Dirichletserie

Inom matematiken är en Dirichletserie (benämnd efter Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet) en serie

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}},}$

där s är ett komplext tal och a är en följd av komplexa tal. Dirichletserier är specialfall av allmänna Dirichletserier.

Dirichletserier spelar en viktig roll inom analytisk talteori. Riemanns zetafunktion definieras oftast som en Dirichletserie, såsom även L-funktioner. Det har förmodats Selbergklassen satisfierar generaliserade Riemannhypotesen. Serierna är uppkallade efter Peter Gustav Lejeune Dirichlet.

Exempel

Den kändaste Dirichletserien är Riemanns zetafunktion

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}.}$

En annan serie är

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}}$

där μ(n) är Möbiusfunktionen. Denna, och många andra serier kan bevisas genom att använda Möbiusinversion och Dirichletfaltning till kända serier.

Dirichlets L-funktion definieras som

${\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}}$

där χ är en Dirichletkaraktär.

En viktig klass av Dirichletserier är Selbergklassen.

Se även

• Allmän Dirichletserie
• Eulerprodukt

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Dirichlet series, 11 mars 2014.