Delarantal

Delarantalet (alternativt antal delare) för ett positivt heltal n, är antalet positiva delare till talet, inklusive 1 och n självt, och betecknas ofta d(n).

Exempel

• Talet 28 är delbart med 1, 2, 4, 7, 14 och 28, så d(28) = 6.
• Talet 7 är delbart med 1 och 7, så d(7) = 2.
• Talet 12 är delbart med 1, 2, 3, 4, 6 och 12, så d(12) = 6.

Egenskaper

Om primtalsfaktoriseringen av n är

${\displaystyle n=\prod _{i=1}^{r}p_{i}^{a_{i}}}$

är delarantalet av n

${\displaystyle d(n)=\prod _{i=1}^{r}(a_{i}+1).}$

Roger Heath-Brown bevisade 1984 att det finns oändligt många n så att

${\displaystyle d(n)=d(n+1).}$

Tillväxt

För alla ${\displaystyle \epsilon >0}$ är

${\displaystyle d(n)=o(n^{\epsilon }).}$

Severin Wigert har bevisat att

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {\log d(n)}{\log n/\log \log n}}=\log 2.}$

Å andra sidan, eftersom det finns oändligt många primtal, är

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }d(n)=2.}$

Peter Gustav Lejeune Dirichlet bevisade att delarfunktionen satisfierar

${\displaystyle {\mbox{for all }}x\geq 1,\sum _{n\leq x}d(n)=x\log x+(2\gamma -1)x+O({\sqrt {x}})}$

där ${\displaystyle \gamma }$ är Eulers konstant. Att förbättra feltermen ${\displaystyle O({\sqrt {x}})}$ i formeln är känt som Dirichlets delarproblem.

Genererande funktioner

Några dirichletserier vars koefficienter är d(n) eller relaterade funktioner är

${\displaystyle \zeta ^{2}(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)}{n^{s}}}}$

${\displaystyle {\frac {\zeta ^{3}(s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n^{2})}{n^{s}}}}$

${\displaystyle {\frac {\zeta ^{4}(s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)^{2}}{n^{s}}}.}$

Relation till andra aritmetiska funktioner

${\displaystyle 2^{\omega (n)}\leq d(n)\leq 2^{\Omega (n)}\;}$

Se även

• Delbarhet
• Delarsumma
• Sigmafunktionen
• Dirichlets delarproblem