Selmergrupp

Inom aritmetisk geometri är en Selmergrupp, uppkallad efter Selmer (1951), en grupp som konstrueras från en isogeni av abelska varieteter. Selmergruppen av en abelsk varietet A i förhållande till isogenin f : A → B av abelska varieteter kan definieras med hjälp av Galoiskohomologin som

{S e l}^{(f)} (A / K) = ⋂_{v} k e r (H^{1} (G_{K}, k e r (f)) \to H^{1} (G_{K_{v}}, A_{v} [f]) / i m (κ_{v}))

där A_v[f] betecknar f-torsionen av A_v och $κ_{v}$ är den lokala Kummertransformationen $B_{v} (K_{v}) / f (A_{v} (K_{v})) \to H^{1} (G_{K_{v}}, A_{v} [f])$ . Notera att $H^{1} (G_{K_{v}}, A_{v} [f]) / i m (κ_{v})$ är isomorfisk till $H^{1} (G_{K_{v}}, A_{v}) [f]$ . Geometriskt har alla principiella homogena rum som uppstår från element av Selmergruppen K_v-rationella punkter för alla ställen v av K. Selmergruppen är ändlig. Av detta följer att delen av Tate–Sjafarevitjgruppen som annihileras av f är ändlig p.g.a. följande exakta följd

0 → B(K)/f(A(K)) → Sel^(f)(A/K) → Ш(A/K)[f] → 0.

Selmergruppen i mitten av följden är ändlig och effektivt beräknelig. Av detta följer den svaga Mordell-Weilsatsen att dess delgupp B(K)/f(A(K)) är ändlig.

Ralph Greenberg har generaliserat Selmergrupper till mer allmänna p-adiska Galoisrepresentationer och p-adiska variationer av motiver i samband med Iwasawateori.

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Selmer group, 12 oktober 2012.

Cassels, John William Scott (1962), ”Arithmetic on curves of genus 1. III. The Tate–Šafarevič and Selmer groups”, Proceedings of the London Mathematical Society. Third Series 12: 259–296, doi:10.1112/plms/s3-12.1.259, MR 0163913, ISSN 0024-6115
Cassels, John William Scott (1991), Lectures on elliptic curves, London Mathematical Society Student Texts, "24", Cambridge University Press, MR 1144763, ISBN 978-0-521-41517-0, http://books.google.com/books?id=zgqUAuEJNJ4C
Châtelet, François (1946), ”Méthode galoisienne et courbes de genre un”, Annales de L'Université de Lyon Sect. A. (3) 9: 40–49, MR 0020575
Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. (2000), Diophantine geometry: an introduction, Graduate Texts in Mathematics, "201", Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98981-5
Greenberg, Ralph (1994), ”Iwasawa Theory and p-adic Deformation of Motives”, i Serre, Jean-Pierre; Jannsen, Uwe; Kleiman, Steven L., Motives, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1637-0
Lang, Serge; Tate, John (1958), ”Principal homogeneous spaces over abelian varieties”, American Journal of Mathematics 80: 659–684, MR 0106226, ISSN 0002-9327, http://www.jstor.org/stable/2372778
Selmer, Ernst S. (1951), ”The Diophantine equation ax³ + by³ + cz³ = 0”, Acta Mathematica 85: 203–362, doi:10.1007/BF02395746, MR 0041871, ISSN 0001-5962
Shafarevich, I. R. (1959), ”The group of principal homogeneous algebraic manifolds” (på ryska), Doklady Akademii Nauk SSSR 124: 42–43, MR 0106227 English translation in his collected mathematical papers, ISSN 0002-3264
Tate, John (1958), WC-groups over p-adic fields, Séminaire Bourbaki; 10e année: 1957/1958, "13", Paris: Secrétariat Mathématique, MR 0105420, http://www.numdam.org/item?id=SB_1956-1958__4__265_0
Weil, André (1955), ”On algebraic groups and homogeneous spaces”, American Journal of Mathematics 77: 493–512, MR 0074084, ISSN 0002-9327, http://www.jstor.org/stable/2372637