frac {43}{96}}\ ,}$ och

${\displaystyle \alpha _{k}\leq {\frac {3k-4}{4k}}\quad (4\leq k\leq 8)\ }$

${\displaystyle \alpha _{9}\leq {\frac {35}{54}}\ ,\quad \alpha _{10}\leq {\frac {41}{60}}\ ,\quad \alpha _{11}\leq {\frac {7}{10}}\quad \ }$

${\displaystyle \alpha _{k}\leq {\frac {k-2}{k+2}}\quad (12\leq k\leq 25)\ }$

${\displaystyle \alpha _{k}\leq {\frac {k-1}{k+4}}\quad (26\leq k\leq 50)\ }$

${\displaystyle \alpha _{k}\leq {\frac {31k-98}{32k}}\quad (51\leq k\leq 57)\ }$

${\displaystyle \alpha _{k}\leq {\frac {7k-34}{7k}}\quad (k\geq 58)\ .}$

• E.C. Titchmarsh förmodar att ${\displaystyle \alpha _{k}={\frac {k-1}{2k}}\ .}$

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Divisor summatory function, 2 mars 2014.

• H.M. Edwards, Riemann's Zeta Function, (1974) Dover Publications, ISBN 0-486-41740-9
• E. C. Titchmarsh, The theory of the Riemann Zeta-Function, (1951) Oxford at the Clarendon Press, Oxford. (See chapter 12 for a discussion of the generalized divisor problem)
• Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3  (Provides an introductory statement of the Dirichlet divisor problem.)
• H. E. Rose. A Course in Number Theory., Oxford, 1988.
• Huxley, Martin (2003). Exponential Sums and Lattice Points III. Proc. London Math. Soc. sid. (3)87: 591-609