Ext-funktorn

Inom matematiken är Ext-funktorn härledda funktorerna av Hom-funktorn. De användes först inom algebraisk topologi men används numera inom flera andra delområden av matematiken. Namnet "Ext" kommer från dess konnektionen med utvidgningar (på engelska extension) i abelska kategorier.

Definition

Låt R vara en ring och låt Mod_R vara kategorin av moduler över R. Låt B vara i Mod_R och låt T(B) = Hom_R(A,B) för något fixerat A i Mod_R. Det här är en vänster-exakt funktor och har alltså höger-härledda funktorer RⁿT. Ext-funktorn definieras som

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(A,B)=(R^{n}T)(B).}$

Den kan räknas genom att välja en godtycklig injektiv resolution

${\displaystyle 0\rightarrow B\rightarrow I^{0}\rightarrow I^{1}\rightarrow \dots ,}$

och sedan räkna

${\displaystyle 0\rightarrow \operatorname {Hom} _{R}(A,I^{0})\rightarrow \operatorname {Hom} _{R}(A,I^{1})\rightarrow \dots .}$

Då är (RⁿT)(B) homologin av detta komplex. Notera att Hom_R(A,B) utelämnas från komplexet.

Egenskaper

• ExtiR(A, B) = 0 för i > 0 om antingen B är injektiv eller A projektiv.

• Om Ext1R(A, B) = 0 för alla A är ExtiR(A, B) = 0 för alla A och B är injektiv; om Ext1R(A, B) = 0 för alla B är ExtiR(A, B) = 0 för alla B och A är projektiv.

• ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}\left(\bigoplus _{\alpha }A_{\alpha },B\right)\cong \prod _{\alpha }\operatorname {Ext} _{R}^{n}(A_{\alpha },B)}$

• ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}\left(A,\prod _{\beta }B_{\beta }\right)\cong \prod _{\beta }\operatorname {Ext} _{R}^{n}(A,B_{\beta })}$

Exempel

Om Z[G] är heltalsgruppringen av en grupp G, då är Ext*Z[G](Z, M) gruppkohomologin H*(G,M) med koefficienter i M.

Om F_p är ändliga kroppen med p element, då är H*(G,M) = Ext*F_p[G](F_p, M), och gruppkohomologin beror inte på vilken basring man valt.

Om A är en k-algebra, då är Ext*A ⊗_k A^op(A, M) Hochschildkohomologin HH*(A,M) med koefficienter i A-bimodulen M.

Om R är den universala enveloppernade algebran för en Liealgebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ over a commutative ring k, then Ext*R(k, M) är Liealgebrakohomologin ${\displaystyle \operatorname {H} ^{*}({\mathfrak {g}},M)}$ med koefficienter i modulen M.

Se även

• Tor-funktorn

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Ext functor, 20 februari 2014.

• Gelfand, Sergei I.; Manin, Yuri Ivanovich (1999), Homological algebra, Berlin: Springer, ISBN 978-3-540-65378-3 
• Weibel, Charles A. (1994), An introduction to homological algebra, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, "38", Cambridge University Press, MR 1269324, ISBN 978-0-521-55987-4, OCLC 36131259